$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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quinta-feira, 31 de março de 2022

Exercício: gráfico de uma função composta.

Sejam $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = \dfrac{5^x}{2}$ e $g(x) = \log_{10} x$, construir o gráfico de $g \circ f$.

 

$(g \circ f)(x) = \log_{10} \dfrac{5^x}{2} = \dfrac{\log_5 5^x}{\log_5 10} - \log_{10} 2 = \dfrac{x}{\log_5 10} - \log_{10} 2$

 

Basta construir a reta que contém os pontos $\left(0, - \log_{10} 2\right)$ e $\left(1, \log_{10} \dfrac{5}{2}\right)$.


Observemos que $Im_f \subset D_g$.

 


 

quarta-feira, 30 de março de 2022

Exercício: redução percentual por unidade de tempo.

O volume de um líquido volátil diminui $20 \%$ por hora. Após um tempo $t$, seu volume se reduz à metade. Qual o valor de $t$?

 

$\dfrac{1}{2} = (0,8)^t\ \Rightarrow\ t = -\log_{\frac{4}{5}} 2 = \fbox{$\dfrac{-1}{2 - \log_2 5}$ horas}$

segunda-feira, 7 de fevereiro de 2022

domingo, 20 de junho de 2021

Utilizando a definição, mostre que $(x^n)' = nx^{n-1}$, $n \in \mathbb{N}$.

Utilizando a definição, mostre que $(x^n)' = nx^{n-1}$, $n \in \mathbb{N}$.

Resolução:

$(x^n)' = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(x + h)^n - x^n}{h} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\displaystyle\sum_{i=0}^n {n \choose i}x^{n-i}h^i - x^n}{h} =$

$= \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n {n \choose i}x^{n-i}h^{i-1} = \fbox{$nx^{n-1}$}$

A derivada da exponencial.

Seja $f(x) = a^x$, com $a > 0$ e $a \neq 1$.

$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{a^{x+h} - a^x}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} a^x \dfrac{a^h - 1}{h}$

Pelo terceiro limite fundamental, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{a^h - 1}{h} = \log a$.

Logo, $\fbox{$(a^x)' = a^x \log a$}$.

Em particular, quando $a = e$, $(e^x)' = e^x$.

sexta-feira, 14 de dezembro de 2012

Exercício: ponto crítico de uma função exponencial.

(Vunesp-SP) Dada a expressão $(\dfrac{1}{2})^{4x - x^2}$, então:

a) O maior valor da expressão é $4$..

b) O menor valor da expressão é $\dfrac{1}{4}$.

c) O maior valor da expressão é $\dfrac{1}{4}$.

d) O maior valor da expressão é $\dfrac{1}{16}$.

e) O menor valor da expressão é $\dfrac{1}{16}$.

Resolução:

A expressão assumirá um valor máximo ou mínimo de acordo com seu expoente.

$4x - x^2$ terá um máximo absoluto, este que será $-\dfrac{16}{-4}\ =\ 4$.

Assim, por $0\ <\ \dfrac{1}{2}\ <\ 1$, $(\dfrac{1}{2})^4\ =\ \dfrac{1}{16}$ será mínimo.

A alternativa correta é a E.

Exercício: função exponencial.

(Vunesp-SP) Seja $p\ >\ 0$, $p\ \neq\ 1$, um número real. Dada a relação $\dfrac{p^{-y}}{1 + p^{-y}}\ =\ x$, determinar $y$ em função de $x$ e o domínio da função assim definida.

Resolução :

$\dfrac{1 + p^{-y}}{p^{-y}}\ =\ \dfrac{1}{x}$

$p^y + 1\ =\ \dfrac{1}{x}$

$y\ =\ \log_p \dfrac{1 - x}{x}$

Se $y$ é função real, $\dfrac{1 - x}{x}$ deve ser positivo.

$x\ >\ 0\ \wedge\ 1 - x\ >\ 0\ \Rightarrow\ 0\ <\ x\ <\ 1$

$x\ <\ 0\ \wedge\ 1 - x\ <\ 0\ \Rightarrow\ \nexists\ x$

Logo $D_y\ =\ ]0\ ,\ 1[$.