Enunciado:
Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos raios de suas órbitas.
De fato:
Considerando as órbitas trajetórias circulares, a força resultante sobre o astro será centrípeta. E usando a gravitação de Newton, teremos:
$\dfrac{mv^2}{R}\ =\ G\dfrac{mM}{R^2}$
Onde
$m$ é a massa do planeta,
$M$ é a massa do Sol,
$R$ é a distância que separa os astros,
$v$ é a velocidade do planeta, e
$G$ é a constante gravitacional universal.
Dela concluímos:
$\dfrac{v^2}{R}\ =\ G\dfrac{M}{R^2}$
$v\ =\ \sqrt{\dfrac{GM}{R}}$
Como o comprimento da trajetória é
$2\pi R$, e chamando de
$T$ o período de translação, teremos:
$T\ =\ \dfrac{2\pi R}{v}\ =\ \dfrac{2\pi R}{\sqrt{\dfrac{GM}{R}}}\ =\ \sqrt{\dfrac{4 \pi^2 R^3}{GM}}$
Donde
$T^2\ =\ \dfrac{4 \pi^2 R^3}{GM}$.
Notemos que
$\dfrac{4 \pi^2}{GM}$ é constante. Logo:
$T^2\ \propto\ R^3$
Vale destacar mais um fato:
Segundo as observações de Tycho Brahe, tomando
$T$ em anos e
$R$ em unidades astronômicas, a constante de proporcionalidade é
$1$. Logo:
$\dfrac{4 \pi^2}{GM}\ =\ 1 \Rightarrow\ GM\ =\ 4 \pi^2$
Ou seja, se Newton, ao enunciar a lei da gravitação universal, se conhecesse a massa do Sol, poderia determinar a constante
$G$ 100 anos antes de Cavendish.