$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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domingo, 9 de outubro de 2022

Exercício: aumento percentual do preço do grama de chocolate.

Um fabricante diminuiu a quantidade de chocolate em uma caixa de $250\ g$ para $200\ g$, mantendo o preço da caixa. Qual foi o aumento percentual do preço do grama do chocolate?

 

Sejam $P$ o preço da caixa, $p_1$ o preço inicial do grama de chocolate, e $p_2$ o preço final do grama de chocolate.


$p_1 = \dfrac{P}{250}$


$p_2 = \dfrac{P}{200}$


$\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{250}{200} = 1,25$


Logo o aumento foi de $25\ \%$.

segunda-feira, 11 de abril de 2022

Exercício: número de jovens que trabalham.

(Enem 2020). A Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (Pnad) é uma pesquisa feita anualmente pelo IBGE, exceto nos anos em que há Censo. Em um ano, foram entrevistados 363 mil jovens para fazer um levantamento sobre suas atividades profissionais e/ou acadêmicas. Os resultados da pesquisa estão indicados no gráfico.


De acordo com as informações dadas, qual o número de jovens entrevistados que trabalham?


$(0,136 + 0,452) \cdot 363000 = \fbox{$213444$}$

quarta-feira, 30 de março de 2022

Exercício: redução percentual por unidade de tempo.

O volume de um líquido volátil diminui $20 \%$ por hora. Após um tempo $t$, seu volume se reduz à metade. Qual o valor de $t$?

 

$\dfrac{1}{2} = (0,8)^t\ \Rightarrow\ t = -\log_{\frac{4}{5}} 2 = \fbox{$\dfrac{-1}{2 - \log_2 5}$ horas}$

sexta-feira, 11 de fevereiro de 2022

Largura de uma calçada em torno de um jardim.

Um pedreiro demora um certo tempo para construir um jardim circular de raio $10\ m$. Em volta do jardim demora um tempo $44 \%$ menor para construir uma calçada circular em torno do jardim. Se o tempo de construção for diretamente proporcional à área a construir, determinar a largura da calçada.

O jardim tem $100\pi$ de área. Sendo $\ell$ a largura procurada, a calçada terá uma área de $(10 + \ell)^2 \pi - 100\pi$.

Se o tempo de construção da calçada foi $0,56$ do tempo de construção do jardim:

$(10 + \ell)^2 \pi - 100\pi = 56\pi\ \Rightarrow\ \ell^2 + 20\ell - 56 = 0\ \Rightarrow\ \fbox{$\ell = 2\sqrt{39} - 10$}$.

segunda-feira, 7 de fevereiro de 2022

quinta-feira, 13 de janeiro de 2022

sábado, 8 de dezembro de 2012

Exercício: censo populacional.

(Cesgranrio-RJ) Tendo sido feito o levantamento estatístico dos resultados do Censo populacional 96 em uma cidade, descobriu-se sobre a população, que:

I - $44\%$ tem idade superior a 30 anos;
II - $68\%$ são homens;
III - $37\%$ são homens com mais de 30 anos;
IV - $25\%$ são homens solteiros;
V - $4\%$ são homens solteiros com mais de 30 anos;
VI - $45\%$ são indivíduos solteiros;
VII - $6\%$ são indivíduos solteiros com mais de 30 anos.

Com base nos dados acima, qual a porcentagem da população dessa cidade que representa as mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos?

Resolução:

De (I): $1 - 44\%\ =\ 56\%$ tem idade inferior a 30 anos. [a]
De (II): $32\%$ são mulheres. [b]
De (I) e (III): $44\% - 37\%\ =\ 7\%$ são mulheres com mais de 30 anos. [c]
De (II) e (III): $68\% - 37\%\ =\ 31\%$ são homens com menos de 30 anos. [d]
De (II) e (IV): $68\% - 25\%\ =\ 43\%$ são homens casados. [e]
De (III) e (V): $37\% - 4\%\ =\ 33\%$ são homens casados com mais de 30 anos. [f]
De (VI): $1 - 45\%\ =\ 55\%$ são indivíduos casados. [g]
De (V) e (VII): $6\% - 4\%\ =\ 2\%$ são mulheres solteiras com mais de 30 anos. [h]
De (VI) e (VII): $45\% - 6\%\ =\ 39\%$ são indivíduos solteiros com menos de 30 anos. [i]

De [b] e [c]: $32\% - 7\%\ =\ 25\%$ são mulheres com menos de 30 anos. [j]
De [c] e [h]: 7\% - 2\%\ =\ 5\%$ são mulheres casadas com mais de 30 anos. [k]

De [g], [e], e [k]:

$55\%\ =\ 43\% + 5\% + p$

Onde $p$ é o percentual de mulheres casadas com menos de 30 anos.

Logo $p\ =\ 7\%$.

Exercício: diferentes conversões de moeda e diferença entre preços.

