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Determine os valores de $x$, em radianos, de modo que $\dfrac{\sin x}{2}$, $\sin x$ e $\tan x$ formem uma PG.
$\sin^2 x = \dfrac{\sin^2 x}{2\cos x}\ \Rightarrow\ \sin x = 0\ \vee\ \cos x = \dfrac{1}{2}$
$\fbox{$x = k\pi\ \vee\ x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\ \vee\ x = \dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$}$.
Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de $3\ \text{km}\ \text{x}\ 2\ \text{km}$ que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio $1\ \text{km}$ a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, qual a porcentagem do terreno que coube a João?
Resolução:
A área do triângulo que coube a João é $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\ \text{km}^2$.
A área total é de $6\ \text{km}^2$, assim, o percentual é de $\fbox{$\dfrac{100 \sqrt{3}}{9}\ \%$}$.
Considere um ponto $P$ em uma circunferência de raio $r$ no plano cartesiano. Seja $Q$ a projeção ortogonal de $P$ sobre o eixo $x$, como mostra a figura, e suponha que o ponto $P$ percorra, no sentido anti-horário, uma distância $d \le r$ sobre a circunferência.
Qual a distância o ponto $Q$ percorrerá no eixo $x$?
Resolução:
$P$ percorrerá, na circunferência, um ângulo dado em radianos por $\dfrac{d}{r}$, logo a distância percorrida por $Q$ será
$\fbox{$r - r\cos \dfrac{d}{r}$}$.
O comprimento da senoide é dado por $S = 4\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1 + \cos^2 x}\ dx$.
Notemos que $0 \le \cos^2 x \le 1$, logo $4\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1}\ dx\ \le\ S\ \le\ 4\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \sqrt{1 + 1}\ dx\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ \fbox{$2\pi \le S \le 2\sqrt{2}\pi$}$.
Observe o triângulo acutângulo abaixo e determine o comprimento do lado $AC$ e o ângulo formado no vértice $A$.
$b^2 = 100 + 64 - 160\cos 50^\text{o}\ \Rightarrow\ b = 2\sqrt{41 - 40\cos 50^\text{o}} \approx\ \fbox{$7,8$}$
$\dfrac{\sin 50^\text{o}}{2\sqrt{41 - 40\cos 50^\text{o}}} = \dfrac{\sin \hat{A}}{8}\ \Rightarrow\ \hat{A} = \arcsin \dfrac{4\sin 50^\text{o}}{\sqrt{41 - 40\cos 50^\text{o}}} \approx\ \fbox{$51,6^\text{o}$}$
Pedro, localizado a 8 metros do chão, está observando o prédio vizinho. Sabendo que a sua distância para o prédio vizinho é de 8 m e entre as duas estruturas forma-se um triângulo, cujo ângulo ABC é de 105º, determine a altura do prédio que Pedro está observando.
$h = 8 + 8\tan (105^\text{o} - 45^\text{o}) = 8 + 8\sqrt{3} = \fbox{$8(1 + \sqrt{3})\ \text{m}$}$
$\theta = 2\pi \cdot \dfrac{2}{3} - \dfrac{\pi}{6} \cdot \left(2 + \dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4\pi}{3} - \dfrac{4\pi}{9} = \dfrac{8\pi}{9}\ \text{rad}\ = \fbox{$160^\text{o}$}$
João trabalha em um prédio e todos os dias tem que subir uma escada de 8 degraus, que tem aproximadamente 2 metros de comprimento e 30 graus de inclinação. De acordo com a figura a seguir, determine a altura de cada degrau.
$8h = 2\sin \dfrac{\pi}{6} = 1\ \therefore\ h = 0,125 \text{m} = \fbox{$12,5 \text{cm}$}$
Encontrar o valor de $x$.
$x = \dfrac{3\ \text{cm}}{\cos 30^o} = \fbox{$2\sqrt{3}\ \text{cm}$}$
| A equação aparecerá aqui... |
$\cos \dfrac{\pi}{8} + \sin \dfrac{\pi}{8} = \cos \dfrac{\pi}{8} + \cos \dfrac{3\pi}{8} = 2\left(\cos \dfrac{\pi}{4}\right)\left(\cos \dfrac{\pi}{8}\right) = $
$= \sqrt{2}\sqrt{\dfrac{1 + \cos \dfrac{\pi}{4}}{2}} = \fbox{$\sqrt{1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}}$}$
$\cos^4 x - \sin^4 x = \underset{1}{\underbrace{(\cos^2 x + \sin^2 x)}}(\cos^2 x - \sin^2 x) = \cos 2x$
Vamos partir de uma simples fórmula que pode ser escrita de duas formas:
$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$.
Tomando $\theta = 2\alpha$:
$\cos \theta = 2\cos^2 \dfrac{\theta}{2} - 1\ \Rightarrow\ \fbox{$\cos \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{\cos \theta + 1}{2}}$}$;
$\cos \theta = 1 - 2\sin^2 \dfrac{\theta}{2}\ \Rightarrow\ \fbox{$\sin \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos \theta}{2}}$}$;
$\fbox{$\tan \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$}$; $\fbox{$\cot \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}}$}$;
$\fbox{$\sec \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{2}{\cos \theta + 1}}$}$; $\fbox{$\csc \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{2}{1 - \cos \theta}}$}$;
$\fbox{$cord\ \dfrac{\theta}{2} = \sqrt{2\left(1 \pm \sqrt{\dfrac{1 + \cos \theta}{2}}\right)}$}$.
$\sin (2x)=2\,\cos x\,\sin x$
$\cos (2x)=\cos ^2x-\sin ^2x$
$\sin (3x)=3\,\cos ^2x\,\sin x-\sin ^3x$
$\cos (3x)=\cos ^3x-3\,\cos x\,\sin ^2x$
$\sin (4x)=4\,\cos ^3x\,\sin x-4\,\cos x\,\sin ^3x$
$\cos (4x)=\sin ^4x-6\,\cos ^2x\,\sin ^2x+\cos ^4x$
$\sin (5x)=\sin ^5x-10\,\cos ^2x\,\sin ^3x+5\,\cos ^4x\,\sin x$
$\cos (5x)=5\,\cos x\,\sin ^4x-10\,\cos ^3x\,\sin ^2x+\cos ^5x$
$\sin (6x)=6\,\cos x\,\sin ^5x-20\,\cos ^3x\,\sin ^3x+6\,\cos ^5x\,\sin x$
$\cos (6x)=-\sin ^6x+15\,\cos ^2x\,\sin ^4x-15\,\cos ^4x\,\sin ^2x+\cos ^6x$
$\sin (7x)=-\sin ^7x+21\,\cos ^2x\,\sin ^5x-35\,\cos ^4x\,\sin ^3x+7\,\cos ^6x\,\sin x$
$\cos (7x)=-7\,\cos x\,\sin ^6x+35\,\cos ^3x\,\sin ^4x-21\,\cos ^5x\,\sin ^2x+\cos ^7x$
$\sin (8x)=-8\,\cos x\,\sin ^7x+56\,\cos ^3x\,\sin ^5x-56\,\cos ^5x\,\sin ^3x+8\,\cos ^7x\,\sin x$
$\cos (8x)=\sin ^8x-28\,\cos ^2x\,\sin ^6x+70\,\cos ^4x\,\sin ^4x-28\,\cos ^6x\,\sin ^2x+\cos ^8x$
