$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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sábado, 23 de abril de 2022

Aplicação de Coordenadas Quadráticas de Antonio Vandré: lançamento horizontal.

Seja um ponto material lançado horizontamente de uma altura $h$ com uma velocidade $v$ em um lugar onde a aceleração da gravidade seja $g$. Encontrar o espaço percorrido pelo ponto material até atingir o solo.


 

Basta encontrar a segunda coordenada quadrática de Antonio Vandré quando $x = v\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ e $a = \dfrac{g}{2v^2}$.


$ax = \sqrt{\dfrac{gh}{2v^2}}$


$\fbox{$d = \dfrac{\sqrt{\dfrac{2gh\left(1 + \dfrac{2gh}{v^2}\right)}{v^2}} + \log \left(\sqrt{\dfrac{2gh}{v^2}} + \sqrt{1 + \dfrac{2gh}{v^2}}\right)}{\sqrt{\dfrac{8gh}{v^2}}}$}$

sexta-feira, 16 de agosto de 2019

Calculadora: conversão entre unidades de medida.

Entre com o valor (número real), a unidade de medida em que está expresso, e a unidade à qual deseja converter, separados por vírgula ",":

Exemplos:

Input: "120, C, F". Output: "248".
Input: "265.2, m, cm". Output: "26520".




Conversão:


segunda-feira, 29 de julho de 2019

Exercício: determinando a máxima velocidade em uma curva sem derrapar.

Considere uma pista contida num plano horizontal. A máxima velocidade com que um carro pode fazer uma curva de raio $80$ metros sem derrapar é de $20\ m/s$. Determine a máxima velocidade que esse carro pode ter, ao fazer uma curva de $20$ metros.

Resolução:

Horizontalmente, a força resultante é a centrípeta, e é composta apenas da força de atrito, logo são iguais.

Considerando constante o coeficiente de atrito $\mu$, na iminência de derrapar: $\cancel{m}g\mu = \cancel{m}\dfrac{v^2}{R}\ \Rightarrow\ \mu = \dfrac{v^2}{gR}$

$\mu = \dfrac{20^2}{80g} = \dfrac{5}{g}$

Fazendo a curva de raio $20$ metros:

$\cancel{m}\cancel{g}\dfrac{5}{\cancel{g}} = \cancel{m}\dfrac{v^2}{20}\ \therefore\ \fbox{$v = 10\ m/s$}$

sexta-feira, 26 de julho de 2019

Exercício: tempo de queda livre.

Um corpo cai em queda livre, percorrendo a primeira metade de sua trajetória em $1\ s$. A trajetória inteira será percorrida em quantos segundos?

Resolução:


Da função horária $S(t) = S_0 +  v_0t + \dfrac{at^2}{2}$:

$\dfrac{S}{2} = \dfrac{a}{2}$

$S = a = \dfrac{2a}{2} = \dfrac{a(\sqrt{2})^2}{2}$

Portanto percorrerá toda a trajetória em $\sqrt{2}\ s$.

Exercício: velocidade de lançamento e uma determinada altura.

Em uma experiência de laboratório, verificou-se que a velocidade de lançamento de um corpo para que este atingisse uma certa altura é $v$, quando lançado verticalmente. Um aluno repete a experiência, porém imprime ao corpo a velocidade $2v$. Qual será a velocidade do corpo ao atingir a altura do primeiro ensaio?

Resolução:



Por Torricelli:

$0 = v^2 + 2a\Delta S$

$3v^2 = 4v^2 + 2a\Delta S$

$(\sqrt{3}v)^2 = (2v)^2 + 2a\Delta S$

Portanto a velocidade será $v\sqrt{3}$.

quarta-feira, 4 de julho de 2012

Alcance do lançamento oblíquo em um plano oblíquo.



O tempo $t$ necessário para o deslocamento horizontal será o mesmo para o deslocamento vertical.

Tomando por convenção o sinal positivo para o deslocamento para cima, verticalmente o objeto deve atingir o espaço $- A \sin \phi$.

Estudando o movimento vertical:

$- A \sin \phi\ =\ (V_0 \sin \theta)t\ +\ \dfrac{g}{2}t^2$

$t\ =\ \dfrac{- V_0 \sin \theta\ +\ \sqrt{{V_0}^2 \sin^2 \theta\ -\ 2gA \sin \phi}}{g}$

Estudando o movimento horizontal:

$A \cos \phi\ =\ (V_0 \cos \theta)t$

Substituindo $t$ na conclusão vertical:

$\dfrac{A \cos \phi}{V_0 \cos \theta}\ =\ \dfrac{- V_0 \sin \theta\ +\ \sqrt{{V_0}^2 \sin^2 \theta\ -\ 2gA \sin \phi}}{g}$

${V_0}^2 \sin^2 \theta\ -\ 2gA \sin \phi\ =\ \left(g \dfrac{A \cos \phi}{V_0 \cos \theta}\ +\ V_0 \sin \theta\right)^2$

$\left(\dfrac{g^2 \cos^2 \phi}{{V_0}^2 \cos^2 \theta}\right) A^2\ +\ 2g [(\sin \phi)\ +\ (\cos \phi)(\tan \theta)] A\ =\ 0$

$A\ =\ \dfrac{2{V_0}^2 (\cos \phi)(\sin \theta)(\cos \theta)\ +\ 2{V_0}^2 (\cos^2 \theta) (\sin \phi)}{g \cos^2 \phi}\ =$

$=\ \dfrac{2{V_0}^2 (\sin \theta)(\cos \theta)}{g \cos \phi}\ +\ \dfrac{2{V_0}^2 (\cos^2 \theta)(\tan \phi)}{g \cos \phi}\ =$

$=\ \fbox{$\dfrac{2{V_0}^2 \cos \theta}{g \cos \phi} [(\sin \theta)\ +\ (\cos \theta)(\tan \phi)]$}$

segunda-feira, 25 de junho de 2012

Velocidade de queda com resistência do ar.

