O ganho de massa de um satélite e o efeito orbital.

Imaginemos um astro que orbita outro. Mesmo que irrisório, o ganho de massa existe pela acumulação de poeira cósmica.

Seria interessante percebermos o efeito deste ganho no movimento do astro-satélite.

Supondo que sua velocidade linar não varie e que sua tragetória seja circular, temos:

$F_g\ =\ G \dfrac{Mm}{R^2}\ =\ F_c\ =\ (m+\Delta m) \dfrac{v^2}{R}$

$G \dfrac{Mm}{R^2}\ =\ m \dfrac{v^2}{R}\ +\ \Delta m \dfrac{v^2}{R}$

$G \dfrac{Mm}{R}\ =\ m\ \cdot\ v^2\ +\ \Delta m \cdot\ v^2$

$R\ =\ \dfrac{GMm}{v^2 (m\ +\ \Delta m)}$

Observando o gráfico de uma função análoga $f(x)\ =\ \dfrac{1}{1+x}$, temos:



Uma hipérbole transladada.

Observamos que à medida que o incremento de massa aumenta, o raio orbital diminui.

O Sol em Mercúrio.

Mercúrio tem semi eixo maior de aproximadamente $40% UA$, $\dfrac{2}{5}$ da distância do nosso orbe ao Sol.

Se aqui ao meio-dia achamos quente, lá teríamos uma intensidade $(\dfrac{5}{2})^2$ maior. Aproximadamente $625 \%$ maior.

Brincando com relações.

$(a+b)^n\ =\ \sum_{p=0}^n{n \choose p}a^{n-p}b^p$

Brincando com relações #2.

$(\sin x)(\cos x) =\ \dfrac{\sin(2x)}{2}$

Brincando com relações #3.

$\sum_{p=1}^n p\ =\ \dfrac{n(n+1)}{2}$

Somas e produtos de pares e ímpares.

$(a,b) \in \{2n \colon n \in Z\}^2\ \wedge\ (c,d) \in \{2n+1 \colon n \in Z\}^2 \Rightarrow$
$a + c = 2 m_1 + 1\ \wedge\ ac = 2 m_2\ \wedge\ a + b = 2 m_3\ \wedge$
$\wedge\ ab = 2 m_4\ \wedge\ c + d = 2 m_5\ \wedge\ cd = 2 m_6 + 1\ ,$
$m_i \in Z\ ,\ i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Uma curiosidade interessante sobre salto com vara.

Uma curiosidade interessante:

O recorde mundial de salto com vara é do ucaniano Sergei Bubka, com $6,14 m$.

Mas antes vamos pensar sobre o recorde mundial dos 100 metros rasos.

Seu detentor é o jamaicano Usain Bolt, com $9,58$ segundos.

Vamos considerar um homem ainda mais rápido, com velocidade de $\dfrac{100}{9,5}\ \approx\ 10,5 m/s$.

Em condições ideais, se o Bolt fosse saltador, toda sua energia cinética será transferida para deformação da vara, de tal forma que toda sua velocidade seria transferida para a direção vertical.

Assim temos: $0\ =\ 10,5^2 - 2\cdot 9,8\cdot h\ \Rightarrow\ h\ =\ 5,625 m$. Aproximadamente meio metro abaixo da marca mundial.

$m/s^2$ to $km/h^2$.

É fácil de encontrar em livros que para converter $m/s$ para $km/h$ basta multiplicar o coeficiente por $3,6$. Mas e quanto à aceleração?

$x\ \frac{m}{s^2}\ =\ x\ \frac{10^{-3}km}{\frac{1}{3600^2} h^2}\ =\ x\cdot 12960\ \frac{km}{h^2}$

$12960$ é o fator multiplicativo. Ou divisor quando da conversão inversa.