Sejam $x, y \in \mathbb{R}_+^*$ e $a \in \mathbb{R}_+^* - \{1\}$, demonstrar $\log_a x + \log_a y = \log_a xy$.

Sejam $x, y \in \mathbb{R}_+^*$ e $a \in \mathbb{R}_+^* - \{1\}$, demonstrar $\log_a x + \log_a y = \log_a xy$.

Resolução:

Chamemos $L_1 = \log_a x$ e $L_2 = \log_a y$.

$x = a^{L_1}$ e $y = a^{L_2}$

$xy = a^{L_1} \cdot a^{L_2} = a^{L_1 + L_2}\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \log_a xy = L_1 + L_2\ \Rightarrow\ \fbox{$\log_a xy = \log_a x + \log_a y$}$

C.Q.D.

Derivada do logaritmo natural.

Seja $y = \log x$, com $x$ real e positivo.

$x = e^y$

Derivando implicitamente com relação a $x$:

$1 = y'e^y\ \Rightarrow\ y' = \dfrac{1}{e^{\log x}}$.

Logo $\fbox{$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$}$.

Demonstração do terceiro limite fundamental, $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - 1}{x}\ =\ \log a$.

Demonstração do terceiro limite fundamental, $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - 1}{x}\ =\ \log a$.

Seja $y = a^x - 1$.

$y + 1 = a^x\ \Rightarrow\ \log (y + 1) = x \log a\ \Rightarrow\ x = \dfrac{\log (y + 1)}{\log a}$

Observemos que $x \rightarrow 0\ \Rightarrow\ y \rightarrow 0$.

$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - 1}{x}\ =\ \lim_{y \rightarrow 0} \dfrac{y}{\dfrac{\log (y + 1)}{\log a}}\ =\ \lim_{y \rightarrow 0} \dfrac {\log a}{\dfrac{\log (y + 1)}{y}}\ =\ \dfrac{\log a}{\log \lim_{y \rightarrow 0} (1 + y)^{1/y}}$

O segundo limite fundamental é $\lim_{y \rightarrow 0} (1 + y)^{1/y}\ =\ e$. Logo:

$\fbox{$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - 1}{x}\ =\ \log a$}$.

Integral do logaritmo $\log_a x$.

Inicialmente encontremos $I = \int \log x\ dx$:

Por partes:

$I\ =\ x\log x - \int \dfrac{x}{x} dx\ =\ x\log x - x + c$

Como $\log_a x = \dfrac{\log x}{\log a}$, $\fbox{$\int \log_a x\ dx\ =\ \dfrac{x\log x - x}{\log a} + C$}$.

$L\ =\ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - b^x}{x}$

$L\ =\ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - b^x}{x}\ ,\ a,b \in \mathbb{R}_+$.

$\bullet$ Primeiro caso: $a = b = 0$:

$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{0}{x}\ = \fbox{$0$}$

$\bullet$ Segundo caso: $a \neq 0\ \wedge\ b = 0$:

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{a^x}{x}\ = +\infty$

$\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{a^x}{x}\ = -\infty$

Logo $\fbox{$\nexists L$}$.

$\bullet$ Terceiro caso: $a = 0\ \wedge\ b \neq 0$:

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{-b^x}{x}\ = -\infty$

$\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{-b^x}{x}\ = +\infty$

Logo $\fbox{$\nexists L$}$.

$\bullet$ Quarto caso: $a \neq 0\ \wedge\ b \neq 0$:

Aplicando L'Hospital:

$L\ =\ \lim_{x \rightarrow 0} [(a^x \log a) - (b^x \log b)]\ = \fbox{$\log \dfrac{a}{b}$}$

$\lim_{x \rightarrow 0^+} (e^x + 3x)^{1/x}$

$\lim_{x \rightarrow 0^+} (e^x + 3x)^{1/x}\ =\ \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\dfrac{\log (e^x + 3x)}{x}}\ =$

$=\ e^{\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{\log (e^x + 3x)}{x}}\ =\ e^{\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{e^x + 3}{e^x + 3x}}\ =\ \fbox{$e^4$}$

Exercício: encontre a derivada de $f(x) = x^x$, $x > 0$.

