$\dfrac{2x + 1}{5x - 3} = \dfrac{1}{3}\ \Rightarrow\ 6x + 3 = 5x - 3\ \Rightarrow\ x = -6$
Entretanto observemos que $-6$ não pertence aos domínios de $\log_3 (2x + 1)$ e $\log_3 (5x - 3)$, logo $\fbox{$S = \varnothing$}$.
Organização sem fins lucrativos, voltada para a pesquisa e educação em Matemática.
$\dfrac{2x + 1}{5x - 3} = \dfrac{1}{3}\ \Rightarrow\ 6x + 3 = 5x - 3\ \Rightarrow\ x = -6$
Entretanto observemos que $-6$ não pertence aos domínios de $\log_3 (2x + 1)$ e $\log_3 (5x - 3)$, logo $\fbox{$S = \varnothing$}$.
$\log 3 = \log \dfrac{36}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \log 36 - 2\log 2 - \log 3$
$2\log 3 = 1,6 - 0,6 = 1\ \Rightarrow\ \fbox{$\log 3 = 0,5$}$
$f'(x) = \dfrac{1}{x\log a}$
$\fbox{$f''(x) = -\dfrac{1}{x^2 \log a}$}$
$\log_{a^m} b^n = n\log_{a^m} b = n \cdot \dfrac{\log_a b}{\log_a a^m} = \dfrac{n}{m} \log_a b$
Quod Erat Demonstrandum.
$\log y = \dfrac{7}{2}$
$L = 12 + 8 + 7 = \fbox{$27$}$
$\log_3 x + \dfrac{\log_3 x}{2} = 1\ \Rightarrow\ \log_3 x = \dfrac{2}{3}\ \Rightarrow\ x = \sqrt[3]{9}$
$\fbox{$S = \left\{\sqrt[3]{9}\right\}$}$
Sejam $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = \dfrac{5^x}{2}$ e $g(x) = \log_{10} x$, construir o gráfico de $g \circ f$.
$(g \circ f)(x) = \log_{10} \dfrac{5^x}{2} = \dfrac{\log_5 5^x}{\log_5 10} - \log_{10} 2 = \dfrac{x}{\log_5 10} - \log_{10} 2$
Basta construir a reta que contém os pontos $\left(0, - \log_{10} 2\right)$ e $\left(1, \log_{10} \dfrac{5}{2}\right)$.
Observemos que $Im_f \subset D_g$.
O volume de um líquido volátil diminui $20 \%$ por hora. Após um tempo $t$, seu volume se reduz à metade. Qual o valor de $t$?
$\dfrac{1}{2} = (0,8)^t\ \Rightarrow\ t = -\log_{\frac{4}{5}} 2 = \fbox{$\dfrac{-1}{2 - \log_2 5}$ horas}$
$\dfrac{1}{\left(\log_2 x\right)\left(\log_2 \dfrac{x}{16}\right)} = \dfrac{1}{\log_2 \dfrac{x}{64}}\ \Rightarrow\ \left(\log_2 x\right)\left[\left(\log_2 x\right) - 4\right] = \left(\log_2 x\right) - 6\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ \log_2 x = 2\ \vee\ \log_2 x = 3\ \Rightarrow\ x = 4\ \vee\ x = 8$
$\fbox{$S = \{4,\ 8\}$}$
$\log_8 x + \log_8 2x + \log_8 4x = 2\ \Rightarrow\ \log_8 8x^3 = 2\ \Rightarrow\ x = 2$
$\fbox{$S = \{2\}$}$
$\log_{10} (x^2 + 4x + 3) = \log_{10} 3\ \Rightarrow\ x^2 + 4x = 0\ \Rightarrow\ \underset{\text{Não serve.}}{\underbrace{x = -4}}\ \vee\ x = 0$
$\fbox{$S = \{0\}$}$
$\log_{ab} c = 4 = \dfrac{\log_a c}{\log_a ab} = \dfrac{\log_a c}{\log_a a + \log_a b} = \dfrac{\log_a c}{1 + 3}\ \Rightarrow\ \fbox{$\log_a c = 16$}$
$x = 4$ e $y = 5$, logo $\fbox{$\log_y (x^2 + 9) = 2$}$.
Observemos que o primeiro membro é uma PA. Para sabermos o número de termos, resolvamos a equação:
$25 = 1 + (n - 1) \cdot 3\ \Rightarrow\ n = 9$.
Calculemos agora a soma dos termos de tal PA:
$\dfrac{(\log_3 x + 25\log_3 x) \cdot 9}{2} = 117\log_3 x$.
Logo $\log_3 x = 2\ \Rightarrow\ \fbox{$S = \{9\}$}$.
$[(16 - x^2) > 0\ \wedge\ \log^3 (x - 2) > 0]\ \vee\ [(16 - x^2) < 0\ \wedge\ \log^3 (x - 2) < 0]\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ 3 < x < 4$
$\fbox{$S = ]3, 4[$}$
$\log (x - \pi) > \log 1$
$e > 1\ \Rightarrow \fbox{$x > 1 + \pi$}$
$\log_{10} \sqrt{5} = \dfrac{\log_{10} 5}{2} = \dfrac{1}{2} \log_{10} \dfrac{10}{2} = \fbox{$\dfrac{1 - m}{2}$}$
Utilizando a Fórmula de Taylor, sabendo que $\dfrac{d^{(n)}}{dx^{(n)}} e^x = e^x$, tomando $a = 0$,
$\fbox{$e = \displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty} \dfrac{1}{i!}$}$.
Supondo que $L_a = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - 1}{x}$ exista e que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} a^x = 1$ para todo $a$, mostre que $L_{ab} = L_a + L_b,\ a, b > 0$.
Resolução:
O Terceiro Limite Fundamental é $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - 1}{x} = \log a$, logo $\log (ab) = \log a + \log b$.
C.Q.D.