 |
A área do triângulo $\Delta PAB$ é $12$. Seja $a = AB$ a base e $h$ a altura de tal triângulo. $ah = 24$.
Sejam $CD = a' = \dfrac{a}{2}$ e $h' = \dfrac{3}{2} \cdot h$ a base e a altura, respectivamente, do triângulo $\Delta PCD$, $a'h' = 18$. Logo a área do triângulo $\Delta PCD$ é $9$.
Como $\Delta PCD\ \sim\ \Delta PEF$ e a razão de semelhança é $\dfrac{h'}{h} = \dfrac{3}{2}$, a área de $\Delta PEF$ é $4$. Logo a área da região hachurada é $\fbox{$5$}$.
Seja a fórmula de Herão $A = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ para o cálculo da área; seja, sem perda de generalidade o lado de medida $a$ que varia a uma velocidade $v$, ou seja, $a = vt + a_0$.
$p = \dfrac{vt + a_0 + b + c}{2}$
${\tiny \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{[v(-vt - a_0 + b + c) - v(vt + a_0 + b + c)](vt + a_0 - b + c)(vt + a_0 + b - c) + (vt + a_0 + b + c)(- vt - a_0 + b + c)[v(vt + a_0 - b + c) + v(vt + a_0 + b - c)]}{8\sqrt{(vt + a_0 + b + c)(-vt - a_0 + b + c)(vt + a_0 - b + c)(vt + a_0 + b - c)}}}$,
com $b + c > vt + a_0$ e $vt + a_0 > |b - c|$.
Uma folha de papel retangular $ABCD$, de $10\ cm$ por $20\ cm$, tem uma face colorida e o verso branco. Foram feitas duas dobras nessa folha, levando-se os pontos $A$ e $C$ sobre a diagonal $BD$, de modo que as dobras ficaram paralelas a essa diagonal, como mostrado na figura abaixo.
Qual é a área da região colorida que fica visível após as dobras?
Sejam $E$ o ponto de $\overline{AD}$ e $F$ o ponto de $\overline{AB}$ onde se encontram as dobras. Notemos que $E$ é ponto médio de $\overline{AD}$ e que $F$ é ponto médio de $\overline{AB}$.
$\left(\Delta ABD \sim \Delta AFE\right)\ \wedge \left(\text{A razão de semelhança é}\ \dfrac{1}{2}\right)\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ \text{Área de}\ \Delta AFE\ =\ \dfrac{100}{4} = 25\ cm^2$
A área colorida após as dobras terá medida $(100 - 25 \cdot 2) \cdot 2 = \fbox{$100\ cm^2$}$.
O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo $94\ \%$ da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular $ABCD$, em que $AB = \dfrac{BC}{2}$ , Antônio demarcou uma área quadrada no vértice $A$, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual $AE = \dfrac{AB}{5}$ é lado do quadrado.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele
$\enclose{circle}{A}$ duplicasse a medida do lado do quadrado.
$\enclose{circle}{B}$ triplicasse a medida do lado do quadrado.
$\enclose{circle}{C}$ triplicasse a área do quadrado.
$\enclose{circle}{D}$ ampliasse a medida do lado do quadrado em $4\ \%$.
$\enclose{circle}{E}$ ampliasse a área do quadrado em $4\ \%$.
Resolução:
Seja $\ell = AB$.
No máximo, $6\ \%$ do total de $2\ell^2$ devem ser destinados à residência, ou seja, $0,12\ell^2$.
Como a atual área da residência de Antônio é $0,04\ell^2$, ele atingiria o limite se triplicasse a área.
Alternativa $\enclose{circle}{C}$.
O mapa abaixo representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a $200$ metros.
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a $40$ km/h, partindo do ponto $X$, demoraria para chegar até o ponto $Y$?
No mínimo, $5$ quadras serão percorridas, ou seja, um total de $1$ km.
$t = \dfrac{60}{40} = \fbox{$1,5\ \text{min}$}$
Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de $3\ \text{km}\ \text{x}\ 2\ \text{km}$ que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio $1\ \text{km}$ a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, qual a porcentagem do terreno que coube a João?
Resolução:
A área do triângulo que coube a João é $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\ \text{km}^2$.
A área total é de $6\ \text{km}^2$, assim, o percentual é de $\fbox{$\dfrac{100 \sqrt{3}}{9}\ \%$}$.
A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de $1:150$.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de $1\ \text{cm}$ em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?
$\dfrac{2850}{150} + 2 = 21$
$\dfrac{3600}{150} + 2 = 26$
As dimensões mínimas da folha são $\fbox{$26\ \text{cm}\ \text{x}\ 21\ \text{cm}$}$.
(Enem 2020). Pesquisadores da Universidade de Tecnologia de Viena, na Áustria, produziram miniaturas de objetos em impressoras 3D de alta precisão. Ao serem ativadas, tais impressoras lançam feixes de laser sobre um tipo de resina, esculpindo o objeto desejado. O produto final da impressão é uma escultura microscópica de três dimensões, como visto na imagem ampliada.
A escultura apresentada é uma miniatura de um carro de Fórmula 1, com $100$ micrômetros de comprimento. Um micrômetro é a milionésima parte de um metro. Usando notação científica, qual é a representação do comprimento dessa miniatura, em metro?
Resolução:
$100\ \mu m = \fbox{$1,0 \cdot 10^{-4}\ m$}$
|
|
