$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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sexta-feira, 4 de fevereiro de 2022

Utilizando a Regra de Chió, encontrar o determinante de $\begin{bmatrix}3 & 4\\ -1 & 5\end{bmatrix}$.

$\begin{vmatrix}3 & 4\\ -1 & 5\end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix}1 & \dfrac{4}{3}\\ -1 & 5\end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix}5 + \dfrac{4}{3}\end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix}\dfrac{19}{3}\end{vmatrix} = 19$

terça-feira, 22 de junho de 2021

Brincando com sistemas lineares: traço da matriz incompleta dos coeficientes e elementos de raízes.

Em $\mathbb{U} = \mathcal{M}_{3x1}$,

$A \cdot X = B_i$,

para $A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 7\\ 1 & 3 & 2\\ 5 & 3 & 4\end{bmatrix}$, $B_1 = \begin{bmatrix}16\\ -5\\ 11\end{bmatrix}$, $B_2 = \begin{bmatrix}25\\ -11\\ -5\end{bmatrix}$, $B_3 = \begin{bmatrix}3\\ 5\\ -5\end{bmatrix}$.

Sejam $x_1$ o primeiro elemento da solução do sistema para $i = 1$, $z_2$ o terceiro elemento da solução do sistema para $i = 2$, e $y_3$ o segundo elemento da solução do sistema para $i = 3$.

Seja $D$ o determinante de $A$. $D = -66$.

Seja $D_1$ o determinante da matriz $A$ com a primeira coluna substituída por $B_1$, $D_1 = -198$. Por Cramer, $x_1 = 3$.

Seja $D_2$ o determinante da matriz $A$ com a terceira coluna substituída por $B_2$, $D_2 = -264$. Por Cramer, $z_2 = 4$.

Seja $D_3$ o determinante da matriz $A$ com a segunda coluna substituída por $B_3$, $D_3 = -132$. Por Cramer, $y_3 = 2$.

$A^{-1} = \dfrac{1}{D} \cdot adj\ A$, logo o traço de $A^{-1}$ é $t = \dfrac{-16}{-66} = \dfrac{8}{33}$.

$\fbox{$t + x_1 + z_2 + y_3 = \dfrac{315}{33} \approx 10$}$

segunda-feira, 2 de setembro de 2019

Calculadora: determinante.

Entre com uma string matriz de números reais; as linhas são separadas por ponto e vírgula ";" e as colunas por vírgula ",":

Exemplo:

Input: "1, 2; 3, 0.5". Output: "-5.5".




Determinante:

segunda-feira, 29 de julho de 2019

Exercício: determinar os coeficientes de um sistema linear sabendo que é possível e indeterminado.

Seja $a$ um parâmetro real não nulo. Se o sistema $\begin{cases}ax + a^2y = 0\\ a^2x + a^4y = 0\end{cases}$ tem uma infinidade de soluções, qual o valor de $a$?

O determinante da matriz dos coeficientes deve ser nulo para que um sistema linear seja impossível ou indeterminado, como o enunciado diz que ele é possível, logo é indeterminado.

$\begin{vmatrix} a & a^2\\ a^2 & a^4\end{vmatrix} = 0\ \Rightarrow a^5 - a^4 = 0\ \therefore\ a = 0\ \vee\ a = 1$

Como $a$ é real não nulo, $\fbox{$a = 1$}$.

terça-feira, 23 de julho de 2019

Inversa de uma matriz 2x2.

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$

quinta-feira, 16 de dezembro de 2010

Considerações sobre a matriz de Vandermonde.

Uma matriz de Vandermonde, também chamada de matriz de potências, é toda matriz da forma:



Os elementos são chamados os elementos característicos da matriz de Vandermonde. E seu determinante é sintetizado pela expressão .


O determinante de tal pode ser obtido pela regra de Chió e será o produto de todas as possíveis diferenças entre os elementos característicos tal que o minuendo terá que ser de ordem maior que o subtraendo. A demonstração irei omitir nesta postagem. Em termos gerais:


_____

Consideração:

Quantos fatores haverá no cálculo de ?

Notemos que para o minuendo de índice n teremos n-1 subtraendos; para o minuendo de índice n-1 teremos n-2 subtraendos; ... ; para o minuendo de índice 2 teremos 1 subtraendo. Logo teremos como quantidade de diferenças a soma dos n-1 primeiros inteiros positivos.

Lembremos da soma dos m primeiros inteiros positivos, cuja fórmula pode ser obtida pelo estudo de progressões aritméticas:





tomando m = n-1, e considerando a c como a função cujo domínio é o conjunto dos produtórios de expressões algébricas e contra-domínio a quantidade de fatores, teremos:

quarta-feira, 15 de dezembro de 2010

Determinante de matrizes de elementos consecutivos.

Consideremos as matrizes :



Elas possuem elementos ordenados consecutivos.

Em termos gerais temos:








O problema que iremos resolver é calcular seu determinante.

Pela propriedade da soma de determinantes, o de tal matriz será:







Onde a primeira parcela, por ter linhas iguais, será nulo.

Observemos que na segunda parcela, a matriz tem a última linha como uma combinação linear das linhas 1, multiplicada por $1$, e a 2, multiplicada por $n - 1$, logo seu determinante também é nulo. Conclusão: