$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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segunda-feira, 5 de dezembro de 2022

Sejam $x$ um racional e $y$ um irracional, não nulos, mostre que $xy$ é irracional.

Suponhamos que $xy$ seja racional, ou seja $xy = \dfrac{p}{q}\ \Rightarrow\ \dfrac{p'}{q'} \cdot y = \dfrac{p}{q},\ p, q, p', q' \in \mathbb{Z}^*$.


$y = \dfrac{p''}{q''},\ p'' = pq',\ q'' = p'q$ o que é um absurdo pois, por hipótese, $y$ é irracional.


Quod Erat Demonstrandum.

terça-feira, 13 de agosto de 2019

Calculadora: sistemas de numeração: conversão de números.

Entre com o número a ser convertido, a base em que está escrito, e a base à qual deseja converter:

Exemplos:

Input: "9, 10, 2". Output: "1001".
Input: "1f, 16, 10". Output: "31".
Input: "1g8h, 25, 53". Output: "9av".




Conversão:

sábado, 27 de julho de 2019

Exercício: determinar base de numeração.

Determine a base de numeração $n$ para que a sentença $103 - 21 = 30 - 2$ seja verdadeira.

Resolução:

$(1 \cdot n^2 + 0 \cdot n + 3) - (2 \cdot n + 1) = (3 \cdot n + 0) - (2)$

$n^2 - 5n + 4 = 0$

$n = 4$

quarta-feira, 24 de julho de 2019

Demonstração: $n^2 - 3n$ é par.

Sendo $n$ inteiro, demonstre que $n^2 - 3n$ é par.

Resolução:

$n^2 - 3n = n(n - 3)$

Se $n$ é ímpar, $n - 3$ é par. Se $n - 3$ é ímpar, $n$ é par. $n(n - 3)$ o produto de um ímpar e um par é par.

quinta-feira, 29 de novembro de 2012

Demonstração: o produto de três inteiros consecutivos é divisível por $3$.

Um número divisível por $3$ é da forma $3k$, onde $k$ é inteiro. Seu sucessor é da forma $3k+1$, o sucessor deste é da forma $3k+2$, e o sucessor deste é da forma $3k+3\ =\ 3(k+1)\ =\ 3\ell$, onde $\ell$ é inteiro, portanto também divisível por $3$.

Tomemos o produto de três inteiros consecutivos $P\ =\ xyz$:

Se $x$ é divisível por $3$, $P$ também o será.

Se $x$ for da forma $3k+1$, $z$, o sucessor do sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.

Se $x$ for da forma $3k+2$, $y$, o sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.

quarta-feira, 28 de novembro de 2012

Verificação de primalidade de um número inteiro.

Números primos são aqueles cujos únicos divisores positivos são $1$ e ele próprio.

O algoritmo mais antigo que se tem conhecimento é o chamado Crivo de Erastótenes, que consiste nos seguintes passos:

1. Marca-se o $2$, o menor primo positivo.

2. Marcam-se todos os múltiplos de $2$ até o número ao qual deseja-se conhecer sua primalidade.

3. Marca-se o próximo número primo logo após o antecessor.

4. Repete-se o processo de marcar todos os seus múltiplos.

E assim sucessivamente até chegarmos ao número dado.

Se todos os números positivos menores que o número dado forem marcados, tal número é primo.

Mas existe um procedimento menos trabalhoso. É baseado no seguinte raciocínio:

Um número é primo se não for divisível por nenhum número natural menor que o maior natural cujo quadrado não seja maior que tal número.

Consideremos como exemplo o número $97$. Observemos que $9^2\ <\ 97\ <\ 10^2$

Logo $9$ é o maior número natural cujo quadrado não supera $97$.

Se $97$ não for primo, ele será igual ao produto de dois fatores $f_1$ e $f_2$. Teremos então $97\ =\ f_1\ \cdot\ f_2$.

Se $f_1 > 9$ e $f_2 > 9$, $f_1\ \cdot\ f_2 > 97$.

Se $f_1 < 9$ e $f_2 < 9$, $f_1\ \cdot\ f_2 < 97$.

Dessa forma concluímos que o número $97$, não sendo primo, admite, obrigatoriamente um divisor menor ou igual a $9$.

Como $97$ não possui nenhum divisor positivo entre $2$ e $9$, ele é primo.

