Mathematical Ramblings Android App.

Disponível em:

https://bit.ly/MathematicalRamblingsAndroidApp

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Seja $u$ um vetor, mostrar que $0u = O$.

Seja $k$ um escalar.

$0u = (k - k)u = ku - ku = O$

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $u$ um vetor, mostrar que $0u = O$.

Seja $k$ um escalar.

$0u = (k - k)u = ku - ku = O$

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $K$ um corpo e $k \in K$, mostrar que $kO = O$.

Seja $u$ um vetor.

$kO = k(u - u) = ku - ku = O$

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $K$ um corpo e $k \in K$, mostrar que $kO = O$.

Seja $u$ um vetor.

$kO = k(u - u) = ku - ku = O$

Quod Erat Demonstrandum.

Unicidade do vetor nulo.

Sejam $O$ e $O'$ vetores nulos, e $u$ um vetor.

$u + O = u\ \wedge\ u + O' = u$

$u + O = u + O'$

$(-u) + u + O = (-u) + u + O'$

$O + O = O + O'$

$\fbox{$O = O'$}$

Unicidade do vetor nulo.

Sejam $O$ e $O'$ vetores nulos, e $u$ um vetor.

$u + O = u\ \wedge\ u + O' = u$

$u + O = u + O'$

$(-u) + u + O = (-u) + u + O'$

$O + O = O + O'$

$\fbox{$O = O'$}$

Software: AV3DNavigator.

Desde jovem apaixonado por games, ficava e ainda gosto de contemplar gráficos tridimensionais, esta foi uma das razões de eu ter desenvolvido o AV3DNavigator.

sourceforge.net/projects/av3dnavigator

github.com/antoniovandre2/AV3DNavigator

Software: AV3DNavigator.

Desde jovem apaixonado por games, ficava e ainda gosto de contemplar gráficos tridimensionais, esta foi uma das razões de eu ter desenvolvido o AV3DNavigator.

sourceforge.net/projects/av3dnavigator

github.com/antoniovandre2/AV3DNavigator

De quantas formas podemos expressar $257$ como uma soma de dois números primos?

Observemos que $257$ é ímpar, e todos os números primos, com exceção do $2$, são ímpares; como a soma de dois ímpares é par, uma parcela deve ser o $2$. Assim teríamos

$257 = 2 + 255$

Mas $255$ não é primo, logo não há uma forma sequer de escrever $257$ como a soma de dois primos.

De quantas formas podemos expressar $257$ como uma soma de dois números primos?

Observemos que $257$ é ímpar, e todos os números primos, com exceção do $2$, são ímpares; como a soma de dois ímpares é par, uma parcela deve ser o $2$. Assim teríamos

$257 = 2 + 255$

Mas $255$ não é primo, logo não há uma forma sequer de escrever $257$ como a soma de dois primos.

Temperatura de Antonio Vandré.

Em um gás ideal, a energia cinética média de uma partícula é dada por $e_c = \dfrac{3}{2}kT$, $k$ a constante de Boltzmann, e $T$ a temperatura absoluta.

Por que não poderíamos imaginarmos viver imersos em um gás cujas partículas são de dimensões familiares à nossa realidade, tal como um corpo esférico dotado de massa e velocidade?

Assim poderíamos atribuir uma temperatura a um objeto considerando apenas ele com sua energia cinética, não sua temperatura no sentido convencional, mas uma nova, que chamarei de Temperatura de Antonio Vandré.

Assim, a Temperatura de Antonio Vandré será dada pela fórmula:

$\fbox{$T_a = \dfrac{mv^2}{3k}$}$

Exemplo:

Seja um corpo de $1\ kg$ movendo-se a $1\ m/s$, sua temperatura de Antonio Vandré será:

$T_a \approx \dfrac{1}{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23}} \approx 2,42 \cdot 10^{22}\ K$

Temperatura de Antonio Vandré.

Em um gás ideal, a energia cinética média de uma partícula é dada por $e_c = \dfrac{3}{2}kT$, $k$ a constante de Boltzmann, e $T$ a temperatura absoluta.

Por que não poderíamos imaginarmos viver imersos em um gás cujas partículas são de dimensões familiares à nossa realidade, tal como um corpo esférico dotado de massa e velocidade?

Assim poderíamos atribuir uma temperatura a um objeto considerando apenas ele com sua energia cinética, não sua temperatura no sentido convencional, mas uma nova, que chamarei de Temperatura de Antonio Vandré.

Assim, a Temperatura de Antonio Vandré será dada pela fórmula:

$\fbox{$T_a = \dfrac{mv^2}{3k}$}$

Exemplo:

Seja um corpo de $1\ kg$ movendo-se a $1\ m/s$, sua temperatura de Antonio Vandré será:

$T_a \approx \dfrac{1}{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23}} \approx 2,42 \cdot 10^{22}\ K$

Comprimento de uma curva tridimensional em coordenadas paramétricas.

Seja uma curva no espaço dada por

$\begin{cases}x = f(t)\\ y = g(t)\\ z = h(t)\end{cases}$

Seja $C$ a soma de todas as distâncias entre os pontos de coordenadas $[f(t_{i+1}), g(t_{i+1}), h(t_{i+1}),]$, e $[f(t_i), g(t_i), h(t_i)]$, $t \in (a, b)$.

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \sum \sqrt{[f(t_{i+1}) - f(t_i)]^2 + [g(t_{i+1}) - g(t_i)]^2 + [h(t_{i+1}) - h(t_i)]^2}$.

