$\|A + B\| \le \|A\| + \|B\|$
Demonstração:
Seja $\alpha = \|A + B\|$.
$\alpha^2 = (A + B)^2 = \langle A, A \rangle + 2\langle A, B \rangle + \langle B, B\rangle$
Seja $\beta = \|A\| + \|B\|$.
$\beta^2 = \|A\|^2 + 2\|A\|\|B\| + \|B\|^2$
Como $\langle A, B \rangle \le \|A\|\|B\|$, está demonstrada.
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quinta-feira, 24 de junho de 2021
Desigualdade triangular.
Desigualdade de Schwarz.
$\langle A, B \rangle^2 \le \langle B, B \rangle \langle A, A \rangle$
Demonstração:
Seja $x = B \cdot B$ e $y = -A \cdot B$
$0 \le (xA + yB) \cdot (xA + yB)\ \Rightarrow\ 0 \le x^2 (A \cdot A) + 2xy(A \cdot B) + y^2 (B \cdot B)$
Substituindo $x$ e $y$:
$0 \le (B \cdot B)^2 (A \cdot A) - 2(B \cdot B)(A \cdot B)^2 + (A \cdot B)^2 (B \cdot B)$.
Se $B = 0$, a desigualdade é imeditada. Se $B \neq 0$, $\langle B, B \rangle > 0$; logo podemos dividir ambos os membros por $\langle B, B \rangle$. Teremos:
$0 \le \langle B, B \rangle \langle A, A \rangle - \langle A, B \rangle^2$
C.Q.D.
Mostrando ortogonalidade de vetores para uma definição particular do produto escalar.
Seja $\langle f, g \rangle = \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x)\ dx$.
Mostre que $\sin nx$ é ortogonal a $\cos mx$, $m, n \in \mathbb{Z}$.
Resolução:\\
$P = \langle \sin nx\ ,\ \cos mx \rangle = \dfrac{1}{2} \left[\underset{\alpha}{\underbrace{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin (n + m)x\ dx}} + \underset{\beta}{\underbrace{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin (n - m)x\ dx}} \right]$
Se $n = -m$,
$P = \dfrac{\cancelto{0}{\alpha} + \beta}{2} = \underset{\gamma}{\underbrace{\left. \left[ -\dfrac{\cos (n - m)x}{2(n - m)}\right] \right|_{-\pi}^{\pi}}} = 0$.
Se $n = m$,
$P = \dfrac{\alpha + \cancelto{0}{\beta}}{2} = \underset{\theta}{\underbrace{\left. \left[ -\dfrac{\cos (n + m)x}{2(n + m)}\right] \right|_{-\pi}^{\pi}}} = 0$.
Se $n \neq |m|$,
$P = \gamma + \theta = 0$.
C.Q.D.
Produto da soma de reais por um vetor de componentes reais.
Seja $A$ ponto do $\mathbb{R}^n$ e $c_1$ e $c_2$ números reais. Mostre que
$(c_1 + c_2)A = c_1 A + c_2 A$.
Resolução:
Seja $A = (x_i)_1^n$,
$(c_1 + c_2)A = [(c_1 + c_2)x_i]_1^n = (c_1 x_i + c_2 x_i)_1^n =$
$= (c_1 x_i)_1^n + (c_2 x_i)_1^n = c_1 A + c_2 A$.
C.Q.D.
quinta-feira, 14 de junho de 2012
Soma de vetores de mesma direção.
Seja $\theta$ o ângulo entre os vetores-parcelas.
Utilizando apenas da ferramenta pitagórica, temos:
$v_{1x}\ =\ v_1 \cos\ \theta$
$v_{1y}\ =\ v_1 \sin\ \theta$
$v^2\ =\ (v_2\ +\ v_1 \cos\ \theta)^2\ +\ (v_1 \sin\ \theta)^2$
$v^2\ =\ {v_2}^2\ +\ {v_1}^2 \cos^2\ \theta\ + 2 v_1 v_2 \cos\ \theta + {v_1}^2 \sin^2\ \theta$
$v^2\ =\ {v_2}^2\ +\ {v_1}^2 (\cos^2\ \theta\ +\ \sin^2\ \theta)\ + 2 v_1 v_2 \cos\ \theta$
$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ + 2 v_1 v_2 \cos\ \theta$
Este é um pensamento elementar, mas de uma beleza que tocou-me:
Se $\overrightarrow{v_1}$ e $\overrightarrow{v_2}$ tem a mesma direção, então $\theta\ = 0\ \vee\ \theta\ =\ \pi$. Logo $\cos\ \theta\ =\ 1\ \vee\ \cos\ \theta\ =\ -1$.
Se tem mesmo sentido, teremos:
$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ + 2 v_1 v_2 \cos\ 0$
$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ + 2 v_1 v_2\ =\ (v_2\ +\ v_1)^2$
$v\ =\ v_2 +\ v_1$
Se tem sentidos contrários, teremos:
$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ + 2 v_1 v_2 \cos\ \pi$
$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ - 2 v_1 v_2\ =\ (v_2\ -\ v_1)^2$
$v\ =\ |v_2 -\ v_1|$