Este último procedimento diminui bastante o tempo de processo que um computador demandaria para afirmar se um número é primo ou não.

sexta-feira, 22 de junho de 2012

Teorema: $mmc(a,b,c)=mmc(mmc(a,b),c)$.

$mmc\ (a\ ,\ b\ ,\ c)\ =\ mmc\ (mmc\ (a\ ,\ b)\ ,\ c)$
____________________

Demonstração:
_____

Lema: Transitividade da divisibilidade:

Se $a$ é divisível por $b$, e $b$ divisível por $c$, então $a$ é divisível por $c$.

Demonstração:

Se $a$ é divisível por $b$, então existe um $k$ inteiro tal que $a\ =\ kb$.

Se $b$ é divisível por $c$, então existe um $p$ inteiro tal que $b\ =\ pc$.

Assim $a\ =\ kpc$.

Como o produto $kp$ também é inteiro, concluímos que $a$ é divisível por $c$.
_____

Chamemos $m\ =\ mmc\ (a\ ,\ b\ ,\ c)$ de sentença $p$.

Teremos as sentenças:

$q$: $m$ é divisível por $a$.
$r$: $m$ é divisível por $b$.
$s$: $m$ é divisível por $c$.
$t$: $m$ é mínimo sob suas condições.

Tal que:

$p\ \Rightarrow\ (q\ \wedge\ r\ \wedge\ s)\ \wedge\ t$

Chamemos agora $m_1\ =\ mmc\ (a\ ,\ b)$ de sentença $p_1$.

Teremos as sentenças:

$q_1$: $m_1$ é divisível por $a$.
$r_1$: $m_1$ é divisível por $b$.
$t_1$: $m_1$ é mínimo sob suas condições.

Tal que:

$p_1\ \Rightarrow\ (q_1\ \wedge\ r_1)\ \wedge\ t_1$

Chamemos agora $m_2\ =\ mmc\ (m_1\ ,\ c)$ de sentença $p_2$.

Teremos as sentenças:

$q_2$: $m_2$ é divisível por $m_1$.
$r_2$: $m_2$ é divisível por $c$.
$t_2$: $m_2$ é mínimo sob suas condições.

Tal que:

$p_2\ \Rightarrow\ (q_2\ \wedge\ r_2)\ \wedge\ t_2$

Notemos que, usando o lema da transitividade da divisibilidade:

$q_2\ \rightarrow\ (a\ |\ m_2)\ \wedge\ (b\ |\ m_2)$ é uma tautologia. Chamemos esta de $T$.

$(T\ \wedge\ r_2)\ \wedge\ t_2\ \Rightarrow\ m_2\ =\ m$

Como queríamos demonstrar.

Teorema: irracionalidade de $\sqrt[n]{a}$.

Todo número da forma $\sqrt[n]{a}$, com $n$ natural não-nulo e $a$ natural, quando não inteiro, é irracional.
____________________

Demonstração:

Deseja-se mostrar que $\sqrt[n]{a}$ não é da forma $\dfrac{p}{q}$, com $mdc(p , q) = 1$ e $q\ > 1$, ou seja, $\dfrac{p}{q}$ é fração irredutível não inteira.

Vamos considerar o contrário.

$a\ =\ \dfrac{p^n}{q^n}$

Se $\dfrac{p}{q}$ é irredutível, $\dfrac{p^n}{q^n}$ também o será. E se $q\ >\ 1$, também teremos $q^n\ >\ 1$, logo o quociente $\dfrac{p^n}{q^n}$ será também racional não-inteiro. O que é um absurdo. Pois por hipótese $a$ deve ser natural.

Logo a estará no complementar dos racionais não-inteiros com relação aos reais, ou seja, ou será inteiro, ou será irracional.

segunda-feira, 11 de junho de 2012

Somas e produtos de pares e ímpares.

$(a,b) \in \{2n \colon n \in Z\}^2\ \wedge\ (c,d) \in \{2n+1 \colon n \in Z\}^2 \Rightarrow$
$a + c = 2 m_1 + 1\ \wedge\ ac = 2 m_2\ \wedge\ a + b = 2 m_3\ \wedge$
$\wedge\ ab = 2 m_4\ \wedge\ c + d = 2 m_5\ \wedge\ cd = 2 m_6 + 1\ ,$
$m_i \in Z\ ,\ i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$