Exercício: período de uma roda girando.

Qual o período de uma roda que gira a $600\ rpm$?

Resolução:

$600\ rpm\ =\ 10\ Hz$

$T = \dfrac{1}{10} = 0,1\ s$

Exercício: potência de um número complexo.

Sendo $z = 3(\cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin \dfrac{\pi}{4})$, calcule $z^4$.

Resolução:

$z^4 = 3^4(\cos \dfrac{4\pi}{4} + i\sin \dfrac{4\pi}{4}) = -81$

Exercício: ângulos internos de um paralelogramo.

A diferença entre as medidas de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é $28^o$. Determine os dois ângulos.

Resolução:

Dois ângulos consecutivos de um paralelogramo, ou são congruentes, ou suplementares; como são diferentes, chamando o maior deles de $\theta$, $\theta + \theta - 28 = 180\ \therefore\ \theta = 104\ \wedge\ \theta - 28 = 76$.

Exercício: ângulo externo e ângulo central de um polígono.

Calcule a medida de um ângulo externo e de um ângulo central de um polígono regular de $n$ lados.

Resolução:

Chamando de $c$ um ângulo central, $c = \dfrac{360^o}{n}$.

Chamando de $i$ um ângulo interno, $i = \dfrac{(n - 2)\cdot 180^o}{n}$.

Chamando de $e$ um ângulo externo, $e = 180 - i = \dfrac{360}{n}$.

Demonstração: $n^2 - 3n$ é par.

Sendo $n$ inteiro, demonstre que $n^2 - 3n$ é par.

Resolução:

$n^2 - 3n = n(n - 3)$

Se $n$ é ímpar, $n - 3$ é par. Se $n - 3$ é ímpar, $n$ é par. $n(n - 3)$ o produto de um ímpar e um par é par.

Exercício: ângulos internos de um polígono.

Dois ângulos internos de um polígono convexo medem $140^o$ cada um e os demais ângulos internos medem $128^o$ cada um. Qual o número de lados do polígono?

Resolução:

O resto da divisão de $280 + 128(n - 2)$ por $180$ deve ser nulo para um $n$ mínimo, o que ocorre para $n = 7$.

Exercício: número de diagonais de polígonos.

Um polígono de $2n$ lados tem $18$ diagonais a mais que um polígono de $n$ lados. Quais os números de diagonais desses polígonos?

Resolução:

$4n^2 - 6n - n^2 + 3n - 36 = 0\ \Rightarrow\ n^2 - n - 12 = 0\ \therefore\ n = 4$

As diagonais são em número de $20$ e $2$.

Exercício: número de lados e diagonais de um polígono.

O número de diagonais de um polígono convexo de $x$ lados é dado por $d = \dfrac{x^2 - 3x}{2}$. Se o polígono possui $9$ diagonais, qual o número de lados?

Resolução:

$x^2 - 3x - 18 = 0\ \therefore\ x = 6$

Exercício: perímetro de um triângulo retângulo.

No triângulo retângulo $ABC$, abaixo, tem-se que: $M$ é ponto médio de $\overline{BC}$, $m(M\hat{A}C) = 30^o$ e $AB = 3\ cm$. Calcule o perímetro do triângulo $ABM$.

Resolução:

$\overline{AB} = \overline{BM}\ \wedge\ m(M\hat{A}B) = 60^o\ \Rightarrow\ \Delta ABM$ equilátero $\Rightarrow\ 2p = 9\ cm$.

Exercício: mediana em um triângulo retângulo.

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede $26\ cm$ e a mediana relativa à hipotenusa tem $21\ cm$ a menos que a soma das medidas dos catetos. Calcule o perímetro desse triângulo.

Resolução:

$13 = b + c - 21$

$a + b + c = 26 + 34 = 60$

Exercício: afixo de um número complexo.

Seja $L$ o afixo do número complexo $a = \sqrt{8} + i$ em um sistema de coordenadas cartesianas $xOy$. Determine o número complexo $b$, de módulo igual a $1$, cujo afixo $M$ pertence ao quarto quadrante e é tal que $L\hat{O}M$ é reto.



Resolução:

$a = 3(\cos \arccos \dfrac{\sqrt{8}}{3} + i \cdot \sin \arcsin \dfrac{1}{3})$

$b = \dfrac{1}{3} - i \cdot \dfrac{\sqrt{8}}{3}$

Exercício: velocidade angular e linear.

Uma partícula está em movimento circular, de raio igual a $10\ cm$, com a velocidade angular de $0,20\ rad/s$. Determine a velocidade linear, em $km/h$.

$v = 0,10\ \cdot\ 0,20\ \cdot\ 3,6\ =\ 7,2\ \cdot\ 10^{-2}\ km/h$

Exercício: ponto de maior ordenada.

Se $P(x, y)$ é o ponto de maior ordenada do plano tal que $x^2 + y^2 = x$, Quanto vale $x + y$?

$y$ máximo implica $y^2$ máximo, que implica $x - x^2$ máximo.

$y$ máximo implica $x = \dfrac{1}{2}$, que implica, assumindo o valor máximo, $y = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$