Calculadora: área de um polígono convexo.

Entre com um número finito de vértices consecutivos separados por barra vertical "|", a abscissa separada da ordenada por ponto e vírgula ";":

Exemplo:

Input: "0; 0 | 0; 1 | 1; 1 | 1; 0". Output: "1".




Área:

Razão entre o volume e a área total de um cilindro equilátero.

$V = \pi r^2 h = 2\pi r^3$

$A = 2\pi r^2 + 2rh = 2\pi r^2 + 4r^2$

$\dfrac{V}{A} = \dfrac{2\pi r^3}{2\pi r^2 + 4r^2} = \fbox{$\dfrac{\pi r}{\pi + 2}$}$

A elipse $x^2 + \dfrac{y^2}{2} = \dfrac{9}{4}$ e a reta $y = 2x + 1$ interceptam-se nos pontos $A$ e $B$. Qual o ponto médio de $\overline{AB}$?

$x^2 + 2x^2 + 2x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{4}$

$12x^2 + 8x - 7 = 0$

$(x, y) = \left(-\dfrac{7}{6}, -\dfrac{4}{3}\right)\ \vee\ (x, y) = \left(\dfrac{1}{2}, 2\right)$

Seja $M$ o ponto médio de $\overline{AB}$. $\fbox{$M = \left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}\right)$}$.

Lugar geométrico simétrico em relação a uma reta.

Seja a reta $y = mx + n$.

Se a reta é vertical $x = a$, de imediato o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$, $(x_i, y_i)$ é $(2a - x_o, y_o)$.

Se a reta é horizontal $y = n$, de imediato o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$, $(x_i, y_i)$ é $(x_o, 2n - y_o)$.

Se a reta tem coeficiente angular $m = 1$, $(x_i, y_i) = (y_o - n, x_o + n)$.

Se a reta tem coeficiente angular $m = -1$, $(x_i, y_i) = (-y_o + n, -x_o + n)$.

Se a reta não é vertical, nem horizontal, e se $|m| \neq 1$, $y = \dfrac{-1}{m}(x - x_o) + y_o$ é a reta perpendicular passando por $(x_o, y_o)$.

A intersecção entre as duas retas é $\left(\dfrac{(y_o - n) m}{m^2 + 1}, \dfrac{(y_o - n)m^2}{m^2 + 1} + n\right)$, e o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$, $(x_i, y_i)$ com relação à reta é dado por:

$\fbox{$(x_i, y_i) = \left(\dfrac{2(y_o - n)m}{m^2 + 1} - x_o, \dfrac{2(y_o - n)m^2}{m^2 + 1} + 2n - y_o\right)$}$.

Ou, isolando $x_o$ e $y_o$,

$\fbox{$(x_o, y_o) = \left(\dfrac{\dfrac{2my_i - 4mn}{m^2 - 1} - (m^2 + 1)x_i - mn}{m^2 + 1}, \dfrac{y_i - 2n}{m^2 - 1}\right)$}$.

Exemplo:

Seja a região $y \ge x^2$, o lugar geométrico simétrico com relação à reta $y = \dfrac{x}{2} - 1$ é

$\dfrac{-y - 2}{3/4} \ge \left(\dfrac{\dfrac{-y - 2}{3/4} - \dfrac{5x}{4} + \dfrac{1}{2}}{5/4}\right)^2$.

Lugar geométrico simétrico em relação a um ponto.

Seja $(x_o, y_o)$ um ponto de uma curva ou região, e $(x_i, y_i)$ o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$ com relação ao ponto $(a, b)$:

$(x_i, y_i) = (2a - x_o, 2b - y_o)$.

Exemplo:

Seja a circunferência $x^2 + y^2 = 1$, a curva simétrica de tal circunferência em relação a $(2, 2)$ é $(4 - x)^2 + (4 - y)^2 = 1$.

Calculadora: Velocidade do Ponto Cego de Antonio Vandré no eixo $Ox$.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";", tendo como primeira parte uma função em "x", a segunda parte um número real para a velocidade de deslocamento sob o gráfico da função, a terceira a abscissa do ponto de referência, a quarta a ordenada do ponto de referência, e a quinta o valor para "x":

Exemplo:

Input: "3; -1; 0; 1; -1". Output: aproximadamente "0.5".




