$5^y = 4\ \Rightarrow\ \fbox{$5^{-y} = \dfrac{1}{4}$}$
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segunda-feira, 11 de abril de 2022
sexta-feira, 8 de abril de 2022
Resolver em $\mathbb{R}$: $2^{3x - 2} \cdot 8^{x + 1} = 4^{x - 1}$.
$2^{6x + 1} = 2^{2x - 2}\ \Rightarrow\ x = -\dfrac{3}{4}$
$\fbox{$S = \left\{-\dfrac{3}{4}\right\}$}$
quinta-feira, 31 de março de 2022
Exercício: gráfico de uma função composta.
Sejam $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = \dfrac{5^x}{2}$ e $g(x) = \log_{10} x$, construir o gráfico de $g \circ f$.
$(g \circ f)(x) = \log_{10} \dfrac{5^x}{2} = \dfrac{\log_5 5^x}{\log_5 10} - \log_{10} 2 = \dfrac{x}{\log_5 10} - \log_{10} 2$
Basta construir a reta que contém os pontos $\left(0, - \log_{10} 2\right)$ e $\left(1, \log_{10} \dfrac{5}{2}\right)$.
Observemos que $Im_f \subset D_g$.
quarta-feira, 30 de março de 2022
Exercício: redução percentual por unidade de tempo.
O volume de um líquido volátil diminui $20 \%$ por hora. Após um tempo $t$, seu volume se reduz à metade. Qual o valor de $t$?
$\dfrac{1}{2} = (0,8)^t\ \Rightarrow\ t = -\log_{\frac{4}{5}} 2 = \fbox{$\dfrac{-1}{2 - \log_2 5}$ horas}$
segunda-feira, 7 de fevereiro de 2022
Quais os valores máximo e mínimo da função: $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x - x^2}$?
O expoente não tem mínimo, e, como a base está entre $0$ e $1$, a função não tem máximo.
O máximo do expoente é $4$, logo o mínimo valor de $f$ é $\dfrac{1}{16}$.
sexta-feira, 10 de dezembro de 2021
Seja $f(x) = 2^x$. Qual o valor de $Q = \dfrac{f(x + 1) + f(x + 2) + f(x + 3)}{f(x + 4) + f(x + 5)}$?
$Q = \dfrac{2^{x + 1} + 2^{x + 2} + 2^{x + 3}}{2^{x + 4} + 2^{x + 5}} = \dfrac{\cancel{2^x} (2 + 4 + 8)}{\cancel{2^x} (16 + 32)} = \fbox{$\dfrac{7}{24}$}$
Calcular $(f \circ f)(0)$ para $f(x) = e^{-x^2}$.
$f(0) = e^{0} = 1$
$f[f(0)] = f(1) = e^{-1} = \fbox{$\dfrac{1}{e}$}$
Para $x$ real, qual o mínimo valor de $p = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x - x^2}$?
$p$ será mínimo quando ${4x - x^2}$ for máximo, ou seja, quando $x = 2$.
Logo o valor mínimo de $p$ será $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4 \cdot 2 - 2^2} = \fbox{$\dfrac{1}{16}$}$
domingo, 20 de junho de 2021
Utilizando a definição, mostre que $(x^n)' = nx^{n-1}$, $n \in \mathbb{N}$.
Utilizando a definição, mostre que $(x^n)' = nx^{n-1}$, $n \in \mathbb{N}$.
Resolução:
$(x^n)' = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(x + h)^n - x^n}{h} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\displaystyle\sum_{i=0}^n {n \choose i}x^{n-i}h^i - x^n}{h} =$
$= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n {n \choose i}x^{n-i}h^{i-1} = \fbox{$nx^{n-1}$}$
A derivada da exponencial.
Seja $f(x) = a^x$, com $a > 0$ e $a \neq 1$.
$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{a^{x+h} - a^x}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} a^x \dfrac{a^h - 1}{h}$
Pelo terceiro limite fundamental, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{a^h - 1}{h} = \log a$.
Logo, $\fbox{$(a^x)' = a^x \log a$}$.
Em particular, quando $a = e$, $(e^x)' = e^x$.
sexta-feira, 14 de dezembro de 2012
Exercício: ponto crítico de uma função exponencial.
a) O maior valor da expressão é $4$..
b) O menor valor da expressão é $\dfrac{1}{4}$.
c) O maior valor da expressão é $\dfrac{1}{4}$.
d) O maior valor da expressão é $\dfrac{1}{16}$.
e) O menor valor da expressão é $\dfrac{1}{16}$.
Resolução:
A expressão assumirá um valor máximo ou mínimo de acordo com seu expoente.
$4x - x^2$ terá um máximo absoluto, este que será $-\dfrac{16}{-4}\ =\ 4$.
Assim, por $0\ <\ \dfrac{1}{2}\ <\ 1$, $(\dfrac{1}{2})^4\ =\ \dfrac{1}{16}$ será mínimo.
A alternativa correta é a E.
Exercício: função exponencial.
Resolução :
$\dfrac{1 + p^{-y}}{p^{-y}}\ =\ \dfrac{1}{x}$
$p^y + 1\ =\ \dfrac{1}{x}$
$y\ =\ \log_p \dfrac{1 - x}{x}$
Se $y$ é função real, $\dfrac{1 - x}{x}$ deve ser positivo.
$x\ >\ 0\ \wedge\ 1 - x\ >\ 0\ \Rightarrow\ 0\ <\ x\ <\ 1$
$x\ <\ 0\ \wedge\ 1 - x\ <\ 0\ \Rightarrow\ \nexists\ x$
Logo $D_y\ =\ ]0\ ,\ 1[$.