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quarta-feira, 24 de julho de 2019

Exercício: período e frequência de um relógio.

Quais são o período e a frequência do ponteiro dos segundos de um relógio?

$T = 60\ s$, $f = \dfrac{1}{60}\ Hz$

Exercício: ondulatória - harmônicos coincidentes.

Texto para as duas questões.

Uma pessoa cuja capacidade de audição vai de $20\ Hz$ a $20\ kHz$, ouve os sons produzidos simultaneamente por dois tubos sonoros: um aberto, de comprimento $42\ cm$, soprado com ar, e outro fechado, de comprimento $100\ cm$, soprado com hidrogênio. A pessoa verifica que algumas frequências podem ser produzidas simultaneamente pelos dois tubos. A velocidade do som no ar é $v_{ar}\ =\ 336\ m / s$ e a velocidade do som no hidrogênio é $v_H\ =\ 1280\ m / s$.

(FEI-SP) A menor frequência comum aos dois tubos que a pessoa ouve é:

a) $20\ Hz$
b) $400\ Hz$
c) $800\ Hz$
d) $1600\ Hz$
e) n.d.a.

(FEI-SP) O som mais agudo, produzido simultaneamente pelos dois tubos, que pode ser ouvido pela pessoa, tem frequência:

a) $1600\ Hz$
b) $3200\ Hz$
c) $17600\ Hz$
d) $19200\ Hz$
e) n.d.a.

Resolução:

Como ambos os tubos produzirão a mesma frequência, teremos a equação:

$n_1\ \cdot\ \dfrac{v_{ar}}{2 \ell_{ar}}\ =\ n_2\ \cdot\ \dfrac{v_H}{4 \ell_H}$     [1]

Onde $\ell_{ar}$ é o comprimento do tubo preenchido com ar, $\ell_H$ é o comprimento do tubo preenchido com hidrogênio, $n_1$ é a ordem do harmônico do primeiro tubo e $n_2$ é a ordem do harmônico do segundo tubo.

Substituindo os valores em [1]:

$n_1\ \cdot\ 400\ =\ n_2\ \cdot\ 320$     [2]

Cada membro da equação acima nos dá a frequência comum procurada. Para encontrá-la precisamos um inteiro qualquer $n_1$ e um inteiro ímpar $n_2$ que a satisfaça.

De [2] podemos concluir:

$n_1\ =\ 0,8\ \cdot\ n_2$     [3]

Assim temos que encontrar o menor ímpar $n_2$ que multiplicado por $0,8$ dê um inteiro. Tal número é $5$.

De [2], concluímos que a menor frequência procurada será:

$f_m\ =\ 5\ \cdot\ 320\ =\ 1600\ Hz$

Logo, para a primeira questão, a alternativa correta é a D.

...

Como a maior frequência audível é $20000\ Hz$, o $n_2$ deve ser tal que:

$n_2\ \le\ \dfrac{20000}{320}\ =\ 62,5$

Assim, por tentativas, devemos encontrar o máximo inteiro ímpar $n_2\ \le\ 61$ que, pela expressão [3], nos forceça um $n_1$ inteiro:

Para $n_2\ =\ 61$ teremos $n_1\ =\ 48,8$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 59$ teremos $n_1\ =\ 47,2$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 57$ teremos $n_1\ =\ 45,6$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 55$ teremos $n_1\ =\ 44$. Encontramos.

Assim, a máxima frequência comum será no quadragésimo-quarto harmônico do primeiro tubo:

$f_M\ =\ 44\ \cdot 400\ =\ 17600\ Hz$

Logo, para a segunda questão, a alternativa correta é a C.

Exercício: ondulatória - frequências em harmônicos.

(ITA-SP) Uma corda vibrante, de comprimento $\ell_1$, fixa nos extremos, tem como menor frequência de ressonância $100\ Hz$. A segunda frequência de ressonância de uma outra corda, do mesmo diâmetro e mesmo material, submetida à mesma tensão, mas de comprimento $\ell_2$ diferente de $\ell_1$, é também igual a $100\ Hz$. A relação $\ell_2 / \ell_1$ é igual a:

a) $2$
b) $\sqrt{3}$
c) $1/2$
d) $\sqrt{2}$
e) $4$

Resolução:

A expressão de Lagrange para harmônicos é:

$f_n\ =\ n\ \cdot\ \dfrac{1}{2\ell} \sqrt{\dfrac{F}{d\ \cdot\ A}}$

Para as duas cordas $F$, $d$, $A$ e $f_n$ serão constantes, logo o quociente $n / \ell$ será constante para ambas. Então teremos:

$\dfrac{1}{\ell_1}\ =\ \dfrac{2}{\ell_2}\ \Rightarrow\ \dfrac{\ell_2}{\ell_1}\ =\ 2$

Logo a alternativa correta é a A.

