Exercício: resolver $x=\sqrt{5-\sqrt{5-x}}$.

Observemos que se tomarmos $x\ =\ \sqrt{5-x}$, e substituindo $x$ no segundo membro da identidade, obteremos a equação a qual desejamos solucionar.

Assim :

$x^2 = 5 - x$

$x\ =\ \dfrac{-1 + \sqrt{21}}{2}\ \vee\ x\ =\ \dfrac{-1 - \sqrt{21}}{2}$

Observemos que na equação original, ambos os valores encontrados de $x$ satisfazem as condições. Logo:

$S\ =\ \{\dfrac{-1 + \sqrt{21}}{2}\ ,\ \dfrac{-1 - \sqrt{21}}{2}\}$
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Questão resolvida por Leandro Goulart Pereira [http://www.facebook.com/leandro.goulartpereira].

Exercício: número de algarismos de uma potência.

(Fuvest-SP) Seja $x\ =\ 2^{1000}$. Sabendo que $\log_{10} 2$ é aproximadamente $0,30103$, qual o número de algarismos de $x$?

Resolução :

$\log_{10} 2\ = 0,30103 + m_1$, onde $-5\ \cdot\ 10^{-6}\ \le\ m_1\ <\ 5\ \cdot\ 10^{-6}$

$1000\ \cdot\ \log_{10} 2\ =\ 301,06 + m_2$, onde $-5\ \cdot\ 10^{-3}\ \le\ m_2\ <\ 5\ \cdot\ 10^{-3}$

$\log_{10} 2^{1000}\ =\ 301,06 + m_2$

$2^{1000}\ =\ 10^{301,06 + m_2}\ =\ 10^{301}\ \cdot\ 10^{m_3}$, onde $0\ <\ m_3\ <\ 1$

Como $1\ <\ 10^{m_3}\ < 10$, $x$ terá $301 + 1\ =\ 302$ algarismos.

Exercício: mensagem de erro na calculadora.

(Fuvest-SP) Presionando a tecla LOG de uma calculadora, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava antes no visor. Digita-se inicialmente o número 88888888 (oito oitos). Quantas vezes a tecla LOG precisa ser pressionada para que apareça mensagem de erro?

Resolução :

$88888888\ =\ 8,8888888\ \cdot\ 10^7$

$\log\ (8,8888888\ \cdot\ 10^7)\ =\ 7 + m_1$, onde $0\ <\ m_1\ <\ 1$

$\log\ (7 + m_1)\ =\ 0 + m_2$, onde $0\ <\ m_2\ <\ 1$

$\log\ m_2\ <\ 0$

Ao extrair o logaritmo de um número negativo, receberemos a mensagem de erro. Logo o número que a tecla LOG deve ser pressionada é $4$.

Exercício: logaritmos #6.

(Fuvest-SP) Sabendo-se que $5^p\ =\ 2$, qual o valor de $\log_2 100$?

Resolução:

$p\ =\ \log_5 2\ \Rightarrow\ \log_2 5\ =\ \dfrac{1}{p}$

$\log_2 100\ =\ \log_2 (2^2\ \cdot\ 5^2)\ =\ 2\ \cdot\ [(\log_2 2) + (\log_2 5)]\ =$

$=\ 2\ \cdot\ (1 + \dfrac{1}{p})\ =\ \dfrac{2p + 2}{p}$

Exercício: logaritmos #5.

(MACK-SP) Qual o valor de $\log_{\sqrt{2}} (\log_3 2\ \cdot\ \log_4 3)$?

Resolução :

$\log_{\sqrt{2}} (\log_3 2\ \cdot\ \log_4 3)\ =\ \log_{2^\dfrac{1}{2}} (\log_3 2\ \cdot\ \log_{2^2} 3)\ =$

$=\ 2\ \cdot\ \log_2 (\log_3 2\ \cdot\ \dfrac{\log_2 3}{2})\ =\ 2\ \cdot\ \log_2 (\dfrac{\log_3 3}{2})\ =\$

$=\ 2\ \cdot\ \log_2 \dfrac{1}{2}\ =\ -2$

Exercício: logaritmos #4.

(Cesgranrio-RJ) Quais os valores reais de $x$ para os quais $10^{\log_a (x^2 - 3x + 2)}\ =\ 6^{\log_a 10}$, onde $a\ >\ 0 $ e $ a\ \neq\ 1$?

Resolução :

$\log_a (x² - 3x + 2)\ =\ \log\ 6^{\log_a 10}\ =\ (\log_a 10)(\log\ 6)$

$x^2 - 3x + 2\ =\ 10^{\log\ 6}\ =\ 6$

$(x\ =\ 4) \vee\ (x\ =\ -1)$

Exercício: logaritmos #3.

(Fuvest-SP) Se $x^5\ =\ 1000$ e $b^3\ =\ 100$, então qual o valor do logaritmo de $x$ na base $b$?

Resolução :

$x\ =\ 10^\dfrac{3}{5}$

$b\ =\ 10^\dfrac{2}{3}$

$\log_b x\ =\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ \dfrac{3}{2}\ \cdot\ \log\ 10\ =\ 0,9$