Exemplos:
Input: "OLA MUNDO. \ m". Output: "--- .-.. .- -- ..- -. -.. --- .-.-.-".
Input: "-... . .-.. .- -- .- - . -- .- - .. -.-. .- .-.-.- \ t". Output: "BELA MATEMATICA.".
Tradução:
Organização sem fins lucrativos, voltada para a pesquisa e educação em Matemática.
Input: "OLA MUNDO. \ m". Output: "--- .-.. .- -- ..- -. -.. --- .-.-.-".
Input: "-... . .-.. .- -- .- - . -- .- - .. -.-. .- .-.-.- \ t". Output: "BELA MATEMATICA.".
Como $u_i\overline{u_i} \ge 0$ segue que $||u|| \ge 0$.
Como $u_i\overline{u_i} = 0\ \Leftrightarrow\ u_i = 0$, segue que $||u|| = 0\ \Leftrightarrow\ u = O$.
Quod Erat Demonstrandum.
Sejam $u_i$, $v_i$ e $w_i$ as $i$-ésimas coordenadas de $u$, $v$ e $w$ respectivamente.
A $i$-ésima parcela de $u \cdot (v + w)$ será $u_i \cdot \overline{(v_i + w_i)} = u_i\overline{v_i} + u_i\overline{w_i}$. Logo:
$u \cdot (v + w) = \displaystyle\sum_{i=1}^n (u_i\overline{v_i} + u_i\overline{w_i}) = \displaystyle\sum_{i=1}^n u_i\overline{v_i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n u_i\overline{w_i} = u \cdot v + u \cdot w$.
Quod Erat Demonstrandum.
$\dfrac{1}{x^4 + 1} = \dfrac{1}{(x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)} =$
$= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{-\sqrt{2}x + 2}{x^2 - \sqrt{2}x + 1} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{2}x + 2}{x^2 + \sqrt{2}x + 1}$
$\displaystyle\int \dfrac{dx}{x^4 + 1} = \dfrac{-1}{2} \displaystyle\int \dfrac{\sqrt{2}x - 2}{(\sqrt{2}x - 1)^2 + 1}\ dx\ + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int \dfrac{\sqrt{2}x + 2}{(\sqrt{2}x + 1)^2 + 1}\ dx\ =$
$= \dfrac{-\sqrt{2}}{4} \displaystyle\int \dfrac{u - 1}{u^2 + 1}\ du + \dfrac{\sqrt{2}}{4} \displaystyle\int \dfrac{v + 1}{v^2 + 1}\ dv =$
$= \scriptsize{\fbox{$\dfrac{-\sqrt{2}}{8} \log [(\sqrt{2}x - 1)^2 + 1] + \dfrac{\sqrt{2}}{8} \log [(\sqrt{2}x + 1)^2 + 1] + \dfrac{\sqrt{2}}{4} \arctan (\sqrt{2}x - 1) + \dfrac{\sqrt{2}}{4} \arctan (\sqrt{2}x + 1) + c$}}$
Observemos que $u = O$ também satisfaz $u \cdot v = 0$ para $v$ com quaisquer coordenadas.
Quod Erat Demonstrandum.
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