$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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Mostrando postagens com marcador demonstrações. Mostrar todas as postagens
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quinta-feira, 2 de março de 2023

Seja $x_n = 9 + \dfrac{(-1)^{n+1}}{5n^2}$, demonstre que $\lim x_n = 9$.

Devemos mostrar que existe um $n_0$ tal que $|x_n - 9| < \epsilon$ para todo $n > n_0$ para todo $\epsilon > 0$.


$\left|\cancel{9} + \dfrac{(-1)^{n+1}}{5n^2} - \cancel{9}\right| < \epsilon\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{5n^2} < \epsilon\ \Rightarrow\ n > \dfrac{1}{\sqrt{5\epsilon}}$


Como $\dfrac{1}{\sqrt{5\epsilon}}$ existe para todo $\epsilon$, basta tomar $n_0$ o menor inteiro maior que $\dfrac{1}{\sqrt{5\epsilon}}$, e assim $\lim x_n = 9$.


Quod Erat Demonstrandum.

quarta-feira, 18 de janeiro de 2023

Sejam $z$ e $w$ escalares. Se $zw = 0$, então $z = 0$ ou $w = 0$.

Vamos supor que $z \neq 0$ e $w \neq 0$.

$z^{-1}zw = z^{-1} \cdot 0\ \Rightarrow\ w = 0$ $\large{(I)}$

$zww^{-1} = 0 \cdot w^{-1}\ \Rightarrow\ z = 0$ $\large{(II)}$

$\large{(I)}$ e $\large{(II)}$, por hipótese, são absurdos, logo $z = 0$ ou $w = 0$.

Quod erat demonstrandum.

segunda-feira, 5 de dezembro de 2022

Sejam $x$ um racional e $y$ um irracional, não nulos, mostre que $xy$ é irracional.

Suponhamos que $xy$ seja racional, ou seja $xy = \dfrac{p}{q}\ \Rightarrow\ \dfrac{p'}{q'} \cdot y = \dfrac{p}{q},\ p, q, p', q' \in \mathbb{Z}^*$.


$y = \dfrac{p''}{q''},\ p'' = pq',\ q'' = p'q$ o que é um absurdo pois, por hipótese, $y$ é irracional.


Quod Erat Demonstrandum.

domingo, 16 de outubro de 2022

Sejam $p$ e $q$ reais positivos, mostre a média harmônica é menor ou igual à média geométrica.

$\left(\dfrac{1}{\sqrt{p}} + \dfrac{1}{\sqrt{q}}\right)^2 \ge 0\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} \ge \dfrac{2}{\sqrt{pq}}\ \Rightarrow\ \underset{MH}{\underbrace{\dfrac{2}{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}}}} \le \underset{MG}{\underbrace{\sqrt{pq}}}$


Quod Erat Demonstrandum.

segunda-feira, 10 de outubro de 2022

Sejam $z, w \in \mathbb{C}$, mostre que $|zw| = |z||w|$.

Sejam $z = a + bi$ e $w = c + di$.


$|zw|^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = a^2c^2 + b^2d^2 - \cancel{2abcd} + a^2d^2 + b^2c^2 + \cancel{2abcd} =$

 

$= a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2) = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (|z||w|)^2$


Como o módulo de um número complexo é um real não negativo, $|zw| = |z||w|$.


Quod Erat Demonstrandum.

sábado, 8 de outubro de 2022

Média aritmética maior que a média geométrica de dois reais não negativos.

Sejam $p$ e $q$ dois reais não negativos, mostre que sua média aritmética é maior que sua média geométrica.

 

$(p - q)^2 \ge 0\ \Rightarrow\ p^2 + q^2 \ge 2pq\ \Rightarrow\ p^2 + 2pq + q^2 \ge 4pq\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \dfrac{(p + q)^2}{4} \ge pq\ \overset{p, q \ge 0}{\Rightarrow}\ \underset{MA}{\underbrace{\dfrac{q + q}{2}}}\ \ge\ \underset{MG}{\underbrace{\sqrt{pq}}}$


Quod Erat Demonstrandum.

terça-feira, 5 de julho de 2022

Demonstração da regra do quociente para derivadas.

Pela regra do produto, $(f \cdot h)'(x) = f(x)h'(x) + h(x)f'(x)$.


Pela regra da cadeia, tomando $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$, $g(x) \neq 0$, $h'(x) = -\dfrac{g'(x)}{[g(x)]^2}$, logo


$\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'(x) = \dfrac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \fbox{$\dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$}$.

 

Quod Erat Demonstrandum.

segunda-feira, 4 de julho de 2022

Demonstração da regra do produto para derivadas.

Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáveis,


$(f \cdot g)'(x) = \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{(f \cdot g)(x + a) - (f \cdot g)(x)}{a} =$

 

$= \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{f(x + a) \cdot g(x + a) - f(x) \cdot g(x) + f(x + a) \cdot g(x) - f(x + a) \cdot g(x)}{a} =$


$= \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{f(x + a)[g(x + a) - g(x)]}{a} + \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{g(x)[f(x + a) - f(x)]}{a} = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$.


Quod Erat Demonstrandum.

domingo, 3 de julho de 2022

Demonstração da regra da cadeia.

Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáreis,


$f'(u) = \displaystyle\lim_{\Delta u \rightarrow 0} \dfrac{f(u + \Delta u) - f(u)}{\Delta u} =  \displaystyle\lim_{\Delta u \rightarrow 0} \dfrac{\Delta f(u)}{\Delta u}$;


$g'(x) = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x}$.


Observemos que $\Delta g(x) \rightarrow 0\ \Leftrightarrow\ \Delta x \rightarrow 0$.

 

$(f \circ g)'(x) = \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta g(x)} = \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \left[\dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta x} \cdot \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta g(x)}\right] =$


$= \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta g(x)} \cdot \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x} = f'[g(x)] \cdot g'(x)$


Quod Erat Demonstrandum.

segunda-feira, 16 de maio de 2022

Sejam $U$ e $W$ subespaços de dimensões finitas de um espaço vetorial $V$, mostre que $dim\ (U + W)\ =\ dim\ U\ +\ dim\ W\ -\ dim\ (U \cap W)$.

Sejam $\{u_1, \dots , u_m\}$ uma base de $U$ e $\{w_1, \dots , w_n\}$ uma base de $W$, $\{u_1,\dots , u_m, w_1,\dots ,w_n\}$ gera $U + W$.


Seja $\{u_{i_1}, \dots , u_{i_p}, w_{j_1}, \dots , w_{j_q}\}$ um subconjunto independente maximal de $U + W$, logo


    $\bullet$ $dim\ (U + W)\ =\ p + q$


e, além disto,


$\{u_{i_{p+1}}, \dots , u_{i_m}, w_{j_{q+1}}, w_{j_n}\}$ é uma base de $U \cap W$, logo


    $\bullet$ $dim\ (U \cap W) = m - p + n - q$.


Como $p + q = m + n - (m - p + n - q)$,

 

$\fbox{$dim\ (U + W)\ =\ dim\ U\ +\ dim\ W\ -\ dim\ (U \cap W)$}$.


Quod Erat Demonstrandum.

sábado, 7 de maio de 2022

Mostre que duas matrizes equivalentes por linhas tem o mesmo espaço de linhas.

Seja $L$ tal espaço de linhas. Se $\displaystyle\sum a_iA_i\ \in\ L$:


$a_1A_1 + a_2A_2 + \dots + a_jA_j + a_{j-1}A_{j-1} + \dots\ \in\ L$ ${\large (I)}$,

 

$a_1A_1 + a_2A_2 + \dots + ba_jA_j + \dots\ \in\ L$ ${\large (II)}$,

 

$a_1A_1 + a_2A_2 + \dots + \left(ba_jA_j + a_kA_k\right) + \dots\ \in\ L$ ${\large (III)}$.


Ou seja, se duas matrizes são obtidas uma da outra por combinações das operações elementares, a saber, ${\large (I)}$, permutação, ${\large (II)}$, multiplicação por escalar, e ${\large (III)}$, substituição de uma linha por a soma desta com um múltiplo de uma outra, tem o mesmo espaço de linhas.


Quod Erat Demonstrandum.

Mostre que, se removermos uma linha de uma matriz escalonada, ela continuará escalonada.

Sejam $a_{1j_1}, a_{2j_2}, \dots, a_{nj_n}$ os elementos distinguidos da matriz escalonada, logo $j_1 < j_2 < \dots < j_n$.


Retirando o elemento da $i$-ésima linha, teremos uma nova matriz cujos elementos distinguidos são


$a_{1j_1}, \dots, a_{(i-1)j_{i-1}}, a_{(i+1)j_{i+1}}, \dots, a_{nj_n}$


de modo que


$j_1 < \dots < j_{i-1} < j_{i+1} < \dots < j_n$.


Logo a nova matriz também será escalonada.


Quod Erat Demonstrandum.

Seja $F$ o espaço vetorial de todas as funções reais, $P$ o subespaço vetorial das funções pares, e $I$ o subespaço das funções ímpares, mostrar que $F = P \oplus I$.

Seja $i$ um elemento de $I$, existe um elemento de $f$ de $F$ tal que $f - p = i$, $p$ um elemento de $P$.

$p(x) = p(-x)\ \Rightarrow\ f(x) - f(-x) = i(x) - i(-x)$


Como $f(x) - f(-x)$ existe, $i(x)$ existe. Como $f$ é função de $i$, $i$ é único.

