Simétricos de $z$ no plano de Argand-Gauss.

Seja $z$ um número complexo no plano de Argand-Gauss, há uma bijeção entre os pontos do plano de $\mathbb{C}$, de tal forma que um ponto do plano chama-se afixo de um elemento $z$ de $\mathbb{C}$.

O plano de Argand-Gauss, ou simplesmente plano complexo, é semelhante a um plano cartesiano, com dois eixos, no caso, o horizontal é chamado de eixo real e, o vertical, de eixo imaginário.

Eis os simétricos de um número complexo genérico $z$:

Simétrico em relação à origem: $-z$.

Simétrico em relação ao eixo real: $\overline{z}$.

Simétrico em relação ao eixo imaginário: $-\overline{z}$

Gráficos: funções $\rho (z)$ e $\theta (z)$.

Um número complexo, em sua forma trigonométrica, possui dois parâmetros: $\rho$ que é seu módulo, e $theta$ que é seu argumento.

Eis aqui dois gráficos, um para $\rho$ e outro para $\theta$ no plano de Argand-Gauss:

Demonstração: lançamento oblíquo a ângulos complementares.

Demonstre que lançamentos oblíquos a ângulos complementares são equidistantes.

$x_{max} = \dfrac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$

$\sin 2\theta\ =\ \sin (\pi - 2\theta) = \sin [2(\dfrac{\pi}{2} - \theta)]$

Exercício: determinando imagens de números complexos.

Determine no plano de Argand-Gauss as imagens dos complexos $z$ tais que $z\overline{z} = |z|$.

Resolução:

Seja $z = a + bi$.

$z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, ou seja, é o quadrado do seu módulo.

$|z|$ é o seu módulo.

Chamemos o módulo de $z$ de $\rho$, assim, a equação acima pode ser interpretada como encontrar os complexos de módulo $\rho$, tais que $\rho^2 = \rho$.

$\rho^2 - \rho = 0\ \Rightarrow\ \rho = 0\ \vee\ \rho = 1$

Assim, no plano de Argand-Gauss, os únicos complexos que satisfazem a sentença são o centro $(0, 0)$ e a circunferência de raio $1$.

$\fbox{$S = \{z \in \mathbb{C}\ :\ z = 0\ \vee\ |z| = 1\}$}$

Exercício: volume e razão de semelhança.

Se uma aresta de um poliedro mede $3 u$, e o mesmo tem volume $100 u^3$, $u$ unidade arbitrária de comprimento, qual será seu volume em uma outra unidade arbitrária $v$ tal que a mesma aresta tem comprimento $5 v$?

Resolução:

A razão de semelhança linear é $\dfrac{5}{3}$, logo a razão de semelhança cúbica ou volumétrica será $(\dfrac{5}{3})^3$.

$V\ =\ (\dfrac{5}{3})^3 \cdot 100\ v^3$

$V\ =\ \dfrac{12500}{27}\ v^3\ \approx\ \fbox{$463\ v^3$}$

Exercício: equação matricial.

$A$ é matriz inversível, resolva a equação $A \cdot X = B$.

Resolução:

$A \cdot X = B\ \Rightarrow \ A^{-1}(A \cdot X) = A^{-1} \cdot B\ \Rightarrow \ (A^{-1}A)X = A^{-1} \cdot B$

$I \cdot X = A^{-1} \cdot B\ \Rightarrow \ \fbox{$X = A^{-1} \cdot B$}$

Exercício: simétrico de um ponto com relação a outro ponto.

Determinar o simétrico do ponto $A(3, 5)$ em relação ao ponto $Q(9, 6)$.

Resolução:

O simétrico de $A$ em relação a $Q$ é o ponto $A'(x_{A'}, y_{A'})$ tal que $Q$ é o ponto médio do segmento $\overline{AA'}$.

$9 = \dfrac{3 + x_{A'}}{2} \Rightarrow x_{A'} = 15$

$6 = \dfrac{5 + y_{A'}}{2} \Rightarrow y_{A'} = 7$

$A'(15, 7)$

Exercício: ponto médio.

Dados $A(5, 1)$ e $B(7, -9)$, determinar o ponto médio $M(x_M, y_M)$ do segmento $\overline{AB}$.

Resolução:

$x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \Rightarrow x_M = \dfrac{5 + 7}{2} = 6$

$y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2} \Rightarrow x_M = \dfrac{1 + (-9)}{2} = -4$

$M(6, -4)$

Exercício: rotação dos eixos cartesianos.

Encontre a imagem $P'$ de $P(1, \sqrt{3})$ sabendo que os eixos foram rotacionados em $\dfrac{\pi}{6}\ rad$ no sentido anti-horário.

