$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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sábado, 22 de janeiro de 2022

Transposta do quadrado de uma matriz dada a lei de formação.

Seja $A = (a_{ij})$ tal que $a_{ij} = \begin{cases}\sin \left(\dfrac{\pi}{2}i\right)\text{, se } i = j\\ \cos \left(\pi i\right)\text{, se } i \neq j\end{cases}$. Encontrar $\left(A^2\right)^t$.

$A = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ A^2 = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ \left(A^2\right)^t = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & -1\end{bmatrix}$

Determinando uma incógnita em uma equação matricial.

Sejam $A =\begin{bmatrix}2^x & -1 & 2^x & 10^{-1}\end{bmatrix}$ e $B =\begin{bmatrix}2^{x + 1} & 2^x & -4 & 20\end{bmatrix}$. Determinar $x$ de modo que $A \cdot B^t = \begin{bmatrix}0\end{bmatrix}$.

$2 \cdot 2^{2x} -5 \cdot 2^x + 2 = 0\ \Rightarrow\ x = -1\ \vee x = 1$

segunda-feira, 17 de janeiro de 2022

quinta-feira, 6 de janeiro de 2022

Se uma matriz quadrada $A$ tem uma linha nula, não tem inversa.

Seja $R_i$ a linha nula de $A$. O produto de $A$ e qualquer outra matriz quadrada de mesma ordem terá a linha $i$ nula.

Como $I$ não tem linhas nulas, $A$ não é invertível.

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $A$ uma matriz invertível, $(A^{-1})^t = (A^t)^{-1}$.

Seja $B = A^{-1}$, $I = I^t = (AB)^t = B^t A^t$.

Logo $B^t$ é a inversa de $A^t$, ou seja, $(A^{-1})^t = (A^t)^{-1}$.

Quod Erat Demonstrandum.

quarta-feira, 30 de junho de 2021

Produtos de $I_n$ por matrizes não quadradas.

Seja $A$ uma $m$ x $n$ matriz, $B$ uma $n$ x $r$ matriz, e $I_n$ a matriz identidade de ordem $n$. Mostre que

$\bullet$ $AI = A$;

$\bullet$ $IB = B$.

Demonstração:

Um elemento na posição $(i, k)$ de $AI$ é $\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij} \alpha_{jk}$.

Como $\alpha_{jk} = 0$ para $j \neq k$ e $\alpha_{jk} = 1$ para $j = k$, $\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij} \alpha_{jk} = a_{ik}$.

Analogamente para $IB$.

Quod Erat Demonstrandum.

Transposta do produto de matrizes.

Se as matrizes $A$ e $B$ podem ser multiplicadas, mostre que

${}^t(AB) = {}^tB {}^tA$.

Resolução:

Sejam $A = (a_{ij})_{m\text{ x }n}$ e $B = (b_{jk})_{n\text{ x }r}$. ${}^tA = (a'_{ji})_{n\text{ x }m}$ e ${}^tB = (b'_{kj})_{r\text{ x }n}$.

O elemento da posição $(k, i)$ de ${}^tB \cdot {}^tA$ é

$\displaystyle\sum_{j=1}^n b'_{kj} a'_{ji}$.

Como $a'_{ji} = a_{ij}$ e $b'_{kj} = b_{jk}$,

$\displaystyle\sum_{j=1}^n b'_{kj} a'_{ji} = \displaystyle\sum_{j=1}^n b_{jk} a_{ij} = \displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}$,

que é o elemento na posição $(k, i)$ de ${}^t(AB)$.

Quod Erat Demonstrandum.

Unicidade da matriz inversa.

Seja $A$ uma matriz quadrada não singular e $B$ sua inversa. Ou seja,

$AB = BA = I$.

Vamos supor que exista uma inversa $C$ de $A$.

$C = CI = C(AB) = (CA)B = IB = B$

Propriedade associativa da multiplicação de matrizes.

Sejam $A$, $B$ e $C$ matrizes tais que $A$ e $B$ possam ser multiplicadas, e $B$ e $C$ possam ser multiplicadas. Mostre que

$\bullet$ $A$ e $BC$ podem ser multiplicadas;

$\bullet$ $AB$ e $C$ podem ser multiplicadas;

$\bullet$ $A(BC) = (AB)C$.

