$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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quarta-feira, 5 de dezembro de 2012

Médias harmônica, aritmética, e aritmética ponderada em uma solução.

Consideremos uma solução composta de duas substâncias de densidades $d_1$ e $d_2$, massas $m_1$ e $m_2$, e volumes $v_1$ e $v_2$. Podemos calcular a densidade $d$ da solução empregando o conceito de médias, facilitando a computação da mesma.

1º caso: $v_1\ =\ v_2\ =\ v$:

$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{2v}\ =\ \dfrac{d_1\ \cdot\ v + d_2\ \cdot\ v}{2v}\ =\ \dfrac{d_1 + d_2}{2}$

Logo, se as duas substâncias possuem o mesmo volume, a densidade da solução será a média aritmética das densidades das substâncias componentes.
__

2º caso: $m_1\ =\ m_2\ =\ m$:

$d\ =\ \dfrac{2m}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{2m}{\dfrac{m}{d_1} + \dfrac{m}{d_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2}}$

Logo, se as duas substâncias possuem a mesma massa, a densidade da solução será a média harmônica das densidades das substâncias componentes.
__

3ºcaso: $m_1$, $m_2$, $v_1$, e $v_2$ quaisquer:

$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot d_1\ +\ v_2\ \cdot\ d_2}{v_1 + v_2}$

Logo, a densidade de uma solução de duas substâncias é igual a média aritmética ponderada das densidades das substâncias componentes cujos pesos são seus respectivos volumes.

segunda-feira, 3 de dezembro de 2012

Exercício: evaporação de uma solução e aumento da salinidade.

(Unicamp-SP) Uma quantidade de $6240$ litros de água apresentava um índice de salinidade de $12\%$. Devido à evaporação esse índice subiu para $18\%$. Calcule, em litros, a quantidade de água que evaporou.

Resolução:

Chamemos de $a$ a quantidade em volume de água da solução, $s$ a quantidade em volume de sal, e $e$ a quantidade em volume de água que evaporou. Temos:

$\dfrac{s}{a}\ =\ 12\%$.....[1]

$\dfrac{s}{a - e}\ =\ 18\%$

Delas podemos concluir:

$\dfrac{a}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}$.....[2]

$\dfrac{a - e}{s}\ =\ \dfrac{a}{s}\ -\ \dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{18}$.....[3]

Substituindo [2] em [3]:

$\dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}\ -\ \dfrac{100}{18}\ =\ \dfrac{100}{36}$

$e\ =\ s\ \cdot\ \dfrac{100}{36}$.....[4]

Substituindo [1] em [4]:

$e\ =\ a\ \cdot\ \dfrac{12}{100}\ \cdot\ \dfrac{100}{36}\ =\ \dfrac{a}{3}$

Logo:

$e\ =\ \dfrac{6240}{3}\ =\ 2080\ \ell$