Velocidade do Ponto Cego de Antonio Vandré no eixo $Ox$ (aproximada):

Calculadora: Ponto Cego de Antonio Vandré no eixo $Ox$.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";", tendo como primeira parte uma função em "x", a segunda a abscissa do ponto de referência, a terceira a ordenada do ponto de referência, e a quarta o valor para "x":

Exemplo:

Input: "2; 0; 1; -1". Output: aproximadamente "1".




Ponto Cego de Antonio Vandré no eixo $Ox$ (aproximado):

Ponto Cego de Antonio Vandré.

Sejam os gráficos de duas funções $f(x)$ e $g(x)$, e um ponto $(a, b)$ entre um ponto de $f$ e um ponto de $g$, definimos "Ponto Cego de Antonio Vandré" um ponto de $g$ pertencente à reta definida por um ponto de $f$ e $(a, b)$.

Chamemos de $x_o$ ($x_o \neq a$) a abscissa do ponto objeto, um ponto de $f$, a reta definida por $(a, b)$ e este ponto é $y = \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot x + b - \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot a$.

Chamemos $x_i$ a abscissa do ponto imagem, um ponto de $g$ pertencente à reta.

Se $x_o = a$ e $g$ estiver definida em $x_o$, $x_i = x_o$. Caso contrário:

$\fbox{$g(x_i) = \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot x_i + b - \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot a,\ min(x_o, x_i) < a < max(x_o, x_i)$}$.

Exemplo:

Sejam $f(x) = 0$, $g(x) = 2$ e $(a, b) = (0, 1)$, para $x_o = 1$:

$2 = -x_i + 1 + 1 \cdot 0\ \Rightarrow\ x_i = -1$.

Calculadora: comprimento do gráfico de uma função.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a expressão da função da qual se deseja obter o comprimento, deve ser uma função em "x"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: a resolução que será utilizada no cálculo.

Exemplo:

Input: "x; 0; 5; 20". Output: aproximadamente "7.071067811865478".

(pode travar o sistema)

Comprimento do gráfico da função no intervalo (aproximado):

Calculadora: estatísticas de um polígono regular.

Entre com uma string dividida em duas partes por ponto e vírgula ";", na primeira parte o número de lados do polígono; na segunda parte entre com o valor do lado do polígono.

Exemplo:

Input: "4; 2".

Output: aproximadamente

"
Quadrado.

Perímetro: 8.

Apótema: 1.

Raio da circunferência circunscrita: 1.414213562373095.

Área: 4.

Medida dos ângulos internos: 90 graus.

Medida dos ângulos externos: 90 graus.

Área do círculo inscrito: 3.141592653589793.

Área do círculo circunscrito: 6.2831853071795845.

Razão entre as áreas do polígono e do círculo inscrito: 1.2732395447351628.

Razão entre as áreas do círculo circunscrito e do polígono 1.5707963267948961.

Razão entre as áreas do círculo circunscrito e do círculo inscrito 2.

".




Estatísticas do polígono regular, aproximadas:

Calculadora: equação da reta tangente.

Entre com uma string dividida em duas partes por ponto e vírgula ";", na primeira parte a expressão da função, deve ser uma função em "x"; na segunda parte entre com um valor do domínio de tal função.

Exemplo:

Input: "sen(x); pi".
Output: aproximadamente "y = -x + 3.141592653589793".




Equação da reta tangente (aproximada):

Calculadora: gráfico de uma superfície ou região tridimensional por uma relação.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das relações, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos, devem ser relações em $x$, $y$ e $z$; segundo: um número real como valor inferior para $x$; terceiro: um número real como valor superior para $x$; quarto: um número real como valor inferior para $y$; quinto: um número real como valor superior para $y$; sexto: um número real como valor inferior para $z$; sétimo: um número real como valor superior para $z$; oitavo: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Calculadora: gráfico de uma curva ou região por uma relação.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das relações, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos, devem ser relações em $x$ e $y$; segundo: um número real como valor inferior para $x$; terceiro: um número real como valor superior para $x$; quarto: um número real como valor inferior para $y$; quinto: um número real como valor superior para $y$; sexto: a abscissa do centro de expansão radial; sétimo: a ordenada do centro de expansão radial; oitavo: o raio de expansão radial; nono: a rotação do eixo $Ox$; décimo: a rotação do eixo $Oy$; décimo primeiro: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log: