$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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terça-feira, 11 de abril de 2023

Resolver a equação $4^x + 6^x = 2 \cdot 9^x$.

$\dfrac{4^x}{9^x} + \dfrac{6^x}{9^x} - 2 = 0\ \Rightarrow\ \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\dfrac{2}{3}\right)^x - 2 = 0$


$\left(\dfrac{2}{3}\right)^x = 1\ \Rightarrow\ x = 0$


$\fbox{$S = \{0\}$}$

domingo, 17 de abril de 2022

Exercício: sistema de equações exponenciais.

Calcular o conjunto solução so seguinte sistema de equações exponenciais:

 

$\begin{cases}4^x \cdot 8^y = \dfrac{1}{4}\\ 9^x \cdot 27^{2y} = 3\end{cases}$.


$\begin{cases}2^{2x + 3y} = 2^{-2}\\ 3^{2x + 6y} = 3\end{cases}\ \Rightarrow\ y = 1\ \wedge\ x = -\dfrac{5}{2}$


$\fbox{$S = \left\{\left(-\dfrac{5}{2}, 1\right)\right\}$}$

sábado, 16 de abril de 2022

Quais as soluções da equação $4^x - 2^x = 12$?

$2^{2x} - 2^x - 12 = 0\ \Rightarrow\ 2^x = 4\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 2$}$

Qual a soma das raízes da equação $3^{x-1} + 3^{4-x} = 36$?

$\dfrac{3^x}{3} + \dfrac{81}{3^x} = 36\ \Rightarrow\ 3^{2x} - 108 \cdot 3^x + 243 = 0\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ 3^{x_1} = 54 - 9\sqrt{33}\ \wedge\ 3^{x_2} = 54 + 9\sqrt{33}$


$3^{x_1 + x_2} = 243\ \Rightarrow\ \fbox{$x_1 + x_2 = 5$}$

segunda-feira, 14 de março de 2022

Determinar o valor de $x$ de modo que a expressão $2 \cdot 2^x = \sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[6]{2}$ seja verdadeira.

$2^{x + 1} = 2^{\frac{3}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}}\ \Rightarrow\ 2^{x + 1} = 2^{\frac{6 + 3 + 2}{12}}\ \Rightarrow\ 2^{x + 1} = 2^{\frac{11}{12}}\ \Rightarrow\ \fbox{$x = -\dfrac{1}{12}$}$

sexta-feira, 11 de março de 2022

domingo, 6 de fevereiro de 2022

Resolver em $\mathbb{R}$: $3^{x + 2} + 9^{x - 1} = 90$.

$3^{x + 2} + 3^{2x - 2} = 90\ \Rightarrow\ 9 \cdot 3^x + \dfrac{3^{2x}}{9} = 90$

Seja $y = 3^x$:

$y^2 + 81y - 810 = 0\ \Rightarrow\ y = -90\ \vee\ y = 9\ \Rightarrow\ x = 2$.

$\fbox{$S = \{2\}$}$

domingo, 23 de janeiro de 2022

Resolver a equação $2^{\sqrt{x}} = 8^x$.

$2^{\sqrt{x}} = 2^{3x}\ \Rightarrow\ 9x^2 - x = 0\ \Rightarrow\ x = 0\ \vee\ x = \dfrac{1}{9}$

Como houve uma quadração, devemos verificar cada uma das soluções na equação original, e ambas satisfazem. Logo:

$\fbox{$S = \left\{0, \dfrac{1}{9}\right\}$}$.

sábado, 22 de janeiro de 2022

Determinando uma incógnita em uma equação matricial.

Sejam $A =\begin{bmatrix}2^x & -1 & 2^x & 10^{-1}\end{bmatrix}$ e $B =\begin{bmatrix}2^{x + 1} & 2^x & -4 & 20\end{bmatrix}$. Determinar $x$ de modo que $A \cdot B^t = \begin{bmatrix}0\end{bmatrix}$.

$2 \cdot 2^{2x} -5 \cdot 2^x + 2 = 0\ \Rightarrow\ x = -1\ \vee x = 1$

sexta-feira, 14 de dezembro de 2012

Exercício: equação exponencial #2.

