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domingo, 8 de novembro de 2020
Aproximar por Taylor $\sqrt{65}$.
Aproximar por Taylor $\sqrt{65}$.
Resolução:
Seja $P_1$ o polinômio de Taylor até a primeira derivada, e tomemos $a = 64$:
$P_1 (65)\ =\ \sqrt{64} + \dfrac{(\sqrt{64})'}{1!}(65 - 64)\ =$
$=\ 8 + \dfrac{1}{16}\ = \fbox{$8,0625$}$
Utilizando uma calculadora, obtemos $\sqrt{65}\ \approx\ 8,0623$.
$L\ =\ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - b^x}{x}$
$\bullet$ Primeiro caso: $a = b = 0$:
$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{0}{x}\ = \fbox{$0$}$
$\bullet$ Segundo caso: $a \neq 0\ \wedge\ b = 0$:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{a^x}{x}\ = +\infty$
$\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{a^x}{x}\ = -\infty$
Logo $\fbox{$\nexists L$}$.
$\bullet$ Terceiro caso: $a = 0\ \wedge\ b \neq 0$:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{-b^x}{x}\ = -\infty$
$\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{-b^x}{x}\ = +\infty$
Logo $\fbox{$\nexists L$}$.
$\bullet$ Quarto caso: $a \neq 0\ \wedge\ b \neq 0$:
Aplicando L'Hospital:
$L\ =\ \lim_{x \rightarrow 0} [(a^x \log a) - (b^x \log b)]\ = \fbox{$\log \dfrac{a}{b}$}$
$\lim_{x \rightarrow 0^+} (e^x + 3x)^{1/x}$
$\lim_{x \rightarrow 0^+} (e^x + 3x)^{1/x}\ =\ \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\dfrac{\log (e^x + 3x)}{x}}\ =$
$=\ e^{\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{\log (e^x + 3x)}{x}}\ =\ e^{\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{e^x + 3}{e^x + 3x}}\ =\ \fbox{$e^4$}$
Pela definição, encontre a derivada de $f(x) =x^n$.
Pela definição, encontre a derivada de $f(x) =x^n$.
Resolução:
$f'(x)\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(x + h)^n - x^n}{h}\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sum_{i=0}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^i - x^n}{h}\ =$
$=\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sum_{i=1}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^i}{h}\ =$
$=\ \lim_{h \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^{(i-1)}\ =\ \fbox{$nx^{n-1}$}$
Demonstre a identidade de Euler $e^{i\pi} + 1 = 0$.
Demonstre a identidade de Euler $e^{i\pi} + 1 = 0$.
Consideremos a função $f(\theta) = \dfrac{\cos \theta + i\sin \theta}{e^{i\theta}}$.
$f'(\theta) = \frac{e^{i\theta}(-\sin \theta) + e^{i\theta}\sin \theta}{e^{2i\theta}} = 0$
Pela derivada ser nula, $f$ é constante.
Tomemos $\theta = 0$, $f(0) = 1$, logo $\cos \theta + i\sin \theta = e^{i\theta}$.
Seja $\theta = \pi$: $-1 = e^{i\pi}$, logo:
$\fbox{$e^{i\pi} + 1 = 0$}$
Encontre $\lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + \dfrac{1}{x})^{4x}$.
Encontre $\lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + \dfrac{1}{x})^{4x}$.
Resolução:
Definamos $u = \dfrac{1}{x}$.
Definamos $y(u) = (1 + u)^{\dfrac{4}{u}}$.
$\ln \lim_{u \rightarrow 0} y(u)\ =\ \lim_{u \rightarrow 0} \ln y(u)\ =$
$=\ \lim_{u \rightarrow 0} 4\dfrac{\ln (u + 1)}{u}$
Utilizando L'Hospital:
$\lim_{u \rightarrow 0} 4(\dfrac{\ln (u + 1)}{u})\ =\ \lim_{u \rightarrow 0} \dfrac{4}{u + 1}\ =\ 4$
Logo $\lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + \dfrac{1}{x})^{4x} =\ \fbox{$e^4$}$.
Seja $f$ diferenciável em $a$, demonstre que $f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}$.
Seja $f$ diferenciável em $a$, demonstre que $f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}$.
Resolução:
Primeiramente demonstrarmos que $f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a - h)}{h}$:
Tomando $k = -h$, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a - h)}{h} = \lim_{k \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a + k)}{-k}\ =$
$=\ \lim_{k \rightarrow 0} \dfrac{f(a + k) - f(a)}{k}\ =\ f'(a)$.
Agora a demonstração principal:
$\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}\ =$
$=\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a) + f(a) - f(a - h)}{2h}\ =$
$=\ \dfrac{1}{2}(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a - h)}{h})\ =$
$=\ \dfrac{2f'(a)}{2}\ =\ \fbox{$f'(a)$}$
Q.E.D.
quarta-feira, 10 de junho de 2020
Calculadora: módulo e argumento principal de um número complexo.
Exemplo:
Input: "0, 2".
Output:
"
Módulo: aproximadamente "2".
Argumento principal: aproximadamente "pi/2".
"
Módulo e argumento principal:
Calculadora: produto de números complexos.
Exemplo:
Input: "2, 5.5; -4, 7; 0, 1". Output: "8, -46.5".
Produto:
Calculadora: soma de números complexos.