Exercício: ondulatória - emissão do som por dois meios distintos.

(UF-CE) Uma martelada é dada na extremidade de um trilho. Na outra extremidade encontra-se um indivíduo que ouve dois sons, com uma diferença de tempo de $0,18\ s$. O primeiro se propaga através do trilho, com velocidade de $3400\ m/s$, e o segundo, através do ar, com velocidade de $340\ m/s$. Determine, em metros, o comprimento do trilho.

Resolução:

Como a constante da questão é o comprimento do trilho, chamando de $v_t$ a velocidade do som no trilho, $v_a$ a velocidade do som no ar, $t_t$ o tempo de percurso do som no trilho e $t_a$ o tempo de percurso do som no ar, teremos:

$v_t\ \cdot\ t_t\ =\ v_a\ \cdot\ t_a$     [1]

Mas:

$t_a\ =\ t_t\ +\ 0,18$     [2]

Substituindo [2] em [1], teremos:

$v_t\ \cdot\ t_t\ =\ v_a\ \cdot\ (t_t + 0,18)\ \Rightarrow\ t_t\ =\ \dfrac{v_a\ \cdot\ 0,18}{v_t - v_a}$

Substituindo, teremos:

$t_t\ =\ \dfrac{340\ \cdot\ 0,18}{3400 - 340}\ =\ \dfrac{340\ \cdot\ 0,18}{9\ \cdot\ 340}\ =\ 0,02\ s$

Chamando de $c$ o comprimento do trilho, teremos:

$c\ =\ v_t\ \cdot\ 0,02\ =\ 3400\ \cdot\ 0,02\ =\ 68\ m$

Exercício: ondulatória - Doppler.

A frequência ouvida por uma pessoa parada para o som emitido por uma fonte sonora em movimento é $1200\ Hz$, quando a fonte se aproxima, e $800\ Hz$, quando a fonte se afasta. Sendo $320\ m/s$ a velocidade do som no ar nas condições da questão, determine:

A) A velocidade da fonte sonora;
B) A frequência emitida pela fonte.

Resolução:

Chamando de $f$ a frequência da fonte, $f_p$ a frequência aparente de aproximação, $f_a$ a frequência aparente de afastamento, e $v_F$ a velocidade da fonte, as equações para os efeitos Doppler descritos no problema são:

$f_p\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 - v_F}$     [1]

$f_a\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 + v_F}$     [2]

Dividindo [1] por [2], membro a membro, teremos:

$\dfrac{f_p}{f_a}\ =\ \dfrac{320 + v_F}{320 - v_F}$

Substituindo os valores, teremos:

$\dfrac{1200}{800}\ =\ \dfrac{320 + v_F}{320 - v_F}$

Resolvendo:

$v_F\ =\ 64\ m/s$

Substituindo $v_F$ em [1]:

$1200\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 - 64}\ \Rightarrow\ f\ =\ 960\ Hz$

terça-feira, 23 de julho de 2019

Exercício: ondulatória - determinando interferência.

Ondas produzidas pela fonte F refletem-se na superfície S, com inversão de fase e superpõem-se com as ondas diretas no ponto P, conforme a figura. Considerando que as ondas em questão tem comprimento de onda igual a $4,0\ m$, o ponto P é um mínimo ou um máximo de interferência?

Resolução:

Duas frentes de onda percorrerão dois caminhos distintos, interferindo-se no ponto P: uma ao longo do segmento $\overline{FP}$, e outra refletindo-se na superfície S.

O primeiro percorrerá $8\ m$, o segundo percorrerá $2\ \cdot\ \sqrt{3^2 + (\dfrac{8}{2})^2}\ =\ 10\ m$, de tal forma que a diferença será de $\Delta d\ =\ 2\ m$.

A metade do comprimento de onda é de $2\ m$, que é um múltiplo ímpar de $\Delta d$, e como a segunda frente de onda sofre inversão de fase, a interferência será construtiva.

Exercício: ondulatória - caminhante em um túnel.