Resolução:

No plano de Argand-Gauss:

$(1, \sqrt{3})\ \equiv\ 2(\cos \dfrac{\pi}{3},\ \sin \dfrac{\pi}{3})$

$P'$, depois da rotação, é afixo de um complexo igual ao cujo afixo é $(1, \sqrt{3})$ menos $\dfrac{\pi}{6}$, antes da rotação.

Operando números complexos na forma trigonométrica:

$P'\ \equiv\ 2[\cos (\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6}),\ \sin (\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6})]$

$P'\ \equiv\ 2(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{1}{2})\ \equiv\ (\sqrt{3},\ 2)$

Exercício: tempo de queda dada a distância percorrida em uma unidade de tempo.

Um corpo cai, em queda livre, de uma altura tal que durante o último segundo de queda ele percorre $1/4$ da altura total. Calcular o tempo de queda, supondo nula a velocidade inicial do corpo.

Resolução:

De $S = S_0 + v_0t + \dfrac{at^2}{2}$ :

$S = \dfrac{at^2}{2}$

Se no último segundo o corpo percorre $\dfrac{1}{4}$  da altura, antes do último segundo terá percorrido $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ da altura.

$\dfrac{3}{4}S = \dfrac{a(t-1)^2}{2}$

$\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{at^2}{2} = \dfrac{a(t-1)^2}{2}$

$4t^2 - 8t + 4 = 3t^2$

$t^2 - 8t + 4 = 0\ , \mathbb{U} = (1, +\infty)$

$t = (4 + 2\sqrt{3})\ s$

Exercício: produto de matrizes.

Seja $A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix}$. Encontre $A^2$.

Resolução:

$A^2 = AA = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix} =$

$= \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-3)\\ 4 \cdot 1 + (-3) \cdot 4 & 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-3)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4\\ -8 & 17\end{bmatrix}$

Exercício: determinar base de numeração.

Determine a base de numeração $n$ para que a sentença $103 - 21 = 30 - 2$ seja verdadeira.

Resolução:

$(1 \cdot n^2 + 0 \cdot n + 3) - (2 \cdot n + 1) = (3 \cdot n + 0) - (2)$

$n^2 - 5n + 4 = 0$

$n = 4$

Exercício: instante de encontro de dois móveis.

Na figura, estão representados os gráficos das velocidades de dois móveis em função do tempo. Esses móveis partem de um mesmo ponto, a partir do repouso, e percorrem uma mesma trajetória retilínea. Em que instante eles se encontram?

Resolução:

Chamemos de $a_1$ a aceleração de um móvel, e de $a_2$ a aceleração do outro.

De $v = v_0 + at$:

$4a_1 = (4-3)a_2\ \therefore\ a_2 = 4a_1$

De $s = s_0 + v_0t + \dfrac{at^2}{2}$:

$\dfrac{a_1 t^2}{2} = \dfrac{4a_1 (t-3)^2}{2}$

$t^2 - 8t + 12 = 0$

$t = 6\ s$ ($t$ deve ser maior que $3\ s$).

Exercício: circunferência degenerada em um ponto.

Obtenha os valores reais de $k$ para que a equação $(x+3)^2 + y^2 = 1-2k$ represente um ponto.

Resolução:


Para um $k$ genérico, a equação acima trata-se de uma circunferência, assim, no segundo membro temos o quadrado de seu raio.


Para que a circunferência degenere em um único ponto, que será o seu centro $(-3, 0)$, o raio deve ser nulo, $0$:

$1-2k = 0\ \therefore \ k = \dfrac{1}{2}$

Exercício: equação modular $|x| \cdot |x - 2| = 3x - 6$.

Resolva, no universo $\mathbb{R}$ a equação $|x| \cdot |x - 2| = 3x - 6$.

$x < 0\ \text{(I)}\ \Rightarrow\ (-x) \cdot (2 - x) = 3x - 6\ \Rightarrow\ (x = 2\ \vee\ x = 3)\ \text{(II)}$

(I) e (II) $\Rightarrow\ S_1 = \emptyset$

$0 \le x < 2\ \text{(III)}\ \Rightarrow\ x(2 - x) = 3x - 6\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ (x = -3\ \vee\ x = 2)\ \text{(IV)}$

(III) e (IV) $\Rightarrow\ S_2 = \emptyset$

$x \ge 2\ \text{(V)}\ \Rightarrow\ x(x - 2) = 3x - 6\ \Rightarrow\ (x = 2\ \vee\ x = 3)\ \text{(VI)}$

(V) e (VI) $\Rightarrow\ S_3 = \{2, 3\}$

$\bigcup_{i = 1}^3 S_i = \{2, 3\}$

Exercício: determinando imagem de uma função quadrática, dado um domínio.

