Simétricos de $z$ no plano de Argand-Gauss.

Seja $z$ um número complexo no plano de Argand-Gauss, há uma bijeção entre os pontos do plano de $\mathbb{C}$, de tal forma que um ponto do plano chama-se afixo de um elemento $z$ de $\mathbb{C}$.

O plano de Argand-Gauss, ou simplesmente plano complexo, é semelhante a um plano cartesiano, com dois eixos, no caso, o horizontal é chamado de eixo real e, o vertical, de eixo imaginário.

Eis os simétricos de um número complexo genérico $z$:

Simétrico em relação à origem: $-z$.

Simétrico em relação ao eixo real: $\overline{z}$.

Simétrico em relação ao eixo imaginário: $-\overline{z}$

Simétricos de $z$ no plano de Argand-Gauss.

Seja $z$ um número complexo no plano de Argand-Gauss, há uma bijeção entre os pontos do plano de $\mathbb{C}$, de tal forma que um ponto do plano chama-se afixo de um elemento $z$ de $\mathbb{C}$.

O plano de Argand-Gauss, ou simplesmente plano complexo, é semelhante a um plano cartesiano, com dois eixos, no caso, o horizontal é chamado de eixo real e, o vertical, de eixo imaginário.

Eis os simétricos de um número complexo genérico $z$:

Simétrico em relação à origem: $-z$.

Simétrico em relação ao eixo real: $\overline{z}$.

Simétrico em relação ao eixo imaginário: $-\overline{z}$

Gráficos: funções $\rho (z)$ e $\theta (z)$.

Um número complexo, em sua forma trigonométrica, possui dois parâmetros: $\rho$ que é seu módulo, e $theta$ que é seu argumento.

Eis aqui dois gráficos, um para $\rho$ e outro para $\theta$ no plano de Argand-Gauss:

Gráficos: funções $\rho (z)$ e $\theta (z)$.

Um número complexo, em sua forma trigonométrica, possui dois parâmetros: $\rho$ que é seu módulo, e $theta$ que é seu argumento.

Eis aqui dois gráficos, um para $\rho$ e outro para $\theta$ no plano de Argand-Gauss:

Demonstração: lançamento oblíquo a ângulos complementares.

Demonstre que lançamentos oblíquos a ângulos complementares são equidistantes.

$x_{max} = \dfrac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$

$\sin 2\theta\ =\ \sin (\pi - 2\theta) = \sin [2(\dfrac{\pi}{2} - \theta)]$

Demonstração: lançamento oblíquo a ângulos complementares.

Demonstre que lançamentos oblíquos a ângulos complementares são equidistantes.

$x_{max} = \dfrac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$

$\sin 2\theta\ =\ \sin (\pi - 2\theta) = \sin [2(\dfrac{\pi}{2} - \theta)]$

Exercício: determinando imagens de números complexos.

Determine no plano de Argand-Gauss as imagens dos complexos $z$ tais que $z\overline{z} = |z|$.

Resolução:

Seja $z = a + bi$.

$z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, ou seja, é o quadrado do seu módulo.

$|z|$ é o seu módulo.

Chamemos o módulo de $z$ de $\rho$, assim, a equação acima pode ser interpretada como encontrar os complexos de módulo $\rho$, tais que $\rho^2 = \rho$.

$\rho^2 - \rho = 0\ \Rightarrow\ \rho = 0\ \vee\ \rho = 1$

Assim, no plano de Argand-Gauss, os únicos complexos que satisfazem a sentença são o centro $(0, 0)$ e a circunferência de raio $1$.

$\fbox{$S = \{z \in \mathbb{C}\ :\ z = 0\ \vee\ |z| = 1\}$}$

Exercício: determinando imagens de números complexos.

Determine no plano de Argand-Gauss as imagens dos complexos $z$ tais que $z\overline{z} = |z|$.

Resolução:

Seja $z = a + bi$.

$z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, ou seja, é o quadrado do seu módulo.

