Calculadora: calcular expressão numérica.

Entre com a expressão numérica:



Resultado:


Observações:

Os possíveis termos da expressão estão definidos segundo a biblioteca math.js (https://mathjs.org/docs/expressions/syntax.html).

Observações:

Dependendo das magnitudes dos números, o processo pode ser demorado, deixar seu dispositivo/computador lento, e/ou causar crashes.

Por limitações do JavaScript, operações envolvendo números de modulo muito grande ou muito pequeno podem retornar com erros.

Calculadora: calcular expressão numérica.

Entre com a expressão numérica:



Resultado:


Observações:

Os possíveis termos da expressão estão definidos segundo a biblioteca math.js (https://mathjs.org/docs/expressions/syntax.html).

Observações:

Dependendo das magnitudes dos números, o processo pode ser demorado, deixar seu dispositivo/computador lento, e/ou causar crashes.

Por limitações do JavaScript, operações envolvendo números de modulo muito grande ou muito pequeno podem retornar com erros.

Calculadora: decomposição em fatores primos.

Entre com o número natural a decompor:

Exemplo:

Input: "2388".
Output: "2^2 x 3 x 199".




Decomposição:

Calculadora: decomposição em fatores primos.

Entre com o número natural a decompor:

Exemplo:

Input: "2388".
Output: "2^2 x 3 x 199".




Decomposição:

Calculadora: média aritmética.

Entre com os números a terem a média aritmética calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "4, -2, 7.6".
Output: "16 / 5".




Média aritmética:

Calculadora: média aritmética.

Entre com os números a terem a média aritmética calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "4, -2, 7.6".
Output: "16 / 5".




Média aritmética:

Calculadora: fatorial.

Número a ser calculado o fatorial:

Exemplo:

Input: "5".
Output: "120".




Fatorial:

Calculadora: fatorial.

Número a ser calculado o fatorial:

Exemplo:

Input: "5".
Output: "120".




Fatorial:

Exercício: teorema de D'Alembert.

Qual o valor de $b$ para o qual o polinômio $P(x) = 15x^{16} + bx^{15} + 1$ é divisível por $x - 1$?

Pelo teorema de D'Alembert, $P(1) = 0$:

$15 + b + 1 = 0\ \therefore\ \fbox{$b = -16$}$

Exercício: teorema de D'Alembert.

Qual o valor de $b$ para o qual o polinômio $P(x) = 15x^{16} + bx^{15} + 1$ é divisível por $x - 1$?

Pelo teorema de D'Alembert, $P(1) = 0$:

$15 + b + 1 = 0\ \therefore\ \fbox{$b = -16$}$

Exercício: valor numérico de um polinômio.

A divisão de um polinômio $P(x)$ por $x^2 - x$ resulta no quociente $6x^2 + 5x + 3$ e resto $-7x$. Qual o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 1$?

$P(x) = (x^2 - x)(6x^2 + 5x + 3) - 7x$

Pelo teorema do resto, o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 1$ é $P(-1)$.

$P(-1) = [(-1)^2 - (-1)][6(-1)^2 + 5(-1) + 3] - 7(-1) =$

$= 2 \cdot 4 + 7 = \fbox{15}$

Exercício: valor numérico de um polinômio.

A divisão de um polinômio $P(x)$ por $x^2 - x$ resulta no quociente $6x^2 + 5x + 3$ e resto $-7x$. Qual o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 1$?

$P(x) = (x^2 - x)(6x^2 + 5x + 3) - 7x$

Pelo teorema do resto, o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 1$ é $P(-1)$.

$P(-1) = [(-1)^2 - (-1)][6(-1)^2 + 5(-1) + 3] - 7(-1) =$

$= 2 \cdot 4 + 7 = \fbox{15}$

Exercício: distância de uma intersecção à origem.

Qual a distância entre o ponto de encontro (intersecção) das retas $x + y - 2 = 0$ e $x - y - 4 = 0$ e a origem do sistema de coordenadas, $(0, 0)$?

Seja $P(x_P, y_P)$ a intersecção:

$\begin{cases}x_P + y_P = 2\\ x_P - y_P = 4\end{cases}\ \Rightarrow\ P(3, -1)$

$d_{PO} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \fbox{$\sqrt{10}$}$

Exercício: distância de uma intersecção à origem.

Qual a distância entre o ponto de encontro (intersecção) das retas $x + y - 2 = 0$ e $x - y - 4 = 0$ e a origem do sistema de coordenadas, $(0, 0)$?

Seja $P(x_P, y_P)$ a intersecção:

$\begin{cases}x_P + y_P = 2\\ x_P - y_P = 4\end{cases}\ \Rightarrow\ P(3, -1)$

$d_{PO} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \fbox{$\sqrt{10}$}$

Exercício: intersecção de três retas.

As retas representadas pelas equações $y = 2x + 1$, $y = x + 3$ e $y = b - x$ passam por um mesmo ponto. Qual o valor de $b$?