(MACK-SP) A solução real da equação $4^x + 6^x\ =\ 2\ \cdot\ 9^x$ está no intervalo:

a) $-1\ \le\ x\ \le\ 1$.

b) $2\ \le\ x\ \le\ 3$.

c) $3\ \le\ x\ \le\ 4$.

d) $-4\ \le\ x\ \le\ -3$.

e) $20\ \le\ x\ \le 30$.

Resolução:

Façamos a transformação $p\ =\ 2^x$ e $q\ =\ 3^x$:

$p^2 + pq\ =\ 2q^2$

$p^2 + qp - 2q^2\ =\ 0$

Resolvendo a equação em $p$ :

$(p\ =\ -2q)\ \vee\ (p\ =\ q)$

Primeiro caso :

$2^x\ =\ -2\ \cdot\ 3^x$

$2^{x - 1}\ =\ 3^{-x}$

$\log_2 (3^{-x})\ =\ x - 1$

$(-x)\ \cdot\ log_2 3\ =\ x - 1$

$x [(\log_2 3) + 1]\ =\ 1$

$x\ =\ \dfrac{1}{(\log_2 3) + 1}$

Como $(\log_2 3) + 1\ >\ 1$ então $0\ <\ x\ <\ 1$
__

Segundo caso :

$2^x\ =\ 3^x$

Donde :

$x\ =\ 0$

Logo, a alternativa correta é a A.

Exercício: equação mista.

(Fuvest-SP) A equação $2^x\ =\ -3x + 2$, com $x$ real:

a) Não tem solução.

b) Tem uma única solução entre $0$ e $\dfrac{2}{3}$.

c) Tem uma única solução entre $-\dfrac{2}{3}$ e $0$.

d) Tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa.

e) Tem mais de duas soluções.

Resolução:

Como estamos lidando com funções mistas: uma exponencial e outra afim, vamos analisar cada uma individualmente.

$2^x$ será sempre positiva. Consequentemente devemos encontrar os valores de $x$ para os quais $-3x + 2$ seja positiva.

$x\ <\ \dfrac{2}{3}$

Observemos que se $x\ =\ 0$, $2^x\ =\ 1 $ e $ -3x + 2\ =\ 2$, e como a primeira é crescente e a segunda é decrescente para todo $x\ >\ 0$, elas se tocarão em um único ponto. E pela condição [1], concluímos que a equação dada terá uma única solução entre $0$ e $\dfrac{2}{3}$

A alternativa correta é a B.

Exercício: equação exponencial #3.

Mostre que a equação $e^x + e^{-x} - 3 = 0$ tem duas raízes reais simétricas $x\ =\ a$ e $x\ =\ -a$. Mostre, ainda, que $e^{3a} + e^{-3a}\ =\ 18$.

Resolução:

Primeiramente vamos demonstrar que $e^x + e^{-x} - 3 = 0$ admite uma raiz $a$.

Observemos que para $x\ =\ 0$, $e^0 + e^0 - 3\ =\ -1$, e que quando $x \mapsto\ +\infty$, $e^x + e^{-x} - 3$ tende a infinito. Logo $e^x + e^{-x} - 3$, por ser contínua, necessariamente possui uma ordenada nula.

Observemos agora que, se $a$ é raiz, $e^a + e^{-a} - 3 = e^{-a} + e^a - 3$.

Assim $e^x + e^{-x} - 3 = 0$ possui raízes $a$ e $-a$.

Observemos agora que:

$e^a + e^{-a} = 3$

$(e^a + e^{-a})^3 = 27$

$e^{3a} + 3 e^{2a} e^{-a} + 3 e^a e^{-2a} + e^{-3a}\ =\ 27$

$e^{3a} + e^{-3a} + 3(e^a + e^{-a})\ =\ 27$

$e^{3a} + e^{-3a} + 3\ \cdot\ 3\ =\ 27$

$e^{3a} + e^{-3a}\ =\ 27 - 9\ =\ 18$