(Cesgranrio-RJ) Em 6 de setembro de 1994, os jornais noticiavam que uma grande empresa havia convertido seus preços para reais usando $R\$\ 1,00\ =\ Cr\$\ 2.400,00$ e não $R\$\ 1,00\ =\ Cr\$\ 2.750,00$. Ao fazer isso, nessa empresa, ou preços subiram ou baixaram, em que percentual?

Resolução:

Consideremos uma mercadoria que custava $Cr\$ 1,00$. Esta mercadoria convertida pela tabela-padrão passou a custar $R\$\ \dfrac{1}{2750}$, enquanto em tal empresa, passou a custar $R\$\ \dfrac{1}{2400}$. Como $\dfrac{1}{2400}\ >\ \dfrac{1}{2750}$ os preços em tal empresa subiram.

Calculando o percentual $p$ de aumento:

$\dfrac{1}{2400}\ =\ (1 + p)\ \cdot\ \dfrac{1}{2750}$

$p\ =\ \dfrac{275}{240} - 1\ \approx\ 14,6\ \%$

Exercício: margem de erro em aproximação numérica.

(Fuvest-SP) A diferença entre $\dfrac{1}{3}$ e seu valor aproximado $0,333$ é igual a $x\ \%$ do valor exato. Qual o valor de $x$?

Resolução:

$\dfrac{1}{3}\ =\ 0,\overline{3}$

$0,\overline{3} - 0,333\ =\ 0,000\overline{3}\ =\ \dfrac{3}{9000}\ =\ \dfrac{1}{3000}$

$\dfrac{x}{100}\ =\ \dfrac{\dfrac{1}{3000}}{\dfrac{1}{3}}\ =\ \dfrac{1}{1000}$

$x\ =\ 0,1$

Exercício: frações de terrenos.

(Cesgranrio-RJ) Um terreno será dividido em três lotes de tamanhos diferentes. A área do lote 3 é $10\%$ maior que a do lote 2, enquanto que esta é $20\%$ maior do que a do lote 1. A que percentual da área desse terreno corresponde, aproximadamente, o lote 1?

Resolução:

Chamemos de $A_1$ a área do lote 1, de $A_2$ a do lote 2, e de $A_3$ a do lote 3.

$A_2\ =\ (1 + 20\%)\ \cdot\ A_1$

$A_3\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ A_2$

Assim:

$A_3\ =\ 1,1\ \cdot\ 1,2\ \cdot\ A_1\ =\ 1,32\ \cdot\ A_1$

A fração de $A_1$ com relação à área total será:

$\dfrac{A_1}{\sum_{i=1}^3\ A_i}\ =\ \dfrac{A_1}{(1 + 1,2 + 1,32)\ \cdot\ A_1}\ =\ \dfrac{1}{3,52}\ \approx\ 28,4\ \%$

Exercício: leve 3 e pague 2.

(Vunesp-SP) As promoções do tipo "leve 3 pague 2", comuns no comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida em que percentual?

Resolução:

Chamemos de $P$ o preço unitário de uma mercadoria e $d$ o desconto equivalente.

$2P\ =\ (1 - d)\ \cdot\ 3P$

$d\ =\ 1 - \dfrac{2}{3}$

$d\ =\ \dfrac{1}{3}\ =\ \dfrac{100}{3}\ \%$

Exercício: desconto ilusório.

(FGV-SP) Uma loja anuncia um desconto sobre o valor total, $X$, das compras de cada cliente, de acordo com o seguinte esquema:

1) Desconto de $10\%$ para $10000\ \le\ X\ <\ 20000$.
2) Desconto de $15\%$ para $X\ \ge\ 20000$.

Um cliente compra um par de sapatos por $Cr\$\ 18.000,00$ e um par de meias por $Cr\$\ 2.000,00$. O vendedor muito gentilmente se oferece para reduzir o preço das meias para $Cr\$\ 1.500,00$ e o cliente aceita a oferta. No caixa são aplicadas as regras do desconto promocional. Nessas condições, qual foi o lucro ou o prejuízo do cliente?

Resolução:

Mantendo-se o preço do par de meias em $Cr\$\ 2.000,00$, o valor total da compra seria de $2000 + 18000\ =\ 20000$, tendo direito sobre um desconto total de $15\%$, pagando no total:

$20000\ \cdot\ (1 - 15\%)\ =\ 20000 - 3000\ =\ Cr\$ 17.000,00$

Mas, com primeiro desconto oferecido pelo vendedor, o valor integral da compra será de $1500 + 18000\ =\ 19500$, tendo direito a um desconto de $10\%$, pagando no total:

$19500\ \cdot\ (1 - 10\%)\ =\ 19500 - 1950\ =\ Cr\$\ 17.550,00$

Logo o cliente na verdade terá um prejuízo de $17550 - 17000\ =\ Cr\$\ 550,00$.

Exercício: percentual de carros roubados.

(ENEM) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, $150$ carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de $60\%$ dos carros roubados. Qual o número esperado de carros roubados da marca Y?

Resolução:

Chamemos de $c_x$ o número de carros roubados da marca X, e de $c_y$ o da marca Y.

