$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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quarta-feira, 19 de julho de 2023

Exercício: idades de pai e filho em proporção.

A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como $3$ está para $1$. Qual é a idade de cada um, sabendo que a diferença entre elas é de $24$ anos?

Seja $f$ a idade do filho.


$3f - f = 24\ \Rightarrow\ \fbox{$f = 12$}\ \Rightarrow\ \fbox{$3f = 36$}$

Exercício: tempo de impressão.

Uma impressora laser realiza um serviço em $7$ horas e meia, trabalhando na velocidade de $5000$ páginas por hora. Outra impressora, da mesma marca, mas de modelo diferente, trabalhando na velocidade de $3000$ páginas por hora, em quanto tempo executará o serviço?

A quantidade de páginas impressas pela primeira impressora foi $5000 \cdot 7,5 = 37500$ páginas.


A segunda impressora executará o mesmo serviço em $\dfrac{37500}{3000} = 12,5$ horas, ou $\fbox{$12 \text{ horas e } 30 \text{ minutos}$}$.

Exercício: saldos em dois bancos.

Eduardo possui duas contas bancárias: uma no Banco Alpha e outra no Banco Lótus. O saldo de sua conta no Banco Alpha possui $3$ unidades monetárias a menos do que o seu saldo no Banco Lótus. Além disso, o dobro de seu saldo no Banco Alpha mais o triplo de seu saldo no Banco Lótus é igual a $24$ unidades monetárias. Quais os saldos de Eduardo nos Bancos Alpha e Lótus?

Sejam $a$ o saldo no banco Alpha e $\ell$ o saldo no banco Lótus.

 

$\begin{array}{l c r}a = \ell - 3 & & 2a + 3\ell = 24\end{array}$


$2(\ell - 3) + 3\ell = 24\ \Rightarrow \fbox{$\ell = 6\ \wedge\ a = 3$}$

Exercício: jogo de idades.

Isaura tem o dobro da idade de Juraci, que é um ano mais velha que Benedita. Sabendo que daqui a dois anos a soma das idades de Isaura, Juraci e Benedita será igual a $77$ anos, qual a idade de Benedita daqui a $8$ anos?

Sejam $i$ a idade de Isaura, $j$ a idade de juraci, e $b$ a idade de Benedita.

$\begin{array}{l c c c r}i = 2j & & j = b + 1 & & i + j + b + 6 = 77\end{array}$


$2b + 2 + b + 1 + b = 71\ \Rightarrow\ b + 8 = \fbox{$25$}$

Exercício: razão entre homens e mulheres dadas as médias das idades.

A média aritmética das idades dos candidatos a um concurso público federal é de $36$ anos. Quando separados por sexo, essa média é de $37$ anos para o grupo do sexo masculino e $34$ para o grupo do sexo feminino. Qual a razão entre o número de homens e mulheres?

Sejam $h$ o número de homens, $H$ a soma das idades dos homens, $m$ o número de mulheres, e $M$ a soma das idades das mulheres.

$\begin{array}{l c c c r}\dfrac{H + M}{h + m} = 36 & & \dfrac{H}{h} = 37 & & \dfrac{M}{m} = 34\end{array}$

 

$\dfrac{37h + 34m}{h + m} = 36\ \Rightarrow\ 34 + \dfrac{3h}{h + m} = 36\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{h + m}{3h}\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{m}{3h}\ \Rightarrow\ \fbox{$\dfrac{h}{m} = 2$}$

sexta-feira, 27 de janeiro de 2023

Exercício: idade verdadeira dada uma omissão fracionária.

Carlos disse que tinha $28$ anos de idade, entretanto omitiu $\dfrac{1}{5}$ dela. Qual sua idade verdadeira?

 

Resolução:


Se omitiu $\dfrac{1}{5}$, $28$ corresponde a $\dfrac{4}{5}$ de sua idade verdadeira, logo sua idade verdadeira $I$ é tal que


$I = \dfrac{28}{4/5} = \fbox{$35$ anos.}$

quinta-feira, 5 de janeiro de 2023

Encontre os valores inteiros de $x$ e $y$, que satisfazem a igualdade $(x + 3)(y - 7) = 21$.