$|z|$ é o seu módulo.

Chamemos o módulo de $z$ de $\rho$, assim, a equação acima pode ser interpretada como encontrar os complexos de módulo $\rho$, tais que $\rho^2 = \rho$.

$\rho^2 - \rho = 0\ \Rightarrow\ \rho = 0\ \vee\ \rho = 1$

Assim, no plano de Argand-Gauss, os únicos complexos que satisfazem a sentença são o centro $(0, 0)$ e a circunferência de raio $1$.

$\fbox{$S = \{z \in \mathbb{C}\ :\ z = 0\ \vee\ |z| = 1\}$}$

Exercício: volume e razão de semelhança.

Se uma aresta de um poliedro mede $3 u$, e o mesmo tem volume $100 u^3$, $u$ unidade arbitrária de comprimento, qual será seu volume em uma outra unidade arbitrária $v$ tal que a mesma aresta tem comprimento $5 v$?

Resolução:

A razão de semelhança linear é $\dfrac{5}{3}$, logo a razão de semelhança cúbica ou volumétrica será $(\dfrac{5}{3})^3$.

$V\ =\ (\dfrac{5}{3})^3 \cdot 100\ v^3$

$V\ =\ \dfrac{12500}{27}\ v^3\ \approx\ \fbox{$463\ v^3$}$

Exercício: volume e razão de semelhança.

Se uma aresta de um poliedro mede $3 u$, e o mesmo tem volume $100 u^3$, $u$ unidade arbitrária de comprimento, qual será seu volume em uma outra unidade arbitrária $v$ tal que a mesma aresta tem comprimento $5 v$?

Resolução:

A razão de semelhança linear é $\dfrac{5}{3}$, logo a razão de semelhança cúbica ou volumétrica será $(\dfrac{5}{3})^3$.

$V\ =\ (\dfrac{5}{3})^3 \cdot 100\ v^3$

$V\ =\ \dfrac{12500}{27}\ v^3\ \approx\ \fbox{$463\ v^3$}$

Exercício: equação matricial.

$A$ é matriz inversível, resolva a equação $A \cdot X = B$.

Resolução:

$A \cdot X = B\ \Rightarrow \ A^{-1}(A \cdot X) = A^{-1} \cdot B\ \Rightarrow \ (A^{-1}A)X = A^{-1} \cdot B$

$I \cdot X = A^{-1} \cdot B\ \Rightarrow \ \fbox{$X = A^{-1} \cdot B$}$

Exercício: equação matricial.

$A$ é matriz inversível, resolva a equação $A \cdot X = B$.

Resolução:

$A \cdot X = B\ \Rightarrow \ A^{-1}(A \cdot X) = A^{-1} \cdot B\ \Rightarrow \ (A^{-1}A)X = A^{-1} \cdot B$

$I \cdot X = A^{-1} \cdot B\ \Rightarrow \ \fbox{$X = A^{-1} \cdot B$}$

Exercício: simétrico de um ponto com relação a outro ponto.

Determinar o simétrico do ponto $A(3, 5)$ em relação ao ponto $Q(9, 6)$.

Resolução:

O simétrico de $A$ em relação a $Q$ é o ponto $A'(x_{A'}, y_{A'})$ tal que $Q$ é o ponto médio do segmento $\overline{AA'}$.

$9 = \dfrac{3 + x_{A'}}{2} \Rightarrow x_{A'} = 15$

$6 = \dfrac{5 + y_{A'}}{2} \Rightarrow y_{A'} = 7$

$A'(15, 7)$

Exercício: simétrico de um ponto com relação a outro ponto.

Determinar o simétrico do ponto $A(3, 5)$ em relação ao ponto $Q(9, 6)$.

Resolução:

O simétrico de $A$ em relação a $Q$ é o ponto $A'(x_{A'}, y_{A'})$ tal que $Q$ é o ponto médio do segmento $\overline{AA'}$.