Resolução:

Sejam $A = (a_{ij})$ uma $m$ x $n$ matriz, $B = (b_{jk})$ uma $n$ x $r$ matriz, e $C = (c_{kl})$ uma $r$ por $s$ matriz,

$BC$ será uma $n$ por $s$ matriz e $A(BC)$ existirá e será uma $m$ x $s$ matriz;

$AB$ será uma $m$ por $r$ matriz e $(AB)C$ existirá e será uma $m$ por $s$ matriz.

Um elemento da posição $(j, l)$ de $BC$ será $\displaystyle\sum_{k=1}^r b_{jk}c_{kl}$, e um elemento da posição $(i, l)$ de $A(BC)$ será $\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^r b_{jk}c_{kl}\right) = \displaystyle\sum_{j=1}^n \displaystyle\sum_{k=1}^r a_{ij}b_{jk}c_{kl}$.

$\displaystyle\sum_{j=1}^n \displaystyle\sum_{k=1}^r a_{ij}b_{jk}c_{kl}$ será a soma de todos os $a_{ij}b_{jk}c_{kl}$ com $1 \le j \le n$ e $1 \le k \le r$, resultado que igualmente chegaríamos calculando o elemento da posição $(i, l)$ de $(AB)C$.

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $A$ uma matriz quadrada, mostre que $A + A^t$ é simétrica.

Seja $A = (a_{ij})$ e $A + A^t = (s_{kl})$.

Olhemos para a linha $i$ e a coluna $j$ da soma:

$s_{ij} = a_{ij} + a_{ji}$

Olhemos agora para a linha $j$ e a coluna $i$ da soma:

$s_{ji} = a_{ji} + a_{ij}$

Como $s_{ij} = s_{ji}$, a soma é uma matriz simétrica.

Quod Erat Demonstrandum.

terça-feira, 22 de junho de 2021

Brincando com sistemas lineares: traço da matriz incompleta dos coeficientes e elementos de raízes.

Em $\mathbb{U} = \mathcal{M}_{3x1}$,

$A \cdot X = B_i$,

para $A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 7\\ 1 & 3 & 2\\ 5 & 3 & 4\end{bmatrix}$, $B_1 = \begin{bmatrix}16\\ -5\\ 11\end{bmatrix}$, $B_2 = \begin{bmatrix}25\\ -11\\ -5\end{bmatrix}$, $B_3 = \begin{bmatrix}3\\ 5\\ -5\end{bmatrix}$.

Sejam $x_1$ o primeiro elemento da solução do sistema para $i = 1$, $z_2$ o terceiro elemento da solução do sistema para $i = 2$, e $y_3$ o segundo elemento da solução do sistema para $i = 3$.

Seja $D$ o determinante de $A$. $D = -66$.

Seja $D_1$ o determinante da matriz $A$ com a primeira coluna substituída por $B_1$, $D_1 = -198$. Por Cramer, $x_1 = 3$.

Seja $D_2$ o determinante da matriz $A$ com a terceira coluna substituída por $B_2$, $D_2 = -264$. Por Cramer, $z_2 = 4$.

Seja $D_3$ o determinante da matriz $A$ com a segunda coluna substituída por $B_3$, $D_3 = -132$. Por Cramer, $y_3 = 2$.

$A^{-1} = \dfrac{1}{D} \cdot adj\ A$, logo o traço de $A^{-1}$ é $t = \dfrac{-16}{-66} = \dfrac{8}{33}$.

$\fbox{$t + x_1 + z_2 + y_3 = \dfrac{315}{33} \approx 10$}$

Resolver sistema linear.

Em $\mathbb{U} = \mathcal{M}_{5x1}$, resolver o sistema

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 3 & 5\\ 0 & 3 & -2 & 0 & 3\\ 3 & -1 & 4 & 1 & 3\\ 2 & 1 & -4 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 5 & -2 & 1\end{bmatrix} \cdot X = \begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 8\end{bmatrix}$.

Resolução:

Seja $A$ a matriz completa do sistema, vamos aplicar escalonamento.

$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 3 & 5 & 1\\ 0 & 3 & -2 & 0 & 3 & 2\\ 3 & -1 & 4 & 1 & 3 & 3\\ 2 & 1 & -4 & 1 & 2 & 4\\ 2 & 0 & 5 & -2 & 1 & 8\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 3 & 5 & 1\\ 0 & 1 & -2/3 & 0 & 1 & 2/3\\ 0 & -7 & 1 & -8 & -12 & 0\\ 0 & -3 & -6 & -5 & -8 & 2\\ 0 & -4 & 3 & -8 & -9 & 6\end{bmatrix} \sim$

