$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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Mostrando postagens com marcador análise combinatória. Mostrar todas as postagens
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segunda-feira, 5 de dezembro de 2022

Exercício: modelos distintos de um brinquedo caminhão-cegonha.

Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

 

 

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo de brinquedo.

 

Com base nessas informações, quantos são os modelos distindos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?


Resolução:


Se ao menos um carrinho com todas as cores são necessários, fixemos os quatro primeiros carrinhos, cada um com uma cor distinta, tendo os demais quaisquer combinações.


Assim, teremos ao total, pelo principío fundamental da contagem, $\fbox{$4^6$}$ modelos distintos.

quinta-feira, 10 de novembro de 2022

Exercício: formas distintas de pintar círculos.

Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai fez o seguinte desenho e o entregou à criança juntamente com três lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte somente os círculos, de modo que aqueles que estejam ligados por um segmento tenham cores diferentes.



De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai pediu?


Resolução:


Vamos considerar os casos em que A e C tenham as mesmas cores, teremos $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ formas distintas de pintar os círculos.


Consideremos agora os casos em que A e C tenham cores distintas, teremos $3 \cdot 2 = 6$ formas distintas de pintar os círculos.


Logo a resposta procurada é $12 + 6 = \fbox{$18$}$ maneiras diferentes.

segunda-feira, 24 de outubro de 2022

Exercício: acomodando uma família nas vagas disponíveis de um avião.

Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.


 

Qual o número de formas distintas de se acomodar a famínia neste voo?


Associemos as vagas disponíveis às componentes de um vetor de $9$ componentes. Os possíveis valores para as componentes podem ser de $1$ a $8$, com o $8$ representando uma poltrona em branco e devendo se repetir $2$ vezes e os demais valores uma única vez.


Logo, o número de formas distindas de acomodar a família é dado por $\fbox{$\dfrac{9!}{2}$}$.

domingo, 9 de outubro de 2022

Exercício: número de alunos de um professor de educação física.

Um professor de educação física precisou escolher, dentre seus alunos, uma equipe formada por dois meninos e uma menina ou por duas meninas e um menino. Ele observou que poderia fazer essa escolha de $25$ maneiras diferentes. Quantos meninos e meninas são alunos desse professor?

Sejam $m$ o número de meninos e $n$ o número de meninas.


$\displaystyle{m \choose 2} \cdot n + \displaystyle{n \choose 2} \cdot m = 25\ \Rightarrow\ mn(m + n - 2) = 50$


Os divisores positivos de $50$ são $1$, $2$, $5$, $10$ e $25$. Como $50$ é par, um dos fatores é $2$, não pode ser $(m + n - 2)$ pois implicaria $m + n = 4$ cujas combinações não totalizariam $50$, logo, vamos supor que $m = 2$ o que implica $n = 5$.


Logo o total de alunos é $\fbox{$7$}$.

domingo, 8 de maio de 2022

Permutações circulares.

Sejam $n$ objetos distintos dispostos ao redor de um círculo, de quantas formas distintas podemos os organizar ao redor do círculo?


Numerando de $1$ a $n$ as posições, teremos $n!$ formas de dispor os objetos; no entanto, como estão ao redor de um círculo podemos ter "shifts" de modo que a disposição circular será mantida, podemos ter $n$ "shifts".


Ou seja, teremos $\dfrac{n!}{n} = \fbox{$(n - 1)!$}$ disposições circulares distintas.

domingo, 20 de março de 2022

Exercícios: combos de uma lanchonete.

Uma lanchonete tem uma promoção de combo com preço reduzido em que o cliente pode escolher $4$ tipos diferentes de sanduíches, $3$ tipos de bebida e $2$ tipos de sobremesa. Quantos combos diferentes os clientes podem montar?

 

$4 \cdot 3 \cdot 2 = \fbox{$24$}$

sábado, 19 de março de 2022

Exercício: pódio em um campeonato de xadrez.

Em uma competição de xadrez existem $8$ jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?

 

$8 \cdot 7 \cdot 6 = \fbox{$336$ formas}$

quinta-feira, 17 de março de 2022

Exercício: escalando um time de vôlei.

Um técnico de um time de voleibol possui à sua disposição $15$ jogadores que podem jogar em qualquer posição. De quantas maneiras ele poderá escalar seu time de $6$ jogadores?

 

$A_{15, 6} = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 = \fbox{$3603600$ maneiras}$


Cada um com sua posição designada.

sábado, 5 de março de 2022

Exercício: times de futsal à disposição de um treinador.

Um time de futsal é constituído de $5$ jogadores, sendo $1$ goleiro, $2$ de defesa, e $2$ de ataque. Se um treinador dispõe de $2$ goleiros, $4$ defensores e $5$ atacantes, de quantas formas distintas pode formar um time?

$2 \cdot \displaystyle{4 \choose 2} \cdot \displaystyle{5 \choose 2} = 2 \cdot 6 \cdot 10 = \fbox{$120$ times distintos}$

quinta-feira, 3 de março de 2022

Exercício: soma mais provável.

Os números naturais de $1$ a $10$ foram escritos, um a um, sem repetição, em dez bolas de pingue-pongue. Se duas delas forem escolhidas ao acaso, qual o valor mais provável da soma dos números sorteados?