Sendo $A = \{x \in \mathbb{R}\ :\ x \ge 2\}$, determine o conjunto imagem da função $f:\ A\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ tal que $f(x) = x^2 - 2x - 8$.

$x_v = -\dfrac{-2}{2} = 1$

Para valores de $x$ maiores que $1$ a função é crescente.

$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 8 = -8$, logo $Im_f\ =\ [-8,\ +\infty[$

Exercício: inequação modular.

No universo real, resolva a inequação $|3x|>|5 - 2x|$.

$x < 0$ (I) $\Rightarrow\ -3x > 5 - 2x\ \Rightarrow\ x < -5$ (II)

(I) e (II): $x < -5$ (III)

$0 \le x \le \dfrac{5}{2}$ (IV) $\Rightarrow\ 3x > 5 - 2x\ \Rightarrow\ x > 1$ (V)

(IV) e (V): $1 < x \le \dfrac{5}{2}$ (VI)

$x > \dfrac{5}{2}$ (VII) $\Rightarrow\ 3x > 2x - 5\ \Rightarrow\ x > -5$ (VIII)

(VII) e (VIII): $x > \dfrac{5}{2}$ (IX)

(III) ou (VI) ou (IX): $x < -5\ \vee\ x > 1$

$S\ =\ ]-\infty, -5[\ \cup\ ]1, +\infty[$

Exercício: determinando parâmetro e imagem de uma função quadrática.

O gráfico da função quadrática definida por $y = x^2 - mx + (m - 1)$, onde $m \in \mathbb{R}$, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Qual o valor de $y$ que essa função associa a $x = 2$?

$\Delta = m^2 - 4m + 4 = 0\ \Rightarrow\ m = 2\ \Rightarrow\ y = x^2 - 2x + 1$

$x = 2\ \Rightarrow\ y = 1$

Exercício: soma de quadrados nula.

Sabendo que $x$, $y$ e $z$ são números reais e $(2x + y - z)^2 + (x - y)^2 + (z - 3)^2 = 0$, calcule $x + y + z$.

Como temos uma soma de quadrados, ela só será nula se todos os termos também forem nulos, logo:

$z - 3 = 0\ \Rightarrow\ z = 3$ (I)

$x - y = 0\ \Rightarrow\ x = y$ (II)

$2x + y - z = 0\ \wedge\ $(I) $\wedge$ (II) $\Rightarrow\ x = y = 1$ (III)

(I) $\wedge$ (III) $\Rightarrow\ x + y + z = 5$

Exercício: equação da reta paralela que passa por um ponto.

Obtenha uma equação da reta $r$ que passa pelo ponto $P(-2, 3)$ e é paralela à reta $s$ de equação $2x + 4y - 1 = 0$.

$2(-2) + 4\cdot 3 + k = 0\ \therefore\ k = -8$

$r:\ 2x + 4y - 8 = 0$

Exercício: tempo de queda livre.

Um corpo cai em queda livre, percorrendo a primeira metade de sua trajetória em $1\ s$. A trajetória inteira será percorrida em quantos segundos?

Resolução:


Da função horária $S(t) = S_0 +  v_0t + \dfrac{at^2}{2}$:

$\dfrac{S}{2} = \dfrac{a}{2}$

$S = a = \dfrac{2a}{2} = \dfrac{a(\sqrt{2})^2}{2}$

Portanto percorrerá toda a trajetória em $\sqrt{2}\ s$.

Exercício: resolvendo uma equação no sistema de numeração de base $2$.

Resolva a equação $10x - 11 = 101$ no sistema de numeração de base $2$.

Resolução:

$10x = 11 + 101$

$10x = 1000$

$x = 100$

Exercício: determinar parâmetro para que uma função tenha inversa.

Determine $k$ para que $f = \{(a, 2k - 1), (c, k)\}$ tenha inversa.

$f$ deve ser injetiva.

$2k - 1 \neq k\ \therefore\ k \neq 1$

$k$ pode assumir qualquer valor, menos o $1$.

Exercício: velocidade de lançamento e uma determinada altura.

Em uma experiência de laboratório, verificou-se que a velocidade de lançamento de um corpo para que este atingisse uma certa altura é $v$, quando lançado verticalmente. Um aluno repete a experiência, porém imprime ao corpo a velocidade $2v$. Qual será a velocidade do corpo ao atingir a altura do primeiro ensaio?

Resolução:



Por Torricelli:

$0 = v^2 + 2a\Delta S$

$3v^2 = 4v^2 + 2a\Delta S$

$(\sqrt{3}v)^2 = (2v)^2 + 2a\Delta S$

Portanto a velocidade será $v\sqrt{3}$.

Exercício: determinar equação de uma corda de uma circunferência.