$c_x + c_y\ =\ 60\%\ \cdot\ 150$

$2c_y + c_y\ =\ 90$

$c_y\ =\ 30$

Exercício: criação de coelhos.

(UFMG) Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada $4$ meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, qual a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos deve ser vendida?

Resolução:

Chamemos de $c$ a quantidade inicial de coelhos.

Como em um ano temos $3$ períodos de $4$ meses, o número de coelhos será multiplicada por $2^3\ =\ 8$.

Assim, chamando de $p$ o percentual a ser vendido, teremos:

$c\ =\ (1 - p)\ \cdot\ 8c$

$p\ =\ 1 - \dfrac{1}{8}\ =\ 87,5\ \%$

Exercício: porcentagem de acertos em uma prova.

(Fuvest-SP) Em uma prova de $25$ questões, cada resposta certa vale $+0,4$ e cada resposta errada vale $-0,1$. Um aluno resolveu todas as questões e teve nota $0,5$. Qual a porcentagem de acertos desse aluno?

Resolução:

Chamemos de $a$ o número de acertos, e de $e$ o número de erros.

$0,4\ \cdot\ a\ -\ 0,1\ \cdot\ e\ =\ 0,5$

$4a - e\ =\ 5$.....[1]

Da primeira sentença temos:

$a + e\ =\ 25$.....[2]

Somando [1] e [2]:

$5a\ =\ 30\ \Rightarrow\ a\ =\ 6$

A porcentagem de acertos será $\dfrac{6}{25}\ =\ 24\ \%$.

Exercício: determinando preço de custo e preço de venda.

(MACK-SP) Numa loja, para um determinado produto, a diferença entre o preço de venda solicitado e o preço de custo é $3.000$. Se esse produto for vendido com $20\%$ de desconto, ainda assim dará um lucro de $30\%$ à loja. Qual a soma entre os preços de venda e de custo?

Resolução:

Chamemos de $P_c$ o preço de custo, e de $P_v$ o preço de venda.

$P_v\ \cdot\ (1 - 20\%)\ =\ P_c\ \cdot\ (1 + 30\%)$

$P_v\ =\ P_c\ \cdot\ \dfrac{1,3}{0,8}$.....[1]

Da primeira sentença temos:

$P_v - P_c\ =\ 3000$.....[2]

Substituindo [1] em [2]:

$P_c - P_c\ \cdot\ \dfrac{13}{8}\ =\ 3000$

$P_c\ \cdot\ \dfrac{5}{8}\ =\ 3000$

$P_c\ =\ 4800$

Logo:

$P_v\ =\ 4800 + 3000\ =\ 7800$

Donde:

$P_v + P_c\ =\ 12600$

Exercício: massa apos desidratação.

(Fuvest-SP) $95\%$ da massa de uma melancia de $10\ kg$ é constituída por água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas água) até que a participação de água na massa da melancia se reduza a $90\%$. Qual será a massa da melancia após esse processo de desidratação?

Resolução:

Teremos $95\%\ \cdot\ 10\ =\ 9,5\ kg$ de pura água, logo teremos inicialmente na melancia $10 - 9,5\ =\ 0,5\ kg$ de melancia pura.

Após a desidratação essa massa corresponderá a $1 - 90\%\ =\ 10\%$ do total da melancia. Assim $0,5\ =\ 10\%\ \cdot\ M$, onde $M$ é a massa da melancia. Logo $M\ =\ 5\ kg$.

sexta-feira, 7 de dezembro de 2012

Exercício: número de questões de um teste.

(UFF-RJ) Ao responder a um teste, um aluno acertou $20$ das $30$ primeiras questões e errou $64\%$ do número restante de questões. Feita a correção, verificou-se que o total de acertos correspondia a $47,5\%$ do número de questões propostas. Qual o total de questões do teste?

Resolução:

Chamemos de $r$ o número de questões restantes.

$47,5\%\ \cdot\ (30 + r)\ =\ 20\ +\ (1 - 64\%)\ \cdot\ r$

$14,25\ +\ 47,5\%\ \cdot\ r\ =\ 20\ +\ 36\%\ \cdot\ r$

$11,5\%\ \cdot\ r\ =\ 5,75$

$r\ =\ 50$

Logo o número total de questões será $30 + 50\ =\ 80$.

Exercício: prevendo margem para desconto na negociação.

(Fuvest-SP) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo $44\%$ superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando $80\%$ ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?

Resolução:

Chamemos de $P_c$ o preço de custo de um produto e $d$ o desconto oferecido no momento da venda.

$(1 - d) (1 + 80\%)\ \cdot\ P_c\ \ge\ (1 + 44\%)\ \cdot\ P_c$

$(1 - d) (1 + 80\%)\ \ge\ (1 + 44\%)$

$d\ \le\ \frac{1,8 - 1,44}{1,8}$

$d\ \le\ \frac{1}{5}$

Logo o desconto máximo oferecido no momento da venda, de modo ao lojista não ter prejuízo, é de $20\%$.