Calculadora: próximo termo de uma sequência.

Entre com uma string separada por barra vertical "|" contendo, primeiro, um conjunto de números reais separados por ponto e vírgula ";", e, segundo, o inteiro positivo inteligência.

Exemplo:

Input: "2; 4; 6 | 1". Output: aproximadamente "8".

(pode travar o sistema)

Próximo termo cogitado:

Demonstração: $p \wedge (\bigvee_{i=1}^n q_i)\ \Leftrightarrow\ \bigvee_{i=1}^n (p \wedge q_i)$.

Vamos utilizar o método da indução finita.

Para $n = 1$, de imediato $p \wedge q_1\ \Leftrightarrow\ p \wedge q_1$.

Para $n = 2$, $p \wedge (q_1 \vee q_2)\ \Leftrightarrow\ (p \wedge q_1) \vee (p \wedge q_2)$.

Supondo a sentença verdadeira para $n$, vamos mostrar que vale para $n + 1$.

$p \wedge (\bigvee_{i=1}^n q_i)\ \Leftrightarrow\ \bigvee_{i=1}^n (p \wedge q_i)$

$p \wedge [(\bigvee_{i=1}^n q_i) \vee q_{n+1}]\ \Leftrightarrow\ [p \wedge (\bigvee_{i=1}^n q_i)] \vee (p \wedge q_{n+1})\ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\ [\bigvee_{i=1}^n (p \wedge q_i)] \vee (p \wedge q_{n+1})\ \Leftrightarrow\ \bigvee_{i=1}^{n+1} (p \wedge q_i)$

A contra-positiva de uma implicação.

Consideremos uma proposição da forma "se $p $ então $q $", simbolizada por $p\ \rightarrow\ q $. Uma outra forma de dizer a mesma coisa seria "Se não $q $ então não $p $", simbolizada por $\sim q\ \rightarrow\ \sim p $. Provemos:

Construamos a tabela-verdade para cada uma das possivilidades entre as veracidades de $p $ e $q $.

$p $	$q $	$p\ \rightarrow\ q $	$\sim q\ \rightarrow\ \sim p $
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

Observemos que as colunas $p\ \rightarrow\ p $ e $\sim q\ \rightarrow\ \sim p $ são idênticas, logo as duas proposições compostas são equivalentes, ou seja, para afirmar uma mesma sentença, tanto faz usar uma ou outra.

Tomemos um exemplo :

Uma função é injetora se, dados dois elementos distintos do domínio, suas imagens também serão distintas. Simbolicamente :

$x_1\ \neq\ x_2\ \Rightarrow\ f(x_1)\ \neq\ f(x_2) $

O que seria equivalente a dizer:

Uma função é injetora se, se duas imagens são iguais, seus respectivos correspondentes também são iguais. Simbolicamente :

$f(x_1)\ =\ f(x_2)\ \Rightarrow\ x_1\ =\ x_2 $

Por que usar redução ao absurdo?

Todos os teoremas matemáticos são conclusões de hipóteses. Ou seja, são afirmações ou proposições da forma Se $p$ então $q$, simbolicamente representado por $(p\ \rightarrow\ q)$.

$(p\ \rightarrow\ q)$ também é uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa, de acordo com combinações entre a premissa e a conclusão:

Se $p$ é verdadeira e $q$ é verdadeira, $(p\ \rightarrow\ q)$ é verdadeira.

Se $p$ é verdadeira e $q$ é falsa, $(p\ \rightarrow\ q)$ é falsa.

Se $p$ é falsa e $q$ é verdadeira, $(p\ \rightarrow\ q)$ é verdadeira......[1]

Se $p$ é falsa e $q$ é falsa, $(p\ \rightarrow\ q)$ é verdadeira......[2]

Assim, se desejamos conhecer o valor-verdade ou autenticidade de uma proposição $p$, o caminho ideal não é concluir de $p$ uma proposição verdadeira $q$, visto que, de acordo com [1], $q$ pode ser verdadeira e $p$ pode ser falsa.

Logo, a melhor maneira de conhecer se uma afirmação é autêntica, basta tomar sua negação, e dela concluir uma outra proposição que seja falsa, assim, de acordo com [2], a premissa será falsa, e sua negação será verdadeira.