$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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quarta-feira, 19 de julho de 2023

Exercício: elementos não pertencentes à união.

Numa escola de apenas $800$ alunos, é sabido que $200$ deles gostam de pagode; $300$ de rock e $130$ de pagode e de rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode nem de rock?

$800 - (200 + 300 - 130) = \fbox{$430$}$

segunda-feira, 19 de setembro de 2022

Conjuntos ordenados circulares.

 Conjuntos ordenados circulares são definidos como $\ordcirc{a_i}_0^n$, tais que


$\ordcirc{b_i}_0^n\ =\ \ordcirc{c_j}_0^n\ \Leftrightarrow\ \begin{cases}m = n\\ b_{i_\delta} = c_{j_\varphi} \\ i_\delta + p = k (n + 1) + j_\varphi \\ p \in \mathbb{N}\\ k \in \mathbb{N}\\ j_\varphi < n + 1\end{cases}$.


Exemplos:


$\ordcirc{a, b, c}\ =\ \ordcirc{c, a, b}$;

 

$\ordcirc{\pi, \log 2, \dfrac{1}{2}}\ =\ \ordcirc{\log 2, \dfrac{1}{2}, \pi}$.

sábado, 8 de dezembro de 2012

Demonstração: $(x,y)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q};\Rightarrow x+2y \in\mathbb{Q}$.

Dados $x$ um número racional, e $y$ um número irracional, provemos que $x + 2y$ é irracional.

Vamos tomar a hipótese contrária.

Seja $x\ =\ \dfrac{p}{q}$ com $p\ \in\ \mathbb{Z}$ e $q\ \in\ \mathbb{Z}^*$. Teremos:

$\dfrac{p}{q}\ + 2y\ =\ \dfrac{p'}{q'}$ com p'\ \in\ \mathbb{Z}$ e $q'\ \in\ \mathbb{Z}^*$.

Assim:

$y\ =\ \dfrac{p'q - pq'}{2qq'}$

Como $p'q - pq'$ é inteiro e $2qq'$ é inteiro não-nulo, concluímos que $y$ é racional, o que é um absurdo.

Logo, para $x$ racional e $y$ irracional, $x + 2y$ é irracional.

quinta-feira, 5 de julho de 2012

Exercício: cardinalidade de conjuntos.

‎(EPUSP) Depois de $n$ dias de férias, um estudante observa que:
(1) Choveu $7$ vezes, de manhã ou à tarde;
(2) Quando chove de manhã não chove a tarde;
(3) Houve $5$ tardes sem chuva;
(4) Houve $6$ manhãs sem chuva.

Então $n$ é igual a:
a) $7$.
b) $9$.
c) $10$.
d) $11$.
e) n.d.a.

Resoluçao:



Seja $x$ o número de dias onde estritamente choveu durante a manhã, $y$ o número de dias onde estritamente choveu à tarde, $w$ o número de dias onde choveu de manhã e à tarde, e $z$ o número de dias em que não choveu. Teremos:

$n\ =\ x\ +\ y\ +\ z\ +\ w$

Pela sentença (1), temos que $x\ +\ y\ +\ w\ =\ 7$.

Pela sentença (2), temos que $w\ =\ 0$.

Pela sentença (3), temos que $x\ +\ z\ =\ 5$.

Pela sentença (4), temos que $y\ +\ z\ =\ 6$.

Teremos então o sistema:

$x\ +\ y\ =\ 7$
$ x\ +\ z\ =\ 5$
$y\ +\ z\ =\ 6$


Somando todas, teremos:

$2x\ +\ 2y\ +\ 2z\ =\ 18$

Mas $x\ +\ y\ +\ z\ =\ n$

Então:

$2n\ =\ 18\ \Rightarrow\ n\ =\ 9$

Alternativa b.