$x^x = (e^{\log x})^x = e^{x\log x}$

Logo $f'(x) = e^{x\log x}(\dfrac{x}{x} + \log x) = \fbox{$x^x(1 + \log x)$}$

Exercício: cologaritmo.

Calcule $colog_{\sqrt{3}}(\dfrac{1}{81})$.

Resolução:

$colog_{\sqrt{3}}(\dfrac{1}{81}) = -\log_{\sqrt{3}}(\dfrac{1}{81}) = -2\log_3(\dfrac{1}{81}) =$

$= 2\log_3(81) = 2 \cdot 4 = 8$

Exercício: número de algarismos de uma potência.

(Fuvest-SP) Seja $x\ =\ 2^{1000}$. Sabendo que $\log_{10} 2$ é aproximadamente $0,30103$, qual o número de algarismos de $x$?

Resolução :

$\log_{10} 2\ = 0,30103 + m_1$, onde $-5\ \cdot\ 10^{-6}\ \le\ m_1\ <\ 5\ \cdot\ 10^{-6}$

$1000\ \cdot\ \log_{10} 2\ =\ 301,06 + m_2$, onde $-5\ \cdot\ 10^{-3}\ \le\ m_2\ <\ 5\ \cdot\ 10^{-3}$

$\log_{10} 2^{1000}\ =\ 301,06 + m_2$

$2^{1000}\ =\ 10^{301,06 + m_2}\ =\ 10^{301}\ \cdot\ 10^{m_3}$, onde $0\ <\ m_3\ <\ 1$

Como $1\ <\ 10^{m_3}\ < 10$, $x$ terá $301 + 1\ =\ 302$ algarismos.

Exercício: mensagem de erro na calculadora.

(Fuvest-SP) Presionando a tecla LOG de uma calculadora, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava antes no visor. Digita-se inicialmente o número 88888888 (oito oitos). Quantas vezes a tecla LOG precisa ser pressionada para que apareça mensagem de erro?

Resolução :

$88888888\ =\ 8,8888888\ \cdot\ 10^7$

$\log\ (8,8888888\ \cdot\ 10^7)\ =\ 7 + m_1$, onde $0\ <\ m_1\ <\ 1$

$\log\ (7 + m_1)\ =\ 0 + m_2$, onde $0\ <\ m_2\ <\ 1$

$\log\ m_2\ <\ 0$

Ao extrair o logaritmo de um número negativo, receberemos a mensagem de erro. Logo o número que a tecla LOG deve ser pressionada é $4$.

Exercício: logaritmos #6.

(Fuvest-SP) Sabendo-se que $5^p\ =\ 2$, qual o valor de $\log_2 100$?

Resolução:

$p\ =\ \log_5 2\ \Rightarrow\ \log_2 5\ =\ \dfrac{1}{p}$

$\log_2 100\ =\ \log_2 (2^2\ \cdot\ 5^2)\ =\ 2\ \cdot\ [(\log_2 2) + (\log_2 5)]\ =$

$=\ 2\ \cdot\ (1 + \dfrac{1}{p})\ =\ \dfrac{2p + 2}{p}$

Exercício: logaritmos #5.

(MACK-SP) Qual o valor de $\log_{\sqrt{2}} (\log_3 2\ \cdot\ \log_4 3)$?

Resolução :

$\log_{\sqrt{2}} (\log_3 2\ \cdot\ \log_4 3)\ =\ \log_{2^\dfrac{1}{2}} (\log_3 2\ \cdot\ \log_{2^2} 3)\ =$

$=\ 2\ \cdot\ \log_2 (\log_3 2\ \cdot\ \dfrac{\log_2 3}{2})\ =\ 2\ \cdot\ \log_2 (\dfrac{\log_3 3}{2})\ =\$

$=\ 2\ \cdot\ \log_2 \dfrac{1}{2}\ =\ -2$

Exercício: logaritmos #4.