$9 = \dfrac{3 + x_{A'}}{2} \Rightarrow x_{A'} = 15$

$6 = \dfrac{5 + y_{A'}}{2} \Rightarrow y_{A'} = 7$

$A'(15, 7)$

Exercício: ponto médio.

Dados $A(5, 1)$ e $B(7, -9)$, determinar o ponto médio $M(x_M, y_M)$ do segmento $\overline{AB}$.

Resolução:

$x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \Rightarrow x_M = \dfrac{5 + 7}{2} = 6$

$y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2} \Rightarrow x_M = \dfrac{1 + (-9)}{2} = -4$

$M(6, -4)$

Exercício: ponto médio.

Dados $A(5, 1)$ e $B(7, -9)$, determinar o ponto médio $M(x_M, y_M)$ do segmento $\overline{AB}$.

Resolução:

$x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \Rightarrow x_M = \dfrac{5 + 7}{2} = 6$

$y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2} \Rightarrow x_M = \dfrac{1 + (-9)}{2} = -4$

$M(6, -4)$

Exercício: rotação dos eixos cartesianos.

Encontre a imagem $P'$ de $P(1, \sqrt{3})$ sabendo que os eixos foram rotacionados em $\dfrac{\pi}{6}\ rad$ no sentido anti-horário.

Resolução:

No plano de Argand-Gauss:

$(1, \sqrt{3})\ \equiv\ 2(\cos \dfrac{\pi}{3},\ \sin \dfrac{\pi}{3})$

$P'$, depois da rotação, é afixo de um complexo igual ao cujo afixo é $(1, \sqrt{3})$ menos $\dfrac{\pi}{6}$, antes da rotação.

Operando números complexos na forma trigonométrica:

$P'\ \equiv\ 2[\cos (\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6}),\ \sin (\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6})]$

$P'\ \equiv\ 2(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{1}{2})\ \equiv\ (\sqrt{3},\ 2)$

Exercício: rotação dos eixos cartesianos.

Encontre a imagem $P'$ de $P(1, \sqrt{3})$ sabendo que os eixos foram rotacionados em $\dfrac{\pi}{6}\ rad$ no sentido anti-horário.

Resolução:

No plano de Argand-Gauss:

$(1, \sqrt{3})\ \equiv\ 2(\cos \dfrac{\pi}{3},\ \sin \dfrac{\pi}{3})$

$P'$, depois da rotação, é afixo de um complexo igual ao cujo afixo é $(1, \sqrt{3})$ menos $\dfrac{\pi}{6}$, antes da rotação.

Operando números complexos na forma trigonométrica:

$P'\ \equiv\ 2[\cos (\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6}),\ \sin (\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6})]$

$P'\ \equiv\ 2(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{1}{2})\ \equiv\ (\sqrt{3},\ 2)$

Exercício: tempo de queda dada a distância percorrida em uma unidade de tempo.

Um corpo cai, em queda livre, de uma altura tal que durante o último segundo de queda ele percorre $1/4$ da altura total. Calcular o tempo de queda, supondo nula a velocidade inicial do corpo.

Resolução:

De $S = S_0 + v_0t + \dfrac{at^2}{2}$ :

$S = \dfrac{at^2}{2}$

Se no último segundo o corpo percorre $\dfrac{1}{4}$  da altura, antes do último segundo terá percorrido $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ da altura.

$\dfrac{3}{4}S = \dfrac{a(t-1)^2}{2}$

$\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{at^2}{2} = \dfrac{a(t-1)^2}{2}$

$4t^2 - 8t + 4 = 3t^2$

$t^2 - 8t + 4 = 0\ , \mathbb{U} = (1, +\infty)$

$t = (4 + 2\sqrt{3})\ s$

Exercício: tempo de queda dada a distância percorrida em uma unidade de tempo.

Um corpo cai, em queda livre, de uma altura tal que durante o último segundo de queda ele percorre $1/4$ da altura total. Calcular o tempo de queda, supondo nula a velocidade inicial do corpo.