(U Mackenzie-SP) Um túnel possui uma extremidade fechada e outra aberta. Na extremidade aberta existe uma fonte sonora que emite um som de $200\ Hz$. Uma pessoa que caminha no interior do túnel com velocidade constante ouve a cada $1,7\ s$ o som com intensidade mínima. Sendo a velocidade do som no ar de $340\ m \cdot s^{-1}$, a velocidade da pessoa é:

a) $200\ m \cdot s^{-1}$
b) $20\ m \cdot s^{-1}$
c) $1,7\ m \cdot s^{-1}$
d) $1\ m \cdot s^{-1}$
e) $0,5\ m \cdot s^{-1}$

Resolução:

Primeiramente devemos determinar o comprimento de onda da onda estacionária:

$\lambda\ =\ \dfrac{340}{200}\ =\ 1,7\ m$

Isso quer dizer que a distância entre dois nodos será de $\dfrac{1,7}{2}\ m$.

Como o caminhante percorreu uma distância nodal em $1,7\ s$, sua velocidade será:

$v\ =\ \dfrac{\dfrac{1,7}{2}}{1,7}\ =\ 0,5\ m \cdot s^{-1}$

Logo a alternativa correta é a E.

Exercício: expressão para interferência construtiva.

(FCM Santa Casa-SP) Duas fontes sonoras, $F_1 $ e $F_2 $, estão defasadas de $180^\circ $. Um ponto P dista $x_1 $ de $F_1 $ e $x_2 $ de $F_2 $.


Sendo $k$ um número inteiro e $\lambda $ o comprimento de onda dos sons emitidos por $F_1 $ e $F_2 $, a condição para que o ponto P sofra interferência construtiva é que a diferença de percurso $\Delta x\ =\ x_2 - x_1 $ seja dada pela expressão:

a) $k \lambda $
b) $(k - \dfrac{1}{2}) \lambda $
c) $2k \lambda $
d) $(2k - 1) \lambda $

Resolução:

Como as fontes estão defasadas em $\pi\ rad $, estão com fases invertidas, logo $\Delta x $ deve ser um múltiplo ímpar de $\dfrac{\lambda}{2} $ para que em P tenhamos um máximo de amplitude.

Mas todo número ímpar é da forma $2k - 1 $ com $k \in \mathbb{Z} $.

Assim, vamos ter:

$\Delta x\ =\ (2k - 1) \dfrac{\lambda}{2}\ =\ (k - \dfrac{1}{2}) \lambda $

Logo a alternativa correta é a B.

segunda-feira, 22 de julho de 2019

Exercício: razão entre os comprimentos de onda.

(FUVEST-SP) Considere uma onda de rádio de $2\ MHz$ de frequência, que se propaga em um meio material, homogêneo e isotrópico, com $80\%$ da velocidade com que se propagaria no vácuo. Qual a razão $\lambda_0 / \lambda$ entre os comprimentos de onda no vácuo ($\lambda_0$) e no meio material ($\lambda$)?


Resolução:

A razão $\dfrac{\lambda_0}{\lambda}$, por a onda manter a mesma frequência, tem o mesmo valor da razão entre as velocidades $\dfrac{v_0}{v}$ entre a velocidade no vácuo e a velocidade no meio.

Como sabemos que $v\ =\ 80\%\ \cdot\ v_0$, teremos:

$\dfrac{\lambda_0}{\lambda}\ =\ \dfrac{v_0}{80\%\ \cdot\ v_0}\ =\ 1,25$

segunda-feira, 10 de junho de 2013

Exercício: determinando intensidade luminosa recebida por uma lâmpada.

(ITA-SP) Uma lâmpada de filamento, ligada a uma fonte de tensão contínua de $100$ volts, tem uma resistência de $50$ ohms. Supondo que $2\%$ da potência elétrica dissipada se converta em radiação visível, qual será a intensidade luminosa a $10\ m$ da lâmpada?

Resolução:

De Eletricidade, sabemos que:

$P\ =\ \dfrac{U^2}{R}$

Donde a potência total gasta pela lâmpada será:

$P\ =\ \dfrac{100^2}{50}\ =\ 200\ W$

A potência convertida em radiação visível será:

$2\%\ \cdot\ P\ =\ 4\ W$

A intensidade luminosa recebida por um objeto localizado a $10\ m$ da lâmpada será:

$I\ =\ \dfrac{P}{4 \pi r^2}\ =\ \dfrac{4}{4 \pi\ \cdot\ 100}\ =\ \dfrac{1}{100 \pi}\ \dfrac{W}{m^2}$

domingo, 9 de junho de 2013

Exercício: variação de velocidade de uma onda em um fio com variação do raio de espessura.