Sejam $t_{k_i}$ tais que $t_i \le t_{k_i} \le t_{i+1}$. Pelo Teorema do Valor Médio:

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \sum \sqrt{[(t_{i+1} - t_i)f'(t_{k_i})]^2 + [(t_{i+1} - t_i)g'(t_{k_i})]^2 + [(t_{i+1} - t_i)h'(t_{k_i})]^2} =$

$= \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \sum \sqrt{[f'(t_{k_i})]^2 + [g'(t_{k_i})]^2 + [h'(t_{k_i})]^2}(t_{i+1} - t_i)$

Logo, pela definição de integral:

$\fbox{$C = \displaystyle\int_a^b \sqrt{[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2 + [h'(t)]^2}\ dt$}$

Exemplo:

Seja a helicoidal

$\begin{cases}x = \cos t\\ y = \sin t\\ z = \dfrac{t}{2}\end{cases}$.

O comprimento dela de $t = 0$ a $t = 2\pi$ é

$C = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + \dfrac{1}{4}}\ dt = \sqrt{5}\pi$.

Comprimento de uma curva tridimensional em coordenadas paramétricas.

Seja uma curva no espaço dada por

$\begin{cases}x = f(t)\\ y = g(t)\\ z = h(t)\end{cases}$

Seja $C$ a soma de todas as distâncias entre os pontos de coordenadas $[f(t_{i+1}), g(t_{i+1}), h(t_{i+1}),]$, e $[f(t_i), g(t_i), h(t_i)]$, $t \in (a, b)$.

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \sum \sqrt{[f(t_{i+1}) - f(t_i)]^2 + [g(t_{i+1}) - g(t_i)]^2 + [h(t_{i+1}) - h(t_i)]^2}$.

Sejam $t_{k_i}$ tais que $t_i \le t_{k_i} \le t_{i+1}$. Pelo Teorema do Valor Médio:

$C = \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \sum \sqrt{[(t_{i+1} - t_i)f'(t_{k_i})]^2 + [(t_{i+1} - t_i)g'(t_{k_i})]^2 + [(t_{i+1} - t_i)h'(t_{k_i})]^2} =$

$= \displaystyle\lim_{N \rightarrow 0} \sum \sqrt{[f'(t_{k_i})]^2 + [g'(t_{k_i})]^2 + [h'(t_{k_i})]^2}(t_{i+1} - t_i)$

Logo, pela definição de integral:

$\fbox{$C = \displaystyle\int_a^b \sqrt{[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2 + [h'(t)]^2}\ dt$}$

Exemplo:

Seja a helicoidal

$\begin{cases}x = \cos t\\ y = \sin t\\ z = \dfrac{t}{2}\end{cases}$.

O comprimento dela de $t = 0$ a $t = 2\pi$ é

$C = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + \dfrac{1}{4}}\ dt = \sqrt{5}\pi$.

Seja $r \in \mathbb{R}$, demonstrar que $|r| = |-r|$.

Para $r = 0$ a igualdade é imediata.

Seja $r > 0$, $-r$ é negativo, logo $|-r| = -(-r) = r = |r|$.

Seja $r < 0$, $-r$ é positivo, logo $|-r| = -r = |r|$.

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $r \in \mathbb{R}$, demonstrar que $|r| = |-r|$.

Para $r = 0$ a igualdade é imediata.

Seja $r > 0$, $-r$ é negativo, logo $|-r| = -(-r) = r = |r|$.

Seja $r < 0$, $-r$ é positivo, logo $|-r| = -r = |r|$.

Quod Erat Demonstrandum.

Jogo de cartas: funções.

Muitas vezes desejamos apenas relaxar com uma atividade leve, não muito psiquicamente exigente. Pensando nisto criei um joguinho com cartas que nomeei de "funções". Explico.

Primeiramente criamos mentalmente uma função de duas variáveis; à primeira variável atribuímos valores de 1 a 13, de acordo com o número de uma carta retirada, 11 para o caso de valete, 12 para a dama e 13 para o rei; à segunda variável atribuímos os valores de 1 a 4, de acordo com o naipe, 1 se paus, 2 se ouros, 3 se copas e 4 se espadas.

De um deck embaralhado, vamos retirando uma a uma todas as cartas e calculando o valor da função para o par de variáveis.

Exemplo:

Se criarmos a função $f(x, y) = x + y$, $x$ o correspondente ao número e $y$ o correspondente ao naipe, e retirarmos uma dama de copas, a resposta correta à carta é $f(12, 3) = 12 + 3 = 15$.

Jogo de cartas: funções.

Muitas vezes desejamos apenas relaxar com uma atividade leve, não muito psiquicamente exigente. Pensando nisto criei um joguinho com cartas que nomeei de "funções". Explico.

Primeiramente criamos mentalmente uma função de duas variáveis; à primeira variável atribuímos valores de 1 a 13, de acordo com o número de uma carta retirada, 11 para o caso de valete, 12 para a dama e 13 para o rei; à segunda variável atribuímos os valores de 1 a 4, de acordo com o naipe, 1 se paus, 2 se ouros, 3 se copas e 4 se espadas.

De um deck embaralhado, vamos retirando uma a uma todas as cartas e calculando o valor da função para o par de variáveis.

Exemplo:

Se criarmos a função $f(x, y) = x + y$, $x$ o correspondente ao número e $y$ o correspondente ao naipe, e retirarmos uma dama de copas, a resposta correta à carta é $f(12, 3) = 12 + 3 = 15$.

MR Quiz - Estatísticas - Antonio Vandré Pedrosa Furtunato Gomes

Frequência horária de uso:

0%

00h

23h

100%

Frequência diária semanal:

0%

Segunda

Domingo

100%

Frequência mensal:

0%

Janeiro

Dezembro

100%

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0%

00h

23h

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Frequência diária semanal:

0%

Segunda

Domingo

100%

Frequência mensal:

0%

Janeiro

Dezembro

100%