(Cesgranrio-RJ) Quais os valores reais de $x$ para os quais $10^{\log_a (x^2 - 3x + 2)}\ =\ 6^{\log_a 10}$, onde $a\ >\ 0 $ e $ a\ \neq\ 1$?

Resolução :

$\log_a (x² - 3x + 2)\ =\ \log\ 6^{\log_a 10}\ =\ (\log_a 10)(\log\ 6)$

$x^2 - 3x + 2\ =\ 10^{\log\ 6}\ =\ 6$

$(x\ =\ 4) \vee\ (x\ =\ -1)$

Exercício: logaritmos #3.

(Fuvest-SP) Se $x^5\ =\ 1000$ e $b^3\ =\ 100$, então qual o valor do logaritmo de $x$ na base $b$?

Resolução :

$x\ =\ 10^\dfrac{3}{5}$

$b\ =\ 10^\dfrac{2}{3}$

$\log_b x\ =\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ \dfrac{3}{2}\ \cdot\ \log\ 10\ =\ 0,9$

Exercício: áreas na função logaritmica.

(Vunesp-SP) A curva da figura representa o gráfico da função $y\ =\ \log_a x$ com $a\ >\ 1$. Dos pontos $B\ =\ (2\ ,\ 0)$ e $C\ =\ (4\ ,\ 0)$ saem perpendiculares ao eixo das abscissas, as quais interceptam a curva em $D$ e $E$, respectivamente. Se a área do trapézio retangular $BCED$ vale $3$, provar que a área do triângulo $ABD$, onde $A\ =\ (1\ ,\ 0)$, vale $\dfrac{1}{2}$.



Resolução:

Primeiramente calculemos as ordenadas de $D$ e $E$:

$D\ =\ (2\ ,\ \log_a 2)$

$E\ =\ (4\ ,\ \log_a 4)$

Calculemos a área $S_1$ do trapézio:

$S_1\ =\ \dfrac{(\log_a 2 + \log_a 2^2)\ \cdot\ (4 - 2)}{2}\ =\ 3\log_a 2$

Como $S_1\ =\ 3$, temos:

$\log_a 2\ =\ 1\ \Rightarrow\ a\ =\ 2$

Então $D\ =\ (2\ ,\ 1)$

Logo a área $S_2$ do triângulo será :

$S_2\ =\ \dfrac{(2 - 1)\ \cdot\ 1}{2}\ =\ \dfrac{1}{2}$.

Exercício: logaritmos #2.

(EFEI-MG) Se $\log_a x\ =\ P$, $\log_b x\ =\ Q$ e $\log_{abc} x\ =\ R$, determine $\log_c x$ em função de $P$, $Q$ e $R$.

Consideremos inicialmente $x\ \neq\ 1$, então:

$\log_x a\ =\ \dfrac{1}{P}$

$\log_x b\ =\ \dfrac{1}{Q} $

$\log_x abc\ =\ \dfrac{1}{R}$

E chamando $\log_c x\ =\ S$

$\log_x c\ =\ \dfrac{1}{S}$

Teremos:

$(\log_x a) + (\log_x b) + (\log_x c)\ =\ \dfrac{1}{P} + \dfrac{1}{Q} + \dfrac{1}{S}\ =\ \log_x abc\ =\ \dfrac{1}{R}$

Donde:

$\dfrac{1}{S}\ =\ \dfrac{PQ - PR - QR}{PQR}\ \Rightarrow\ S\ =\ \dfrac{PQ - PR - QR}{PQR}$
__

E para $x\ =\ 1$:

$\log_c x\ =\ 0$

Exercício: logaritmos.

(Vunesp-SP) Sejam $a$ e $b$ números reais maiores que zero e tais que $ab\ =\ 1$. Se $a\ \neq\ 1$ e $\log_a x\ =\ \log_b y$, determine o valor de $xy$.

Resolução:

Observemos que se $a\ \neq\ 1$ também teremos $b\ \neq\ 1$, o que garante a existência de $\log_b y$.