 

Quod Erat Demonstrandum.

quinta-feira, 14 de abril de 2022

Seja $f(x) = \dfrac{1}{x}$, mostrar, pela definição de derivada, que $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.

Seja $f$ contínua em $x$:


$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{x + h} - \dfrac{1}{x}}{h} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{x - x - h}{xh(x + h)} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-1}{x^2 + xh} = -\dfrac{1}{x^2}$.


Quod Erat Demonstrandum.

sexta-feira, 8 de abril de 2022

Sejam $a > 0\ \wedge\ a \neq 1$ e $m \neq 0$, mostre que $\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m} \log_a b$.

$\log_{a^m} b^n = n\log_{a^m} b = n \cdot \dfrac{\log_a b}{\log_a a^m} = \dfrac{n}{m} \log_a b$


Quod Erat Demonstrandum.

Seja $f(x) = 2|x|$, mostre que não existe $f'(0)$.

Seja $L_1 = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{2(x + h) - 2x}{h}$, $L_1 = 2$.


Seja $L_2 = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-2(x + h) + 2x}{h}$, $L_2 = -2$.


Como $L_1 \neq L_2$, $\not{\exists}\ f'(0)$.


Quod Erat Demonstrandum.

quinta-feira, 7 de abril de 2022

Mostre que $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{x}{x^4 + 1}\ dx$ é convergente.

$x^4 < x^4 + 1\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{x^4 + 1} < \dfrac{1}{x^4}\ \overset{x \ge 1}{\Rightarrow}\ 0 < \dfrac{x}{x^4 + 1} < \dfrac{1}{x^3}$


Como $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{dx}{x^3}$ converge, pelo critério da comparação, $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{x}{x^4 + 1}\ dx$ é convergente.

 

Quod Erat Demonstrandum.

domingo, 13 de fevereiro de 2022

Se $S_i$ gera $W_i$, $i \in \mathbb{N}_n$, mostre que $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n S_i$ gera $\displaystyle\sum_{i=1}^n W_i$.

$S_1$ gera $W_1$. ${\large (I)}$

Vamos supor que $\displaystyle\bigcup_{i=1}^p S_i$ gera $\displaystyle\sum_{i=1}^p W_i$, $p < n$, mostremos que $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{p+1} S_i$ gera $\displaystyle\sum_{i=1}^{p+1} W_i$

Seja $w$ um elemento de $\displaystyle\sum_{i=1}^p W_i$.

Se $w'$ é um elemento de $W_{p+1}$, $w + w'$ é um elemento de $\displaystyle\sum_{i=1}^{p+1} W_i$.

$w + w'$ é uma combinação linear de $\displaystyle\bigcup_{i=1}^p S_i$ e $S_{p+1}$, logo combinação linear de $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{p+1} S_i$. ${\large (II)}$

Com ${\large (I)}$ e ${\large (II)}$, por indução finita, provamos.

Quod Erat Demonstrandum.

sábado, 12 de fevereiro de 2022

Sejam $W_1, \dots , W_n$ subespaços, mostre que $L(W_1, \dots , W_n) = W_1 + \dots + W_n$.

Definamos $L(W_1, \dots , W_n) = L(W_1 + \dots + W_n)$.


Obviamente $W_1 + \dots + W_n \subset L(W_1, \dots , W_n)$. ${\large (I)}$


Sejam $w$ um elemento de $L(W_1, \dots , W_n)$, e $a_i,\ i \in \mathbb{N}_m$ escalares,


$w = \displaystyle\sum_i a_i \displaystyle\sum_{j=1}^n w_j = \displaystyle\sum_{j=1}^n w_j \displaystyle\sum_i a_i,\ w_j \in W_j$.


Tomando quaisquer $a_i$'s tais que $\displaystyle\sum_i a_i = 1$, $w = \displaystyle\sum_{j=1}^n w_j$ que é um elemento de $\displaystyle\sum_{j=1}^n W_j$. Logo $L(W_1, \dots , W_n) \subset W_1 + \dots + W_n$. ${\large (II)}$


${\large (I)}\ \wedge\ {\large (II)}\ \Rightarrow\ L(W_1, \dots , W_n) = W_1 + \dots + W_n$


Quod Erat Demonstrandum.

Seja $S$ um subconjunto de um espaço vetorial $V$. Mostre que $V + S = V$.

$V + S = \{v + s\ :\ v \in V\ \wedge\ s \in S\}$

Mas $s \in V$ e, se $s_1 \in V$ e $s_2 \in V$, $s_1 + s_2 \in V$.

Quod Erat Demonstrandum.

Corolário: se $W$ é espaço vetorial, $W + W = W$.