Consideremos um corpo em "queda-livre", mas substanciando a resistência do ar.



Teremos agindo sobre ele a força-peso e a força de resistência aérea.

É certo que $\overrightarrow{f_a}$ depende de fatores como formato, tipo de material usado em sua confecção, seção transversal reta, entre outros. Mas de uma forma simplificada consideremos uma função linear da velocidade de queda, válida com aproximação para uma grande gama de casos: $f_a\ =\ kv$.

Sabemos que inicialmente o objeto cairá com velocidade crescente até atingir uma velocidade limite de queda, e a partir daí cairá com movimento uniforme, situação em que a aceleração será nula, por condição da resultante das forças sobre ele aplicadas ser nula.

Analisaremos a velocidade de tal objeto.

Em uma situação ideal, agirá sobre o objeto apenas o peso e a força resistente:

$P\ -\ f_a\ =\ ma$

Onde $m$ é sua massa e $a$ é sua aceleração.

Sendo $v$ sua velocidade de queda, teremos:

$mg\ -\ kv\ =\ m\dfrac{v}{t}$

$gt\ -\ \dfrac{kt}{m}v\ =\ v$

$v\ =\ \dfrac{gt}{\dfrac{kt}{m}\ +\ 1}$

Notemos que:

Quando $t\ =\ 0 $, $ v\ =\ 0$.

A velocidade-limite de queda dá-se quando $P\ =\ f_a$, ou seja:

$mg\ =\ kv\ \Rightarrow\ v\ =\ \dfrac{mg}{k}$

E a partir desta condição o valor de $\overrightarrow{v}$ não se altera.
____________________

Para $m\ =\ 1\ kg$ e $g\ =\ 10\ \dfrac{m}{s^2}$, e $k\ =\ 5\ \dfrac{N\cdot s}{m}$, teremos:



Onde $v\ =\ \dfrac{10t}{\dfrac{5t}{1}\ +\ 1}$ está em vermelho.

E $v\ =\ \dfrac{1\ \cdot\ 10}{5}\ =\ 2$ está em azul.

sexta-feira, 15 de junho de 2012

Exercício: um objeto atirado horizontalmente do alto de uma escada, em qual degrau irá cair?

Uma bola é lançada do alto de uma escada com uma velocidade horizontal de módulo igual a $4,0 m/s$. Os degraus tem $20 cm$ de altura por $35 cm$ de largura. Qual o degrau que a bola irá atingir? (Considere $g = 10 m/s^2$.)

Curso de Física 1. 4ª edição.
Antônio Máximo. Beatriz Alvarenga.
Cap. 4. Problemas suplementares 27.
____________________

Chamemos de $t$ o tempo de queda da bola. Neste tempo ela percorrerá $S_v$ de espaço vertical e $S_h$ de espaço horizontal. Chamemos também de $d$ o número de degraus que a bola irá percorrer.

$s_v\ =\ 0,20\ \cdot\ d$
$s_h\ =\ 0,35\ \cdot\ d$

$t\ =\ \sqrt{\dfrac{S_v}{5,0}}$
$t\ =\ \dfrac{S_h}{4,0}$

$\dfrac{d}{25}\ =\ d^2\ \cdot\ \dfrac{49}{4,0\ \cdot\ 10^2}\ \cdot\ \dfrac{1}{16}$

$d\ =\ \dfrac{2,5\ \cdot\ 10^2}{49}\ =\ 5,1\ degraus$

O menor inteiro maior que $5,1$ é $6$. Portanto a bola irá atingir o 6º degrau.

quarta-feira, 13 de junho de 2012

O ganho de massa de um satélite e o efeito orbital.

Imaginemos um astro que orbita outro. Mesmo que irrisório, o ganho de massa existe pela acumulação de poeira cósmica.

Seria interessante percebermos o efeito deste ganho no movimento do astro-satélite.

Supondo que sua velocidade linar não varie e que sua tragetória seja circular, temos:

$F_g\ =\ G \dfrac{Mm}{R^2}\ =\ F_c\ =\ (m+\Delta m) \dfrac{v^2}{R}$

$G \dfrac{Mm}{R^2}\ =\ m \dfrac{v^2}{R}\ +\ \Delta m \dfrac{v^2}{R}$

$G \dfrac{Mm}{R}\ =\ m\ \cdot\ v^2\ +\ \Delta m \cdot\ v^2$

$R\ =\ \dfrac{GMm}{v^2 (m\ +\ \Delta m)}$

Observando o gráfico de uma função análoga $f(x)\ =\ \dfrac{1}{1+x}$, temos:



Uma hipérbole transladada.

Observamos que à medida que o incremento de massa aumenta, o raio orbital diminui.