Os fatores podem assumir os valores $(-1, -21)$, $(-3, -7)$, $(-7, -3)$, $(-21, -1)$, $(1, 21)$, $(3, 7)$, $(7, 3)$, e $(21, 1)$.


Logo os possíveis valores para $(x, y)$ são


$\{(-4,-14),\ (-6,0),\ (-10,4),\ (-24,6),\ (-2,28),\ (0,14),\ (4,10),\ (18,8)\}$.

quarta-feira, 4 de janeiro de 2023

Exercício: pintores trabalhando em conjunto.

Um pintor X pinta $40$ paredes em $6$ dias trabalhando $8$ horas por dia. Um pintor Y pinta $30$ paredes do mesmo tipo que o pintor X em $12$ dias trabalhando $4$ horas por dia. Trabalhando juntos, no ritmo de $5$ horas por dia, eles irão pintar $700$ paredes em quantos dias?

 

Resolução:


Sendo $P$ a quantidade de paredes pintadas, $d$ a quantidade de dias, e $h$ a quantidade de horas trabalhadas por dia, $P = kdh$, onde $k$ é uma constante dependente do pintor.


Para o pintor X: $40 = 48k_X\ \Rightarrow\ k_X = \dfrac{5}{6}$.


Para o pintor Y: $30 = 48k_Y\ \Rightarrow\ k_Y = \dfrac{5}{8}$.


Trabalhando em conjunto:


$700 = 5D(k_X + k_Y) = D \cdot \dfrac{175}{24}\ \Rightarrow\ D = 96$.


Os dois pintarão as $700$ paredes, ao ritmo de $5$ horas por dia, em $\fbox{$96$ dias}$.

terça-feira, 3 de janeiro de 2023

segunda-feira, 5 de dezembro de 2022

Sejam $x$ um racional e $y$ um irracional, não nulos, mostre que $xy$ é irracional.

Suponhamos que $xy$ seja racional, ou seja $xy = \dfrac{p}{q}\ \Rightarrow\ \dfrac{p'}{q'} \cdot y = \dfrac{p}{q},\ p, q, p', q' \in \mathbb{Z}^*$.


$y = \dfrac{p''}{q''},\ p'' = pq',\ q'' = p'q$ o que é um absurdo pois, por hipótese, $y$ é irracional.


Quod Erat Demonstrandum.

segunda-feira, 14 de novembro de 2022

Exercício: reajustando preço de um componente afim de manter preço de custo.

Em uma cantina, o sucesso de venda no verão são os sucos preparados à base de polpa de frutas. Um dos sucos mais vendidos é o de morango com acerola, que é preparado com $2/3$ de polpa de morango e $1/3$ de polpa de acerola.

 

Para o comerciante, as polpas são vendidas em embalagens de igual volume. Atualmente, a embalagem da polpa de morango custa $R\$\ 18,00$ e a de acerola, $R\$\ 14,70$. Porém, está prevista uma alta no preço da embalagem da polpa de acerola no próximo mês, passando a custar $R\$\ 15,30$.

 

Para não aumentar o preço do suco, o comerciante negociou com o fornecedor uma redução no preço da embalagem da polpa de morango.

 

De quanto foi a redução no preço da embalagem da polpa de morango?


Resolução:


Para preparar uma certa quantidade de sucos, serão utilizadas $\dfrac{2}{3}$ da embalagem de morango e $\dfrac{1}{3}$ da embalagem de acerola, logo o preço de custo será $\dfrac{2}{3} \cdot 18 + \dfrac{1}{3} \cdot 14,7 = 16,9$.

 

Este preço de custo deverá se manter para os novos reajustes, logo $16,9 = \dfrac{2}{3} \cdot x + \dfrac{1}{3} \cdot 15,3\ \Rightarrow\ x = 17,7$, sendo $x$ o novo preço da embalagem de morango.


Logo a redução será de $\fbox{$R\$\ 0,30$}$.

quinta-feira, 10 de novembro de 2022

Exercício: pondo frações em ordem crescente.

Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a instalação da rede de água. Essas medidas são conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes medido em polegada. Alguns desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos de $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{8}$ e $\dfrac{5}{4}$. Por estes valores em ordem crescente.