Exemplo:
Input: "2, 5.5; -4, 7; 0, 1". Output: "-2, 13.5".
Soma:
domingo, 31 de maio de 2020
Suponha que $|f(x)| \le |x|^k$, com $k > 1$. Calcule, por definição, $f'(0)$.
$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$
Como $0 \le |f(x)| \le |x|^k$:
(I): $\lim_{h \rightarrow 0 ^+} \dfrac{0}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{|f(h)|}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{|h|^k}{h}\ \Rightarrow\ 0 \le \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{|f(h)|}{h} \le 0$.
(II): $\lim_{h \rightarrow 0 ^-} \dfrac{|h|^k}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{|f(h)|}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{0}{h}\ \Rightarrow\ 0 \le \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{|f(h)|}{h} \le 0$.
Por (I) e (II), e pelo teorema do confronto, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{|f(h)|}{h} = 0$.
Se $f(h) \ge 0$, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{|f(h)|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$.
Se $f(h) < 0$, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{|f(h)|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-f(h)}{h} = -\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$.
Em ambos os casos, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h} = 0$, logo $\fbox{$f'(0) = 0$}$.
terça-feira, 19 de maio de 2020
Derivada do $\arcsin x$.
Se $f^{-1}$ é diferenciável em seu domínio e $f'(x) \neq 0$, $(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'[f^{-1}(x)]}$.
Seja $(-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2})$ o domínio de $\sin x$:
$\arcsin' x = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}$
domingo, 17 de maio de 2020
Exercício: unicidade de uma função dada sua derivada e um ponto.
Resolução:
Seja $g$ uma função real tal que $g'(x) = \cos (x^2 - x)$ e $g(0) = 1$, definamos $f(x) = g(x) - h(x)$.
$f'(x) = g'(x) - h'(x) = 0$, logo, pelo TVI, $f$ é constante.
$f(0) = g(0) - h(0) = 1 - 1 = 0$
Sendo $f(x) = 0$, $g(x) = h(x)$.
sexta-feira, 15 de maio de 2020
Exercício: seja $b^2 \ge 4ac$ e $b > 0$, encontre $\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
$= \dfrac{b^2 - 4ac - b^2}{(2a)(b + \sqrt{b^2 - 4ac})} = \dfrac{-2ac}{a(b + \sqrt{b^2 - 4ac})}$
Logo $\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-2ac}{a(b + \sqrt{b^2 - 4ac})} =$
$= \lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-2c}{b + \sqrt{b^2 - 4ac}} = \fbox{$-\dfrac{c}{b}$}$
terça-feira, 12 de maio de 2020
segunda-feira, 11 de maio de 2020
domingo, 10 de maio de 2020
Exercício: encontre a derivada de $f(x) = x^x$, $x > 0$.
Logo $f'(x) = e^{x\log x}(\dfrac{x}{x} + \log x) = \fbox{$x^x(1 + \log x)$}$
domingo, 5 de abril de 2020
cloudHQ: um agradecimento por quão útil foi e me é.
Uso a internet há muitos anos, e ela tem me ajudado em muitos e muitos aspectos, desde o desenvolvimento intrapessoal, ao profissional.
Tudo começou como entretenimento e fontes de estudo, mas depois a coisa foi ficando mais séria: comecei a criar sites e softwares, e manter cópias de backup de arquivos tornou-se uma necessidade fundamental, imaginemos, por exemplo, uma empresa que precisa manter os dados dos seus valiosos e preciosos clientes...
Muitas ferramentas e softwares me foram úteis, e, hoje, vim agradecer a um em especial, o cloudHQ.
Trata-se de um serviço que faz, dentre outras coisas, a sincronização de arquivos entre vários outros serviços de nuvem, como, dentre outros, Dropbox, Google Drive, Microsoft Onedrive, Box, e o russo Yandex, estes que utilizo.
Como tenho muitos registros a guardar, em especial deste blog de Matemática, ele foi e é de sumária importância para mim.
Costumo assim o utilizar: depois de uma quantidade substancial de arquivos produzidos, para sentir-me seguro quanto a os manter seguros através de ter várias cópias, basta acionar a sincronização que o cloudHQ faz o trabalho para mim.
Atualmente tenho 122 pares de sincronização, pares de diretórios, onde, dependendo das opções customizáveis, os arquivos são copiados de um para outro.
Nas poucas vezes que precisei consultar o suporte, ele foi rápido em responder e resolver.
O serviço, em sua versão gratuita, sincroniza arquivos até o tamanho máximo de 150 Mb, o que não é um fator limitante para pequenos empreendimentos.
Repetindo, ele me é útil tanto pessoalmente quanto profissionalmente, deixa-me tranquilo quanto à segurança dos arquivos que me são importantes, recomendo.
Link: "https://www.cloudhq.net".
sexta-feira, 6 de março de 2020
Calculadora: encontrar fração geratriz.
Exemplo:
Input: "1.274".
Output: "637 / 500".
Fração geratriz:
domingo, 1 de março de 2020
Calculadora: derivada de uma função em um ponto.
Exemplos:
Input: "x * x * x; 4; 2".
Output: aproximadamente "24".
Input: "cos(x + ln(x)); pi; 1".
Output: aproximadamente "1.5".
Derivada no ponto (trata-se de uma aproximação):