Seja $P(x_P, y_P)$ a intersecção de $y = 2x + 1$ e $y = x + 3$:

$\begin{cases}y_P = 2x_P + 1\\ y_P = x_P + 3\end{cases}\ \Rightarrow\ P(2, 5)$

$P$ pertence a $y = b - x$:

$5 = b - 2\ \therefore\ \fbox{$b = 7$}$

Exercício: intersecção de três retas.

As retas representadas pelas equações $y = 2x + 1$, $y = x + 3$ e $y = b - x$ passam por um mesmo ponto. Qual o valor de $b$?

Seja $P(x_P, y_P)$ a intersecção de $y = 2x + 1$ e $y = x + 3$:

$\begin{cases}y_P = 2x_P + 1\\ y_P = x_P + 3\end{cases}\ \Rightarrow\ P(2, 5)$

$P$ pertence a $y = b - x$:

$5 = b - 2\ \therefore\ \fbox{$b = 7$}$

Exercício: ponto pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Qual o valor de $k$ para que o ponto $P = (4k - 1, 2k + 3)$ pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares?

$Q(x_Q, y_Q) \in b_{13}\ \Leftrightarrow\  x_Q = y_Q$

$4k - 1 = 2k + 3\ \therefore\ \fbox{$k = 2$}$

Exercício: ponto pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Qual o valor de $k$ para que o ponto $P = (4k - 1, 2k + 3)$ pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares?

$Q(x_Q, y_Q) \in b_{13}\ \Leftrightarrow\  x_Q = y_Q$

$4k - 1 = 2k + 3\ \therefore\ \fbox{$k = 2$}$

Exercício: determinando a equação de uma reta.

Qual a equação da reta que passa pelo ponto $(3, -2)$, com inclinação de $60^o$?

Seja $r$ a reta em questão, seu coeficiente angular será $\tan 60^o = \sqrt{3}$.

$r:\ y + 2 = \sqrt{3}(x - 3)$

$\fbox{$r:\ \sqrt{3}x - y - 2 - 3\sqrt{3} = 0$}$

Exercício: determinando a equação de uma reta.

Qual a equação da reta que passa pelo ponto $(3, -2)$, com inclinação de $60^o$?

Seja $r$ a reta em questão, seu coeficiente angular será $\tan 60^o = \sqrt{3}$.

$r:\ y + 2 = \sqrt{3}(x - 3)$

$\fbox{$r:\ \sqrt{3}x - y - 2 - 3\sqrt{3} = 0$}$

Exercício: pontos colineares.

Qual o valor de $x$ para que os pontos $(1, 3)$, $(-2, 4)$ e $(x, 0)$ do plano sejam colineares?

$(x, 0)$ deve pertencer à reta $r$ que contém os pontos $(1, 3)$ e $(-2, 4)$:

$m_r = \dfrac{4 - 3}{-2 - 1} = -\dfrac{1}{3}$

$r:\ y - 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)$

$0 - 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 10$}$

Exercício: pontos colineares.

Qual o valor de $x$ para que os pontos $(1, 3)$, $(-2, 4)$ e $(x, 0)$ do plano sejam colineares?

$(x, 0)$ deve pertencer à reta $r$ que contém os pontos $(1, 3)$ e $(-2, 4)$:

$m_r = \dfrac{4 - 3}{-2 - 1} = -\dfrac{1}{3}$

$r:\ y - 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)$

$0 - 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 10$}$

Exercício: determinar ponto equidistante a dois outros.

Se um ponto $P$ do eixo das abscissas é equidistante dos pontos $A(1, 4)$ e $B(-6, 3)$, quanto vale a abscissa de $P$?

Seja $P(k, 0)$:

$d_{PA} = d_{PB}$

$\sqrt{(k - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{(k + 6)^2 + 3^2}$

$(k - 1)^2 + 4^2 = (k + 6)^2 + 3^2$

$\cancel{k^2} - 2k + 1 + 16 = \cancel{k^2} + 12k + 36 + 9$

$14k = -28\ \therefore\ \fbox{$k = -2$}$

Exercício: determinar ponto equidistante a dois outros.

Se um ponto $P$ do eixo das abscissas é equidistante dos pontos $A(1, 4)$ e $B(-6, 3)$, quanto vale a abscissa de $P$?

Seja $P(k, 0)$:

$d_{PA} = d_{PB}$

$\sqrt{(k - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{(k + 6)^2 + 3^2}$

$(k - 1)^2 + 4^2 = (k + 6)^2 + 3^2$

$\cancel{k^2} - 2k + 1 + 16 = \cancel{k^2} + 12k + 36 + 9$

$14k = -28\ \therefore\ \fbox{$k = -2$}$

Exercício: razão entre os volumes de um cone e da esfera circunscrita.

Um cone circular reto, cujo raio da base é $3\ cm$, está inscrito em uma esfera de $5\ cm$ de raio, conforme mostra a figura abaixo. O volume do cone corresponde a que porcentagem do volume da esfera?