Resolução:

De $S = S_0 + v_0t + \dfrac{at^2}{2}$ :

$S = \dfrac{at^2}{2}$

Se no último segundo o corpo percorre $\dfrac{1}{4}$  da altura, antes do último segundo terá percorrido $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ da altura.

$\dfrac{3}{4}S = \dfrac{a(t-1)^2}{2}$

$\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{at^2}{2} = \dfrac{a(t-1)^2}{2}$

$4t^2 - 8t + 4 = 3t^2$

$t^2 - 8t + 4 = 0\ , \mathbb{U} = (1, +\infty)$

$t = (4 + 2\sqrt{3})\ s$

Exercício: produto de matrizes.

Seja $A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix}$. Encontre $A^2$.

Resolução:

$A^2 = AA = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix} =$

$= \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-3)\\ 4 \cdot 1 + (-3) \cdot 4 & 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-3)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4\\ -8 & 17\end{bmatrix}$

Exercício: produto de matrizes.

Seja $A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix}$. Encontre $A^2$.

Resolução:

$A^2 = AA = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix} =$

$= \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-3)\\ 4 \cdot 1 + (-3) \cdot 4 & 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-3)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4\\ -8 & 17\end{bmatrix}$

Exercício: determinar base de numeração.

Determine a base de numeração $n$ para que a sentença $103 - 21 = 30 - 2$ seja verdadeira.

Resolução:

$(1 \cdot n^2 + 0 \cdot n + 3) - (2 \cdot n + 1) = (3 \cdot n + 0) - (2)$

$n^2 - 5n + 4 = 0$

$n = 4$

Exercício: determinar base de numeração.

Determine a base de numeração $n$ para que a sentença $103 - 21 = 30 - 2$ seja verdadeira.

Resolução:

$(1 \cdot n^2 + 0 \cdot n + 3) - (2 \cdot n + 1) = (3 \cdot n + 0) - (2)$

$n^2 - 5n + 4 = 0$

$n = 4$

Exercício: instante de encontro de dois móveis.

Na figura, estão representados os gráficos das velocidades de dois móveis em função do tempo. Esses móveis partem de um mesmo ponto, a partir do repouso, e percorrem uma mesma trajetória retilínea. Em que instante eles se encontram?

Resolução:

Chamemos de $a_1$ a aceleração de um móvel, e de $a_2$ a aceleração do outro.

De $v = v_0 + at$:

$4a_1 = (4-3)a_2\ \therefore\ a_2 = 4a_1$

De $s = s_0 + v_0t + \dfrac{at^2}{2}$:

$\dfrac{a_1 t^2}{2} = \dfrac{4a_1 (t-3)^2}{2}$

$t^2 - 8t + 12 = 0$

$t = 6\ s$ ($t$ deve ser maior que $3\ s$).

Exercício: instante de encontro de dois móveis.

Na figura, estão representados os gráficos das velocidades de dois móveis em função do tempo. Esses móveis partem de um mesmo ponto, a partir do repouso, e percorrem uma mesma trajetória retilínea. Em que instante eles se encontram?

Resolução:

Chamemos de $a_1$ a aceleração de um móvel, e de $a_2$ a aceleração do outro.

De $v = v_0 + at$:

$4a_1 = (4-3)a_2\ \therefore\ a_2 = 4a_1$

De $s = s_0 + v_0t + \dfrac{at^2}{2}$:

$\dfrac{a_1 t^2}{2} = \dfrac{4a_1 (t-3)^2}{2}$

$t^2 - 8t + 12 = 0$

$t = 6\ s$ ($t$ deve ser maior que $3\ s$).

Exercício: circunferência degenerada em um ponto.

Obtenha os valores reais de $k$ para que a equação $(x+3)^2 + y^2 = 1-2k$ represente um ponto.

Resolução:


Para um $k$ genérico, a equação acima trata-se de uma circunferência, assim, no segundo membro temos o quadrado de seu raio.