 

Resolução:


Reescrevendo as três frações com o denominador $8$, teremos $\dfrac{4}{8}$, $\dfrac{3}{8}$ e $\dfrac{10}{8}$. Logo, dispondo em ordem crescente, teremos $\fbox{$\left(\dfrac{3}{8}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{4}\right)$}$.

domingo, 9 de outubro de 2022

Exercício: suficiente de partidas para encerrar um jogo.

Em cada partida de um jogo disputado por dois jogadores, há sempre um vencedor, ou seja, não há empates. Cada jogador começa o jogo com $100$ pontos. Quem vence uma partida soma $5$ a seus pontos, e quem perde uma partida subtrai $2$ de seus pontos. O jogo termina quando a soma dos pontos dos dois jogadores passar de $300$. Após o encerramento do jogo, quantas partidas foram realizadas?

 

A cada partida disputada, a soma dos pontos é acrescida de $5 - 2 = 3$ pontos. Como inicialmente a soma é $200$, calculemos após quantas partidas teremos um saldo de $100$ pontos.


$100 = 33 \cdot 3 + 1$


Ou seja, após o encerramento do jogo, $34$ partidas foram realizadas.

Exercício: número de alunos de um professor de educação física.

Um professor de educação física precisou escolher, dentre seus alunos, uma equipe formada por dois meninos e uma menina ou por duas meninas e um menino. Ele observou que poderia fazer essa escolha de $25$ maneiras diferentes. Quantos meninos e meninas são alunos desse professor?

Sejam $m$ o número de meninos e $n$ o número de meninas.


$\displaystyle{m \choose 2} \cdot n + \displaystyle{n \choose 2} \cdot m = 25\ \Rightarrow\ mn(m + n - 2) = 50$


Os divisores positivos de $50$ são $1$, $2$, $5$, $10$ e $25$. Como $50$ é par, um dos fatores é $2$, não pode ser $(m + n - 2)$ pois implicaria $m + n = 4$ cujas combinações não totalizariam $50$, logo, vamos supor que $m = 2$ o que implica $n = 5$.


Logo o total de alunos é $\fbox{$7$}$.

Exercício: aumento percentual do preço do grama de chocolate.

Um fabricante diminuiu a quantidade de chocolate em uma caixa de $250\ g$ para $200\ g$, mantendo o preço da caixa. Qual foi o aumento percentual do preço do grama do chocolate?

 

Sejam $P$ o preço da caixa, $p_1$ o preço inicial do grama de chocolate, e $p_2$ o preço final do grama de chocolate.


$p_1 = \dfrac{P}{250}$


$p_2 = \dfrac{P}{200}$


$\dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{250}{200} = 1,25$


Logo o aumento foi de $25\ \%$.

sábado, 8 de outubro de 2022

Maior parcela inteira de certa soma.

Morgana escolheu seis números inteiros positivos e diferentes entre si, cuja soma é $2020$. Qual é o maior número que pode aparecer dentre os números escolhidos?

 

Se se deseja conhecer o maior deles, os outros devem ser os menores possíveis, a saber $1$, $2$, $3$, $4$, e $5$, cuja soma é $15$. Logo tal número é $2020 - 15 = \fbox{$2005$}$.

Qual é o algarismo das unidades do menor inteiro positivo par cuja soma dos seus algarismos é igual a $2026$?

Como este inteiro deve ter o mínimo de algarismos, deve ter o máximo possível de $9$'s. $2026 = 225 \cdot 9 + 1$. Este $1$, como é menor que $9$, deve figurar na casa de maior valor, no entanto, como tal número é par e devemos somar a este $1$ o menor valor possível, tal número terminará em $8$ e iniciará em $2$, preservando a propriedade de que a soma de seus algarismos seja $2026$.


Tal número será da forma $2999\dots 9998$.

segunda-feira, 12 de setembro de 2022

Calculadora: decomposição em fatores primos passo a passo.

Entre com um inteiro positivo maior que $1$.




Decomposição passo a passo:

domingo, 28 de agosto de 2022

Número de galinhas e coelhos em um quintal.

Num quintal há galinhas e coelhos. Se o total de cabeças é $32$ e o total de pés é $102$, determine o número de galinhas.

 

Sejam $g$ o número de galinhas e $c$ o número de coelhos.


$\begin{cases}g + c = 32\\ 2g + 4c = 102\end{cases}\ \Rightarrow\ 2c = 38\ \Rightarrow\ \fbox{$g = 13$}$