Seja $h$ a altura do cone, $r$ o raio da base do cone, $R$ o raio da esfera, $V_c$ o volume do cone, e $V_e$ o volume da esfera:

$h = R + \sqrt{R^2 - r^2} = 5 + \sqrt{5^2 -3^2} = 5 + 4 = 9$

$V_c = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{\pi \cdot 3^2 \cdot 9}{3} = 27\pi$

$V_e = \dfrac{4\pi R^3}{3} = \dfrac{4\pi \cdot 5^3}{3} = \dfrac{500\pi}{3}$

$\dfrac{V_c}{V_e} = \dfrac{27\cancel{\pi}}{\dfrac{500\cancel{\pi}}{3}} = \dfrac{81}{500} = \fbox{$16,2\%$}$

Exercício: razão entre os volumes de um cone e da esfera circunscrita.

Um cone circular reto, cujo raio da base é $3\ cm$, está inscrito em uma esfera de $5\ cm$ de raio, conforme mostra a figura abaixo. O volume do cone corresponde a que porcentagem do volume da esfera?

Seja $h$ a altura do cone, $r$ o raio da base do cone, $R$ o raio da esfera, $V_c$ o volume do cone, e $V_e$ o volume da esfera:

$h = R + \sqrt{R^2 - r^2} = 5 + \sqrt{5^2 -3^2} = 5 + 4 = 9$

$V_c = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{\pi \cdot 3^2 \cdot 9}{3} = 27\pi$

$V_e = \dfrac{4\pi R^3}{3} = \dfrac{4\pi \cdot 5^3}{3} = \dfrac{500\pi}{3}$

$\dfrac{V_c}{V_e} = \dfrac{27\cancel{\pi}}{\dfrac{500\cancel{\pi}}{3}} = \dfrac{81}{500} = \fbox{$16,2\%$}$

Exercício: área de uma esfera circunscrita a um cubo.

Um cubo de área total $24\ cm^2$ está inscrito em uma esfera. Calcule a área da superfície dessa esfera.

Seja $a$ a aresta do cubo, $R$ o raio da esfera, e $S$ sua área superficial:

$6a^2 = 24\ \Rightarrow\ a = 2$

O raio da esfera será a metade da diagonal do cubo:

$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\cancel{2}\sqrt{3}}{\cancel{2}} = \sqrt{3}$

$S = 4\pi R^2 = 4(\sqrt{3})^2 = \fbox{$12\pi$}$

Exercício: área de uma esfera circunscrita a um cubo.

Um cubo de área total $24\ cm^2$ está inscrito em uma esfera. Calcule a área da superfície dessa esfera.

Seja $a$ a aresta do cubo, $R$ o raio da esfera, e $S$ sua área superficial:

$6a^2 = 24\ \Rightarrow\ a = 2$

O raio da esfera será a metade da diagonal do cubo:

$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\cancel{2}\sqrt{3}}{\cancel{2}} = \sqrt{3}$

$S = 4\pi R^2 = 4(\sqrt{3})^2 = \fbox{$12\pi$}$

Exercício: volume de um cubo circunscrito a uma esfera.

Uma esfera de volume $36\pi\ cm^3$ está inscrita em um cubo. Calcule o volume desse cubo.

Seja $r$ o raio da esfera e $a$ a medida da aresta do cubo:

$36\pi = \dfrac{4\pi r^3}{3}\ \Rightarrow\ r = 3$

$a = 2r = 6$

$V = a^3 = 6^3 = \fbox{$216\ cm^3$}$

Exercício: volume de um cubo circunscrito a uma esfera.

Uma esfera de volume $36\pi\ cm^3$ está inscrita em um cubo. Calcule o volume desse cubo.

Seja $r$ o raio da esfera e $a$ a medida da aresta do cubo:

$36\pi = \dfrac{4\pi r^3}{3}\ \Rightarrow\ r = 3$

$a = 2r = 6$

$V = a^3 = 6^3 = \fbox{$216\ cm^3$}$

Exercício: área de uma secção plana de uma esfera.

Numa esfera de volume ${500\pi \over 3}\ cm^3$ é feita uma secção plana a $3\ cm$ do centro. Determine a área dessa secção.

Seja $R$ o raio da esfera, e $r$ o raio da secção plana, que é uma circunferência de área $A$:

$\dfrac{500\pi}{3} = \dfrac{4\pi R^3}{3}\ \Rightarrow\ R = 5$

$r = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$

$A = \pi r^2 = \fbox{$A = 16\pi\ cm^2$}$

Exercício: área de uma secção plana de uma esfera.

Numa esfera de volume ${500\pi \over 3}\ cm^3$ é feita uma secção plana a $3\ cm$ do centro. Determine a área dessa secção.

Seja $R$ o raio da esfera, e $r$ o raio da secção plana, que é uma circunferência de área $A$:

$\dfrac{500\pi}{3} = \dfrac{4\pi R^3}{3}\ \Rightarrow\ R = 5$

$r = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$

$A = \pi r^2 = \fbox{$A = 16\pi\ cm^2$}$