$2$: $(1, 1)$

$3$: $(1, 2)$, $(2, 1)$

$4$: $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(3, 1)$

$5$: $(1, 4)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(4, 1)$

$6$: $(1, 5)$, $(2, 4)$, $(3, 3)$, $(4, 2)$, $(5, 1)$

$7$: $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$, $(6, 1)$

$8$: $(1, 7)$, $(2, 6)$, $(3, 5)$, $(4, 4)$, $(5, 3)$, $(6, 2)$, $(7, 1)$

$9$: $(1, 8)$, $(2, 7)$, $(3, 6)$, $(4, 5)$, $(5, 4)$, $(6, 3)$, $(7, 2)$, $(8, 1)$

$10$: $(1, 9)$, $(2, 8)$, $(3, 7)$, $(4, 6)$, $(5, 5)$, $(6, 4)$, $(7, 3)$, $(8, 2)$, $(9, 1)$

$11$: $(1, 10)$, $(2, 9)$, $(3, 8)$, $(4, 7)$, $(5, 6)$, $(6, 5)$, $(7, 4)$, $(8, 3)$, $(9, 2)$, $(10, 1)$

$12$: $(2, 10)$, $(3, 9)$, $(4, 8)$, $(5, 7)$, $(6, 6)$, $(7, 5)$, $(8, 4)$, $(9, 3)$, $(10, 2)$

$13$: $(3, 10)$, $(4, 9)$, $(5, 8)$, $(6, 7)$, $(7, 6)$, $(8, 5)$, $(9, 4)$, $(10, 3)$

$14$: $(4, 10)$, $(5, 9)$, $(6, 8)$, $(7, 7)$, $(8, 6)$, $(9, 5)$, $(10, 4)$

$15$: $(5, 10)$, $(6, 9)$, $(7, 8)$, $(8, 7)$, $(9, 6)$, $(10, 5)$

$16$: $(6, 10)$, $(7, 9)$, $(8, 8)$, $(9, 7)$, $(10, 63)$

$17$: $(7, 10)$, $(8, 9)$, $(9, 8)$, $(10, 7)$

$18$: $(8, 10)$, $(9, 9)$, $(10, 8)$

$19$: $(9, 10)$, $(10, 9)$

$20$: $(10, 10)$


Logo a soma mais provável é $11$.

domingo, 27 de fevereiro de 2022

$10$ pessoas são escolhidas para formar dois times de futsal. Qual o número de maneiras diferentes que podemos formar os dois times.

$\displaystyle{10 \choose 5} = 252$

Como cada par foi contado duas vezes, teremos $\dfrac{252}{2} = \fbox{$126$}$ pares de times distintos.

No lançamento de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja igual a 6?

Os resultados do evento são $(1, 5)$, $(2, 4)$, $(3, 3)$, $(4, 2)$ e $(5, 1)$. Logo, chamando tal evento de $A$, $n(A) = 5$.

Logo $\fbox{$P(A) = \dfrac{5}{36}$}$.

Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?

Imaginemos todos os conjuntos em que cada elemento é uma ordem em que o $5$ surgirá. Serão em número de $\displaystyle{7 \choose 3} = 35$.

O número de elementos do evento do qual desejamos saber a probabilidade será $5^4 \cdot 35$.

Logo a probabilidade procurada será $P = \dfrac{5^4 \cdot 35}{6^7} \approx \fbox{$7,8 \%$}$.

Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?

Calculemos o número de elementos do evento $A$: permutações de $5$ elementos em que um se repete $2$ vezes e o outro $3$ vezes.


$n(A) = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$


Logo a probabilidade do evento $A$ é $P(A) = \dfrac{10}{2^5} = \dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16} = \fbox{$31,25 \%$}$.

quarta-feira, 14 de julho de 2021

Calculadora: posição em ordem crescente.

Entre com, separados por vírgula ",": primeiro: uma string alfanumérica contendo os elementos que serão utilizados como universo; segundo: uma string alfanumérica da qual se saberá a posição que ocupa; terceiro: "r" para permitir repetição de termos, ou "nr" para contabilizar palavras alfanuméricas em que não há repetição de termos; quarto: "a" para processar apenas letras, ou "t" para processar letras e números.

Exemplos:

Input: "1234, 32, nr, t". Output: "8".

Input: "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz, ola, r, a". Output: "9751".




Posição:

Probabilidade de aniversariantes em um mesmo dia.

Em uma sala com $30$ pessoas, qual a probabilidade de ao menos duas terem aniversário no mesmo dia?

Resolução:

Consideremos a $30$-upla de pessoas em que cada elemento pode assumir um valor inteiro de $1$ a $365$:

$(p_1, p_2, ..., p_{30})$.

O número total de $30$-uplas será $365^{30}$.

O evento de termos ao menos duas pessoas com o mesmo valor será o complementar de todas assumirem valores distintos. Tal evento terá $\dfrac{365!}{335!}$ elementos.

Logo a probabilidade procurada será $1 - \dfrac{365!}{335!} \cdot \dfrac{1}{365^{30}}$ que, utilizando uma calculadora, chegamos a aproximadamente $\fbox{$71\%$}$.

quarta-feira, 30 de junho de 2021

Encontre o termo independente de $x$ no desenvolvimento de $\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}} - 3x\right)^6$.

Seja $p$, iniciando por $0$, a ordem do termo segundo as potências decrescentes da primeira parcela do binômio.

$\dfrac{p - 6}{2} + p = 0\ \Rightarrow\ p = 2$

Logo o termo independente é $\displaystyle{6 \choose 2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{(6 - 2)}(-3x)^2 = \fbox{$135$}$.