Resolução:

Uma das relações que nos fornece a velocidade de uma onda linear é:

$v\ =\ \sqrt{\dfrac{T}{d\ \cdot\ S}}$.....[1]

Onde $T$ é a força tensora no fio, $d$ é a densidade do material constituinte do fio, e $S$ é a área da seção reta.

Sabemos que:

$S\ =\ \pi r^2$.....[2]

Onde $r$ é o raio da espessura do fio.

Substituindo [2] em [1]:

$v\ =\ \dfrac{1}{r} \sqrt{\dfrac{T}{\pi d}}$

Onde concluímos que a velocidade de propagação da onda é inversamente proporcional ao raio de espessura.

Assim, ao dividir o raio por $2$, a velocidade será duplicada. Assim, chamando de $v_{BC}$ a velocidade no trecho $BC$, teremos:

$v_{BC}\ =\ 2\ \cdot\ 200\ =\ 400\ \dfrac{m}{s}$

sábado, 8 de junho de 2013

Exercício: determinando o comprimento de onda por meio de um objeto em deslocamento.

(U Mackenzie-SP) As ondas de um lago chegam de $10$ em $10$ segundos a um ponto da margem. Uma boia desloca-se no sentido contrário ao da propagação das ondas com uma velocidade de $30\ \dfrac{cm}{s}$ em relação à margem, levando $5$ segundos para ir de uma depressão a outra, transpondo $8$ cristas. Qual o espaçamento entre as cristas?

Resolução:

A grandeza pedida é o comprimento de onda das oscilações da maré.

Chamando de $v$ a velocidade das ondas da maré e $\lambda$ seu comprimento de onda, teremos:

$v\ =\ \dfrac{\lambda}{10}$.....[1]

Para a bóia, teremos uma velocidade relativa, tendo uma oscilação própria diferente da do ponto da margem.

Como transpôs $8$ cristas em $5$ segundos, seu período de oscilação será $\dfrac{5}{8}$ segundos, tendo para sí a relação:

$v + 30\ =\ \dfrac{\lambda}{\dfrac{5}{8}}$.....[2]

Substituindo [1] em [2], teremos:

$\dfrac{\lambda}{10} + 30\ =\ \dfrac{8\lambda}{5}$

Donde:

$\lambda\ =\ 20\ cm$

Exercício: intensidades sonoras iguais.



Resolução:

De acordo com a relação:

$I\ =\ \dfrac{P}{4\pi r^2}$

Mantendo-se constante a intensidade sonora, sendo esta inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto à fonte e diretamente proporcional à potência, dobrando-se a distância, a potência deve ser multiplicada por $4$.

Chamando $P_B$ a potência da fonte B, teremos:

$P_B\ =\ 4\ \cdot\ 2,0\ =\ 8,0\ mW$

Exercício: frequência de oscilação de um barco em deslocamento.

(FEI-SP) Um barco A navega contra as ondas numa velocidade de $4,0\ \dfrac{m}{s}$. Uma embarcação B, ancorada, oscila com uma frequência de $0,03\ s^{-1}$. Sabendo que não ha correnteza, mas que as ondas se propagam com a velocidade de $2,4\ \dfrac{m}{s}$, determine a frequência de oscilação do barco A.

Resolução:

Observando o barco B, estático, podemos determinar o comprimento das ondas:

$2,4\ =\ 0,03\ \cdot\ \lambda\ \Rightarrow\ \lambda\ =\ 80\ m$

O barco A terá uma velocidade relativa de $4,0\ +\ 2,4\ =\ 6,4\ \dfrac{m}{s}$ com as ondas.

Aplicando a mesma lei e chamando de $f$ a frequência de oscilação do barco A, teremos:

$6,4\ =\ f\ \cdot\ 80\ \Rightarrow\ f\ =\ 0,08\ s^{-1}$

segunda-feira, 11 de junho de 2012

O Sol em Mercúrio.

Mercúrio tem semi eixo maior de aproximadamente $40% UA$, $\dfrac{2}{5}$ da distância do nosso orbe ao Sol.

Se aqui ao meio-dia achamos quente, lá teríamos uma intensidade $(\dfrac{5}{2})^2$ maior. Aproximadamente $625 \%$ maior.