Para que a circunferência degenere em um único ponto, que será o seu centro $(-3, 0)$, o raio deve ser nulo, $0$:

$1-2k = 0\ \therefore \ k = \dfrac{1}{2}$

Exercício: circunferência degenerada em um ponto.

Obtenha os valores reais de $k$ para que a equação $(x+3)^2 + y^2 = 1-2k$ represente um ponto.

Resolução:


Para um $k$ genérico, a equação acima trata-se de uma circunferência, assim, no segundo membro temos o quadrado de seu raio.


Para que a circunferência degenere em um único ponto, que será o seu centro $(-3, 0)$, o raio deve ser nulo, $0$:

$1-2k = 0\ \therefore \ k = \dfrac{1}{2}$

Exercício: equação modular $|x| \cdot |x - 2| = 3x - 6$.

Resolva, no universo $\mathbb{R}$ a equação $|x| \cdot |x - 2| = 3x - 6$.

$x < 0\ \text{(I)}\ \Rightarrow\ (-x) \cdot (2 - x) = 3x - 6\ \Rightarrow\ (x = 2\ \vee\ x = 3)\ \text{(II)}$

(I) e (II) $\Rightarrow\ S_1 = \emptyset$

$0 \le x < 2\ \text{(III)}\ \Rightarrow\ x(2 - x) = 3x - 6\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ (x = -3\ \vee\ x = 2)\ \text{(IV)}$

(III) e (IV) $\Rightarrow\ S_2 = \emptyset$

$x \ge 2\ \text{(V)}\ \Rightarrow\ x(x - 2) = 3x - 6\ \Rightarrow\ (x = 2\ \vee\ x = 3)\ \text{(VI)}$

(V) e (VI) $\Rightarrow\ S_3 = \{2, 3\}$

$\bigcup_{i = 1}^3 S_i = \{2, 3\}$

Exercício: equação modular $|x| \cdot |x - 2| = 3x - 6$.

Resolva, no universo $\mathbb{R}$ a equação $|x| \cdot |x - 2| = 3x - 6$.

$x < 0\ \text{(I)}\ \Rightarrow\ (-x) \cdot (2 - x) = 3x - 6\ \Rightarrow\ (x = 2\ \vee\ x = 3)\ \text{(II)}$

(I) e (II) $\Rightarrow\ S_1 = \emptyset$

$0 \le x < 2\ \text{(III)}\ \Rightarrow\ x(2 - x) = 3x - 6\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ (x = -3\ \vee\ x = 2)\ \text{(IV)}$

(III) e (IV) $\Rightarrow\ S_2 = \emptyset$

$x \ge 2\ \text{(V)}\ \Rightarrow\ x(x - 2) = 3x - 6\ \Rightarrow\ (x = 2\ \vee\ x = 3)\ \text{(VI)}$

(V) e (VI) $\Rightarrow\ S_3 = \{2, 3\}$

$\bigcup_{i = 1}^3 S_i = \{2, 3\}$

Exercício: determinando imagem de uma função quadrática, dado um domínio.

Sendo $A = \{x \in \mathbb{R}\ :\ x \ge 2\}$, determine o conjunto imagem da função $f:\ A\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ tal que $f(x) = x^2 - 2x - 8$.

$x_v = -\dfrac{-2}{2} = 1$

Para valores de $x$ maiores que $1$ a função é crescente.

$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 8 = -8$, logo $Im_f\ =\ [-8,\ +\infty[$

Exercício: determinando imagem de uma função quadrática, dado um domínio.

Sendo $A = \{x \in \mathbb{R}\ :\ x \ge 2\}$, determine o conjunto imagem da função $f:\ A\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ tal que $f(x) = x^2 - 2x - 8$.

$x_v = -\dfrac{-2}{2} = 1$

Para valores de $x$ maiores que $1$ a função é crescente.

$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 8 = -8$, logo $Im_f\ =\ [-8,\ +\infty[$