$\sim \begin{bmatrix}1 & 0 & 7/3 & 3 & 3 & -1/3\\ 0 & 1 & -2/3 & 0 & 1 & 2/3\\ 0 & 0 & -11/3 & -8 & -5 & 14/3\\ 0 & 0 & -8 & -5 & -5 & 4\\ 0 & 0 & 1/3 & -8 & -5 & 26/3\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -23/11 & -2/11 & 29/11\\ 0 & 1 & 0 & 16/11 & 21/11 & -2/11\\ 0 & 0 & 1 & 24/11 & 15/11 & -14/11\\ 0 & 0 & 0 & 137/11 & 65/11 & -68/11\\ 0 & 0 & 0 & -96/11 & -60/11 & 100/11\end{bmatrix} \sim$

$\sim \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1221/1507 & 2409/1507\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1837/1507 & 814/1507\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 495/1507 & -286/1507\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 65/137 & -68/137\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1980/1507 & 7172/1507\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 69/15\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 223/45\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 11/9\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -163/45\end{bmatrix}$

Donde concluímos que $\fbox{$S = \{\begin{bmatrix}68/15\\ 223/45\\ 1\\ 11/9\\ -163/45\end{bmatrix}\}$}$.

Equação matricial.

Seja $\mathbb{U} = \mathcal{M}_{2x1}$, resolver a equação

$\begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{bmatrix} \cdot X = \begin{bmatrix}13\\ 31\end{bmatrix}$.

Resolução:

Seja $X = \begin{bmatrix}a\\ b\end{bmatrix}$,

$\begin{cases}a + 2b = 13\\ 3a + 4b = 31\end{cases}\ \Rightarrow \fbox{$X = \begin{bmatrix}5\\ 4\end{bmatrix}$}$.

quarta-feira, 4 de setembro de 2019

Calculadora: matriz inversa.

Entre com uma string matriz de números reais onde as linhas são separadas por ponto e vírgula ";" e as colunas são separadas por vírgula ",":

Exemplo:

Input: "1, 2; 3, 4".

Output:

"
-2 1
3/2 -1/2

"




Matriz inversa:

Calculadora: multiplicação de matrizes.

Entre com uma string contendo as duas matrizes de números reais separadas pelo caractere "x"; as linhas são separadas por ponto e vírgula ";", as colunas são separadas por vírgula ",":

Exemplo:

Input: "1, 2; 3, 4 x 2, 3; 4, 5".

Output:

"
10 13
22 29

"




Produto:

segunda-feira, 2 de setembro de 2019

Calculadora: determinante.

Entre com uma string matriz de números reais; as linhas são separadas por ponto e vírgula ";" e as colunas por vírgula ",":

Exemplo:

Input: "1, 2; 3, 0.5". Output: "-5.5".




Determinante:

domingo, 18 de agosto de 2019

Calculadora: escalonar matriz.

Entre com uma string separada por barra vertical "|": primeiro: a matriz de números reais dispostos em linhas e colunas, o separador de linhas é o ponto e vírgula ";" e o separador dos elementos de uma linha é a vírgula ","; segundo: "e" para matriz escalonada ou "r" para matriz escalonada reduzida por linhas:

Exemplo:

Input: "2, 3, 19; 4, 5, 33 | r".

Output:

"
Dividindo a linha 1 por 2:

1 3/2 19/2
4 5 33
_____

Somando à linha 2 a linha 1 multiplicada por -4:

1 3/2 19/2
0 -1 -5
_____

Dividindo a linha 2 por -1:

1 3/2 19/2
0 1 5
_____

Somando à linha 1 a linha 2 multiplicada por -3/2:

1 0 2
0 1 5

"




Matriz escalonada:

domingo, 28 de julho de 2019

Exercício: equação matricial.

$A$ é matriz inversível, resolva a equação $A \cdot X = B$.

Resolução:

$A \cdot X = B\ \Rightarrow \ A^{-1}(A \cdot X) = A^{-1} \cdot B\ \Rightarrow \ (A^{-1}A)X = A^{-1} \cdot B$

$I \cdot X = A^{-1} \cdot B\ \Rightarrow \ \fbox{$X = A^{-1} \cdot B$}$

sábado, 27 de julho de 2019

Exercício: produto de matrizes.

Seja $A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix}$. Encontre $A^2$.

Resolução:

$A^2 = AA = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix} =$

$= \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-3)\\ 4 \cdot 1 + (-3) \cdot 4 & 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-3)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4\\ -8 & 17\end{bmatrix}$

terça-feira, 23 de julho de 2019

Inversa de uma matriz 2x2.

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$