Exercício: cálculo de parcela de débito.

(Cesgranrio-RJ) Carlos contraiu uma dívida que foi paga com uma taxa de juros ao mês e constante. Porém, o recibo do mês de fevereiro extraviou-se e Carlos necessita deste valor para o cálculo do Imposto de Renda. Os valores conhecidos são:

Janeiro	->	$R\$\ 1.000,00$
Março	->	$R\$\ 1.210,00$
Abril	->	$R\$\ 1.331,00$

Com base nos dados acima, qual foi a quantia que Carlos pagou em fevereiro?

Resolução:

Chamemos de $P_f$ a parcela de fevereiro, e $i$ a taxa de juros. Teremos:

$1210\ =\ (1 + i)^2\ \cdot\ 1000$

$(1 + i)\ =\ \sqrt{\dfrac{1210}{1000}}$

$i\ =\ 1,1 - 1 = 10\ \%$

Assim:

$P_f\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ 1000\ =\ R\$\ 1.100,00$

Observemos que:

$1000\ \cdot\ (1,1)^3\ =\ R\$\ 1.331,00$

Exatamente a parcela de abril.

Exercício: repasse de preço com lucro de comerciantes.

(PUC-SP) Uma cooperativa compra a produção de pequenos horticultores, revendendo-a para atacadistas com um lucro de $50\%$, em média. Estes repassam o produto para os feirantes, com um lucro de $50\%$, em média. Os feirantes vendem o produto para o consumidor e lucram, também, $50\%$ em média. Qual o acréscimo médio do preço pago pelo consumidor em relação ao preço dos horticultores?

Resolução:

Chamemos de $P_o$ o preço de venda original das hortaliças, sem lucro; $P_h$ o preço médio de venda dos horticultores; $P_a$ o preço médio de venda dos atacadistas; e $P_f$ o preço médio de venda dos feirantes.

$P_h\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_o$

$P_a\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_h $

$ P_f\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_a$

Donde:

$P_f\ =\ (1 + 50\%)^3\ \cdot\ P_o\ =\ 3,375\ \cdot\ P_o$

$3,375 - 1\ =\ 237,5\%$

Exercício: porcentagem de gêneros conhecidos seus desempenhos.

(Fuvest-SP) Numa classe de um colégio existem estudantes de ambos os sexos. Numa prova, as médias aritméticas das notas dos meninos e das meninas foram respectivamente iguais a $6,2$ e $7,0$. A média aritmética das notas de toda a classe foi igual a $6,5$.

a) A maior parte dos estudantes dessa classe é composta de meninos ou meninas? Justifique sua resposta.

b) Que porcentagem do total de alunos da classe é do sexo masculino?

Resolução:

a) Como a média geral está mais próxima de $6,2$ do que de $7,0$, a maioria da classe é composta de meninos: $| 6,5 - 6,2 | < | 6,5 - 7,0 |$.

b) Chamando de $h$ o percentual de meninos, teremos:

$6,5\ =\ \dfrac{h\ \cdot\ 6,2\ +\ (1 - h)\ \cdot\ 7,0}{h\ +\ (1 - h)}\ =\ \dfrac{7,0 - 0,8h}{1}$

Logo:

$h\ =\ \dfrac{-0,5}{-0,8}\ =\ 62,5\ \%$

Exercício: densidade de tráfego.

(UFRJ) A figura abaixo mostra um trecho de uma malha rodoviária de mão única. Dos veículos que passam por A, $45\%$ viram à esquerda. Dos veículos que passam por B, $35\%$ viram à esquerda. Daqueles que trafegam por C, $30\%$ dobram à esquerda.




Determine o percentual dos veículos que, passando por A, entram em E.

Resolução:

Pelo caminho BE passarão $45\%\ \cdot\ (1 - 35\%)\ =\ 29,25\%$

Pelo caminho CE passarão $(1 - 45\%)\ \cdot\ 30\%\ =\ 16,5\%$

Logo, do total de veículos que entram por A, $29,25\%\ +\ 16,5\%\ =\ 45,75\%$ passarão por E.

Exercício: juros ocultos.

(UFRJ) Uma loja oferece duas formas de pagamento para seus clientes: à vista ou em duas parcelas iguais. A loja anuncia, na sua vitrine, um vestido por um preço total de $R\$\ 200,00$ para pagamento em duas vezes, sendo $R\$\ 100,00$ no ato da compra e $R\$\ 100,00$ trinta dias após essa data. Para pagamento à vista, a loja oferece um desconto de $10\%$ sobre o preço total de $R\$\ 200,00$, anunciado na vitrine. Considerando o preço à vista como o preço real do vestido, determine a taxa de juros cobrada pela loja no pagamento em duas vezes.

Resolução:

Pagos à vida $R\$\ 100,00$, sobram $R\$\ 100,00$ para pagamento trinta dias após a compra, mas como o preço real é de $(1 - 10\%)\ \cdot\ 200\ =\ R\$\ 180,00$, sobram na verdade $R\$\ 80,00$ de débito para serem quitados. Ou seja, o comprador pagará de juros $R\$\ 20,00$.

Pagará $ \dfrac{20}{80}\ =\ \dfrac{1}{4}\ =\ 25\ \% $ de juros.

Exercício: evaporação de uma solução e aumento da salinidade.

(Unicamp-SP) Uma quantidade de $6240$ litros de água apresentava um índice de salinidade de $12\%$. Devido à evaporação esse índice subiu para $18\%$. Calcule, em litros, a quantidade de água que evaporou.

Resolução:

Chamemos de $a$ a quantidade em volume de água da solução, $s$ a quantidade em volume de sal, e $e$ a quantidade em volume de água que evaporou. Temos:

$\dfrac{s}{a}\ =\ 12\%$.....[1]

$\dfrac{s}{a - e}\ =\ 18\%$

Delas podemos concluir:

$\dfrac{a}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}$.....[2]

$\dfrac{a - e}{s}\ =\ \dfrac{a}{s}\ -\ \dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{18}$.....[3]

Substituindo [2] em [3]:

$\dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}\ -\ \dfrac{100}{18}\ =\ \dfrac{100}{36}$

$e\ =\ s\ \cdot\ \dfrac{100}{36}$.....[4]

Substituindo [1] em [4]:

$e\ =\ a\ \cdot\ \dfrac{12}{100}\ \cdot\ \dfrac{100}{36}\ =\ \dfrac{a}{3}$

Logo:

$e\ =\ \dfrac{6240}{3}\ =\ 2080\ \ell$

Exercício: aumento da área com aumento dos lados de um retângulo.

Se a base de um retângulo aumentar $10\%$ e a altura, $20\%$, sua área aumentará em quanto?

Resolução:

Chamemos $A$ a área do retângulo, $b$ a base, e $h$ a altura.

$b'\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ b$ será a nova base.

$h'\ =\ (1 + 20\%)\ \cdot\ h$ será a nova altura.

$A'\ =\ b'\ \cdot\ h'$ será a nova área.

$b'\ \cdot\ h'\ =\ (1 + \dfrac{10}{100})(1 + \dfrac{20}{100})\ \cdot\ bh$

$b'\ \cdot\ h'\ =\ \dfrac{11}{10}\ \cdot\ \dfrac{6}{5}\ \cdot\ bh$

$A'\ =\ \dfrac{66}{50}\ \cdot\ A$

O aumento percentual será dado por:

$(\dfrac{66}{50}\ -\ 1)\ =\ 32\%$