Sabendo que o ponto $(2, 1)$ é ponto médio de uma corda $\overline{AB}$ da circunferência $(x-1)^2 + y^2 = 4$, qual a equação da reta que contém $\overline{AB}$?

Resolução:

$\overleftrightarrow{AB}$ será perpendicular à reta determinada por $(2, 1)$ e pelo centro da circunferência $(1, 0)$.

$-\dfrac{1}{m} = \dfrac{1-0}{2-1} \Rightarrow m = -1$

$\overleftrightarrow{AB}: y-1 = -(x-2)$

$\overleftrightarrow{AB}: x + y - 3 = 0$

Exercício: função periódica para produção de leite.

Devido principalmente às variações na quantidade de chuva no decorrer dos meses do ano, a produção de leite na fazenda de Rui sofre variação segundo a função $L(M) = 300 - 50\sin[(\dfrac{m-1}{6})\pi + \dfrac{3\pi}{2}]$, em que $m$ representa o mês do ano, e $L$, a quantidade de leite produzida, em litros. Nos meses em que a quantidade de chuva é maior, a produção também aumenta, pois a qualidade das pastagens melhora.

a) Em qual mês ocorreu a maior produção de leite? Quantos litros foram produzidos?

b) Determine o período da função $L$.

Resolução:

a) $L$ é máxima quando o seno for mínimo, ou seja:

$(\dfrac{m-1}{6})\pi + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$(\dfrac{m-1}{6})\pi = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi - \dfrac{3\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

$(\dfrac{m-1}{6})\pi = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\dfrac{m-1}{6} = 2k, k \in \mathbb{Z}$

$m - 1 = 12k, k \in \mathbb{Z}$

$m = 1 + 12k, k \in \mathbb{Z}$

Como $1 \le M \le 12$, $m = 1$, ou seja, o mês mais produtivo é janeiro, e a produção máxima é de $300 + 50 = 350\ l$.

b) O coeficiente de $m$ é $\dfrac{\pi}{6}$, logo o período da função é $|\dfrac{2\pi}{\dfrac{\pi}{6}}| = 12$.

Exercício: determinar parâmetro em circunferência.

Para que valor real de $k$ a equação $(x-1)^2 + (y-2)^2 = k-1$ representa uma circunferência que passa pela origem do sistema cartesiano?

Resolução:

$(0, 0)$ satisfaz.

$(0-1)^2 + (0-2)^2 = k-1 \Rightarrow k = 6$

Exercício: defasagem entre os ponteiros de um relógio.

Um relógio de ponteiros ficou parado por 2h45m. Em relação ao ponteiro que indica as horas, de quantos graus é a diferença entre sua posição no momento em que o relógio parou e no horário correto?

Resolução:

A cada hora, o ponteiro das horas deslocar-se-á $30$ graus, logo, no total, deslocar-se-á $30 \cdot (2 + \dfrac{3}{4}) = 82,5$ graus, ou $82$ graus é $30$ minutos de grau.

Exercício: diâmetro de um pneu dada sua rotação e a velocidade do veículo.

O pneu de um automóvel a $105,5 km/h$ gira a uma velocidade de $700$ rotações por minuto. Qual é o diâmetro desse pneu?

Resolução:

O pneu percorrerá $\dfrac{105,5}{60} \cdot 1000 \approx 1758$ metros em um minuto.

$1758 = 700 \cdot \pi \cdot d$

$d \approx 0,8$

$d \approx 80 cm$

Exercício: imagem de uma função trigonométrica.

Qual o conjunto imagem da função $f(x) = 2^{2\cos x}$?

Resolução:

$Im_f = [2^{2 \cdot (-1)}, 2^{2 \cdot 1}] = [\dfrac{1}{4}, 4]$

Exercício: uma aplicação do princípio fundamental da contagem.

Num salão há $16$ portas. Calcule o número de formas distintas de se entrar no salão e dele sair por uma porta diferente.

Resolução:

$16 \cdot 15 = 240$

Exercício: perímetro de um triângulo por razão de semelhança no plano cartesiano.

Os pontos $M(2, 3)$, $N(-1, -1)$ e $P(11, 4)$ são pontos médios dos lados $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{AC}$, respectivamente, de um triângulo $ABC$. Calcule o perímetro do triângulo $ABC$.

Resolução:

A razão de semelhança entre os triângulos $MNP$ e $ABC$ é $\dfrac{1}{2}$, logo basta calcular o perímetro de $MNP$ e multiplicar por $2$.

$P = 2(\sqrt{(2+1)^2 + (3+1)^2} + \sqrt{(2-11)^2 + (3-4)^2} +$

$+ \sqrt{(-1-11)^2 + (-1-4)^2}) = 36 + 2\sqrt{82}$