$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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Mostrando postagens com marcador logaritmos. Mostrar todas as postagens
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quarta-feira, 19 de julho de 2023

Resolver em $U = \mathbb{R}$: $\log_3 (2x + 1) - \log_3 (5x - 3) = -1$.

$\dfrac{2x + 1}{5x - 3} = \dfrac{1}{3}\ \Rightarrow\ 6x + 3 = 5x - 3\ \Rightarrow\ x = -6$


Entretanto observemos que $-6$ não pertence aos domínios de $\log_3 (2x + 1)$ e $\log_3 (5x - 3)$, logo $\fbox{$S = \varnothing$}$.

sexta-feira, 6 de janeiro de 2023

Se $\log 2 = 0,3$ e $\log 36 = 1,6$, quanto é $\log 3$?

$\log 3 = \log \dfrac{36}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \log 36 - 2\log 2 - \log 3$

 

$2\log 3 = 1,6 - 0,6 = 1\ \Rightarrow\ \fbox{$\log 3 = 0,5$}$

quinta-feira, 31 de março de 2022

Resolver em $\mathbb{R}$: $\log_3 x + \log_9 x = 1$.

$\log_3 x + \dfrac{\log_3 x}{2} = 1\ \Rightarrow\ \log_3 x = \dfrac{2}{3}\ \Rightarrow\ x = \sqrt[3]{9}$

 

$\fbox{$S = \left\{\sqrt[3]{9}\right\}$}$

Exercício: gráfico de uma função composta.

Sejam $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = \dfrac{5^x}{2}$ e $g(x) = \log_{10} x$, construir o gráfico de $g \circ f$.

 

$(g \circ f)(x) = \log_{10} \dfrac{5^x}{2} = \dfrac{\log_5 5^x}{\log_5 10} - \log_{10} 2 = \dfrac{x}{\log_5 10} - \log_{10} 2$

 

Basta construir a reta que contém os pontos $\left(0, - \log_{10} 2\right)$ e $\left(1, \log_{10} \dfrac{5}{2}\right)$.


Observemos que $Im_f \subset D_g$.

 


 

quarta-feira, 30 de março de 2022

Exercício: redução percentual por unidade de tempo.

O volume de um líquido volátil diminui $20 \%$ por hora. Após um tempo $t$, seu volume se reduz à metade. Qual o valor de $t$?

 

$\dfrac{1}{2} = (0,8)^t\ \Rightarrow\ t = -\log_{\frac{4}{5}} 2 = \fbox{$\dfrac{-1}{2 - \log_2 5}$ horas}$

terça-feira, 29 de março de 2022

Resolver em $\mathbb{R}$: $\left(\log_x 2\right)\left(\log_{\frac{x}{16}} 2\right) = \log_{\frac{x}{64}} 2$.

$\dfrac{1}{\left(\log_2 x\right)\left(\log_2 \dfrac{x}{16}\right)} = \dfrac{1}{\log_2 \dfrac{x}{64}}\ \Rightarrow\ \left(\log_2 x\right)\left[\left(\log_2 x\right) - 4\right] = \left(\log_2 x\right) - 6\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \log_2 x = 2\ \vee\ \log_2 x = 3\ \Rightarrow\ x = 4\ \vee\ x = 8$


$\fbox{$S = \{4,\ 8\}$}$

domingo, 27 de março de 2022

Resolver em $\mathbb{R}$: $\log_{10} (x + 1) + \log_{10} (x + 3) = \log_{10} 3$.

$\log_{10} (x^2 + 4x + 3) = \log_{10} 3\ \Rightarrow\ x^2 + 4x = 0\ \Rightarrow\ \underset{\text{Não serve.}}{\underbrace{x = -4}}\ \vee\ x = 0$

$\fbox{$S = \{0\}$}$

quinta-feira, 10 de março de 2022

Se $\log_a b = 3$ e $\log_{ab} c = 4$, quanto é $\log_a c$?

$\log_{ab} c = 4 = \dfrac{\log_a c}{\log_a ab} = \dfrac{\log_a c}{\log_a a + \log_a b} = \dfrac{\log_a c}{1 + 3}\ \Rightarrow\ \fbox{$\log_a c = 16$}$

segunda-feira, 7 de fevereiro de 2022

Resolver a equação $\log_3 x + \log_3 x^4 + \log_3 x^7 + \dots + \log_3 x^{25} = 234$.

Observemos que o primeiro membro é uma PA. Para sabermos o número de termos, resolvamos a equação:

$25 = 1 + (n - 1) \cdot 3\ \Rightarrow\ n = 9$.

Calculemos agora a soma dos termos de tal PA:

$\dfrac{(\log_3 x + 25\log_3 x) \cdot 9}{2} = 117\log_3 x$.

Logo $\log_3 x = 2\ \Rightarrow\ \fbox{$S = \{9\}$}$.

quarta-feira, 8 de dezembro de 2021

terça-feira, 16 de novembro de 2021

Uma série para $e$.

A constante $e$ é a base dos logaritmos naturais, é definida por $e = \displaystyle\lim_{x\ \rightarrow \ +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x$.


Utilizando a Fórmula de Taylor, sabendo que $\dfrac{d^{(n)}}{dx^{(n)}} e^x = e^x$, tomando $a = 0$,


$\fbox{$e = \displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty} \dfrac{1}{i!}$}$.

quarta-feira, 23 de junho de 2021

Supondo que $L_a = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - 1}{x}$ exista e que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} a^x = 1$ para todo $a$, mostre que $L_{ab} = L_a + L_b,\ a, b > 0$.

Supondo que $L_a = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - 1}{x}$ exista e que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} a^x = 1$ para todo $a$, mostre que $L_{ab} = L_a + L_b,\ a, b > 0$.

Resolução:

O Terceiro Limite Fundamental é $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - 1}{x} = \log a$, logo $\log (ab) = \log a + \log b$.

C.Q.D.