$\sin (9x)=\sin ^9x-36\,\cos ^2x\,\sin ^7x+126\,\cos ^4x\,\sin ^5x-84\,\cos ^6x\,\sin ^3x+9\,\cos ^8x\,\sin x$
$\cos (9x)=9\,\cos x\,\sin ^8x-84\,\cos ^3x\,\sin ^6x+126\,\cos ^5x\,\sin ^4x-36\,\cos ^7x\,\sin ^2x+\cos ^9x$
${\small \sin (10x)=10\,\cos x\,\sin ^9x-120\,\cos ^3x\,\sin ^7x+252\,\cos ^5x\,\sin ^5x-120\,\cos ^7x\,\sin ^3x+10\,\cos ^9x\,\sin x}$
${\small \cos (10x)=-\sin ^{10}x+45\,\cos ^2x\,\sin ^8x-210\,\cos ^4x\,\sin ^6x+210\,\cos ^6x\,\sin ^4x-45\,\cos ^8x\,\sin ^2x+\cos ^{10}x}$
${\scriptsize \sin (11x)=-\sin ^{11}x+55\,\cos ^2x\,\sin ^9x-330\,\cos ^4x\,\sin ^7x+462\,\cos ^6x\,\sin ^5x-165\,\cos ^8x\,\sin ^3x+11\,\cos ^{10}x\,\sin x}$
${\scriptsize \cos (11x)=-11\,\cos x\,\sin ^{10}x+165\,\cos ^3x\,\sin ^8x-462\,\cos ^5x\,\sin ^6x+330\,\cos ^7x\,\sin ^4x-55\,\cos ^9x\,\sin ^2x+\cos ^{11}x}$
${\tiny \sin (12x)=-12\,\cos x\,\sin ^{11}x+220\,\cos ^3x\,\sin ^9x-792\,\cos ^5x\,\sin ^7x+792\,\cos ^7x\,\sin ^5x-220\,\cos ^9x\,\sin ^3x+12\,\cos ^{11}x\,\sin x}$
${\tiny \cos (12x)=\sin ^{12}x-66\,\cos ^2x\,\sin ^{10}x+495\,\cos ^4x\,\sin ^8x-924\,\cos ^6x\,\sin ^6x+495\,\cos ^8x\,\sin ^4x-66\,\cos ^{10}x\,\sin ^2x+\cos ^{12}x}$
${\tiny \sin (13x)=\sin ^{13}x-78\,\cos ^2x\,\sin ^{11}x+715\,\cos ^4x\,\sin ^9x-1716\,\cos ^6x\,\sin ^7x+1287\,\cos ^8x\,\sin ^5x-286\,\cos ^{10}x\,\sin ^3x+13\,\cos ^{12}x\,\sin x}$
${\tiny \cos (13x)=13\,\cos x\,\sin ^{12}x-286\,\cos ^3x\,\sin ^{10}x+1287\,\cos ^5x\,\sin ^8x-1716\,\cos ^7x\,\sin ^6x+715\,\cos ^9x\,\sin ^4x-78\,\cos ^{11}x\,\sin ^2x+\cos ^{13}x}$
${\tiny \sin (14x)=14\,\cos x\,\sin ^{13}x-364\,\cos ^3x\,\sin ^{11}x+2002\,\cos ^5x\,\sin ^9x-3432\,\cos ^7x\,\sin ^7x+2002\,\cos ^9x\,\sin ^5x-364\,\cos ^{11}x\,\sin ^3x+14\,\cos ^{13}x\,\sin x}$
${\tiny \cos (14x)=-\sin ^{14}x+91\,\cos ^2x\,\sin ^{12}x-1001\,\cos ^4x\,\sin ^{10}x+3003\,\cos ^6x\,\sin ^8x-3003\,\cos ^8x\,\sin ^6x+1001\,\cos ^{10}x\,\sin ^4x-91\,\cos ^{12}x\,\sin ^2x+\cos ^{14}x}$
${\tiny \sin (15x)=-\sin ^{15}x+105\,\cos ^2x\,\sin ^{13}x-1365\,\cos ^4x\,\sin ^{11}x+5005\,\cos ^6x\,\sin ^9x-6435\,\cos ^8x\,\sin ^7x+3003\,\cos ^{10}x\,\sin ^5x-455\,\cos ^{12}x\,\sin ^3x+15\,\cos ^{14}x\,\sin x}$
${\tiny \cos (15x)=-15\,\cos x\,\sin ^{14}x+455\,\cos ^3x\,\sin ^{12}x-3003\,\cos ^5x\,\sin ^{10}x+6435\,\cos ^7x\,\sin ^8x-5005\,\cos ^9x\,\sin ^6x+1365\,\cos ^{11}x\,\sin ^4x-105\,\cos ^{13}x\,\sin ^2x+\cos ^{15}x}$