Se $ab\ =\ 1$ então $b\ =\ \dfrac{1}{a}$, assim:

$\log_a x\ =\ \log_\dfrac{1}{a} y$

$\log_a x\ =\ \log_a \dfrac{1}{y}$

Donde :

$x\ =\ \dfrac{1}{y}\ \Rightarrow\ xy\ =\ 1$

Exercício: difusão de uma notícia.

(Fuvest-SP) Em um certo país com população $A$ (em milhões de habitantes) é noticiada pela TV com implantação de um novo plano econômico pelo governo. O número de pessoas que já sabiam da notícia após $t\ \ge\ 0$ horas é dado por $f(t)\ =\ \dfrac{A}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}t}}$.

Sabe-se também que decorrida $1$ hora da divulgação do plano $50\%$ da população já estava ciente da notícia.

a) Qual a porcentagem da população que tomou conhecimento do plano no instante em que foi noticiado?

b) Qual a população do país?

c) Após quanto tempo $80\%$ da população estava ciente do plano?

Resolução :

a)

No instante em que a notícia foi divulgada, $t\ =\ 0$. Logo :

$f(0)\ =\ \dfrac{A}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}\ \cdot\ 0}}\ =$

$=\ \dfrac{A}{1 + 4e^0}\ =\ \dfrac{A}{1 + 4}\ =\ \dfrac{A}{5}\ =\ 20\ \%\ \cdot\ A$
__

b)

$50\ \%$ da população já sabia da notícia $1$ hora após sua divulgação, logo :

$f(1)\ =\ \dfrac{A}{2}\ =\ \dfrac{A}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}}}$

$\dfrac{1}{2}\ =\ \dfrac{1}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}}}$

$1\ =\ 4e^{-\dfrac{A}{2}}$

$\dfrac{1}{4}\ =\ e^{-\dfrac{A}{2}}$

$\ln\ \dfrac{1}{4}\ =\ -\dfrac{A}{2}$

$\dfrac{A}{2}\ =\ 2\ln\ 2$

$A\ =\ 4\ln\ 2$
__

c)

$\ 80\%\ \cdot\ A\ =\ \dfrac{A}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}t}}$

$\dfrac{4}{5}\ =\ \dfrac{1}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}t}}$

$4e^{-\dfrac{A}{2}t}\ =\ \dfrac{1}{4}$

$\ln\ \dfrac{1}{16}\ =\ -\dfrac{A}{2}t$

Como $A\ =\ 4\ln\ 2$:

$\ln\ \dfrac{1}{16}\ =\ -\dfrac{4\ln\ 2}{2}t$

$-4\ln\ 2\ =\ -2(\ln\ 2)\ \cdot\ t$

$t\ =\ 2$ horas.

Exercício: escala Richter.

(Fuvest-SP) A intensidade $I$ de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de $I\ =\ 0$ até $I\ =\ 8,5$ para o maior terremoto conhecido. $I$ é dado pela fórmula :

$I\ =\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0}$,

Onde $E$ é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e $E_0\ =\ 7\ \cdot\ 10^{-3}\ kWh$.

a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade $8$ na escala Richter?

b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada?

Resolução:

a)

$8\ =\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0}$

$12\ =\ \log_{10} \dfrac{E}{E_0}$

$10^{12}\ =\ \dfrac{E}{E_0}$

$E\ =\ 7\ \cdot\ 10^{-3}\ \cdot\ 10^{12}\ =\ 7\ \cdot\ 10^9\ kWh$
__

b)

$I + 1\ =\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + 1\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + \log_{10} 10\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + \dfrac{2}{3}\ \cdot\ \dfrac{3}{2}\log_{10} 10\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + \dfrac{2}{3}\ \cdot\ \log_{10} \sqrt{1000}\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}(\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + \log_{10} \sqrt{1000})\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E\ \cdot\ \sqrt{1000}}{E_0}$

Ou seja, a energia liberada fica multiplicada pelo fator $10\sqrt{10}$.