1) Uma escada uniforme, de
$5,0 m$ de comprimento e peso igual a
$40 kgf$, está em equilíbrio com sua parte superior encostada em uma parede vertical sem atrito, tendo sua base apoiada no chão a
$3,0 m$ da parede.
a) Faça um diagrama correspondente à situação, mostrando todas as forças que atuam na escada.
b) Determine a reação normal da parece (
$N_1$), do chão (
$N_2$) e a força de atrito na escada (
$f$).
2) Suponha que um homem, pesando
$90 kgf$, suba lentamente na escada do problema anterior. Sendo o coeficiente de atrito entre o chão e a escada igual a
$0,40$, determine a máxima distância que o homem pode subir ao longo da escada sem que ela escorregue.
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Resolução:
1-a:
1-b:
Verticalmente, só temos o peso da escada e a reação de apoio
$\overrightarrow{N_2}$, logo serão iguais em módulo.
$N_2\ =\ 40\ kgf$
Horizontalmente temos apenas a reação de apoio na parede
$\overrightarrow{N_1}$ e a força de atrito
$\overrightarrow{f}$. Portanto, iguais em módulo.
$N_1\ =\ f$
Mas como
$f$ é desconhecido, utilizaremos a ferramenta do equilíbrio de rotação, considerando seu torque.
Tomando como referência o ponto de encontro da escada com a parede, teremos:
$\sum M\ =\ 0$
$M_{N_1}\ +\ M_E\ +\ M_{N_2}\ +\ M_f\ =\ 0$ (eq. 1)
Sendo
$\overrightarrow{E}$ o peso da escada.
$M_{N_1}$ será nulo pois
$\overrightarrow{N_1}$ está aplicada no ponto de referência.
Notemos que a componente perpendicular à escada de
$\overrightarrow{E}$ fará o mesmo ângulo de inclinação da escada com relação ao chão. Ângulo tal que seu cosseno é
$\dfrac{3}{5}$. Assim:
$M_E\ =\ -\ 40\ \cdot\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ \dfrac{5}{2}\ =\ -60\ kgf\cdot m$ Onde o torque é negativo por provocar uma rotação horária.
$\overrightarrow{N_2}$ também fará o mesmo tal ângulo com a perpendicular à escada. Assim:
$M_{N_2}\ =\ 40\ \cdot\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ 5\ =\ 120\ kgf\cdot m$
Já a componente perpendicular de
$\overrightarrow{f}$ fará o ângulo complementar do ângulo de inclinação da escada. Assim, o cosseno do primeiro será seno do segundo. Chamemos de
$\theta$ o ângulo de inclinação.
$\sin^2 \theta\ +\ (\dfrac{3}{5})^2 =\ 1$
$\sin \theta\ =\ \dfrac{4}{5}$
Temos então:
$M_f\ =\ -\ f\ \cdot\ \dfrac{4}{5}\ \cdot\ 5$
Substituindo tudo em (eq. 1):
$-60\ + 120\ -\ 4f\ =\ 0\ \Rightarrow\ f\ =\ 15\ kgf\ = N_1$
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2:
Se um homem sobe a escada, consideremos
$d$ a máxima distância para a qual a força de atrito estático será a máxima.
Seguindo os mesmos raciocínios da questão anterior, teremos
$N_2\ =\ 130\ kgf$, e
$f_{eM}\ =\ 40\%\ \cdot\ 130\ =\ 52\ kgf$.
Adicionando o novo termo à (eq. 1), e reconsiderando os novos valores para
$f\ =\ f_{eM} $ e $ N_2$, teremos:
$-60\ + 130\ \cdot\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ 5\ -\ 4\ \cdot\ 52\ -\ 90\ \cdot\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ (5\ -\ d)\ =\ 0$
Com dois algarismos significativos:
$d\ =\ 2,7\ m$.