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quinta-feira, 25 de julho de 2019

Exercício: função periódica para produção de leite.

Devido principalmente às variações na quantidade de chuva no decorrer dos meses do ano, a produção de leite na fazenda de Rui sofre variação segundo a função $L(M) = 300 - 50\sin[(\dfrac{m-1}{6})\pi + \dfrac{3\pi}{2}]$, em que $m$ representa o mês do ano, e $L$, a quantidade de leite produzida, em litros. Nos meses em que a quantidade de chuva é maior, a produção também aumenta, pois a qualidade das pastagens melhora.

a) Em qual mês ocorreu a maior produção de leite? Quantos litros foram produzidos?

b) Determine o período da função $L$.

Resolução:

a) $L$ é máxima quando o seno for mínimo, ou seja:

$(\dfrac{m-1}{6})\pi + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$(\dfrac{m-1}{6})\pi = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi - \dfrac{3\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

$(\dfrac{m-1}{6})\pi = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\dfrac{m-1}{6} = 2k, k \in \mathbb{Z}$

$m - 1 = 12k, k \in \mathbb{Z}$

$m = 1 + 12k, k \in \mathbb{Z}$

Como $1 \le M \le 12$, $m = 1$, ou seja, o mês mais produtivo é janeiro, e a produção máxima é de $300 + 50 = 350\ l$.

b) O coeficiente de $m$ é $\dfrac{\pi}{6}$, logo o período da função é $|\dfrac{2\pi}{\dfrac{\pi}{6}}| = 12$.

quarta-feira, 24 de julho de 2019

quinta-feira, 6 de junho de 2013

Exercício: período de um sistema pendular.



(FCM Santa Casa-SP) Na figura abaixo está representado um pêndulo simples, de período igual a $T$. Colocando-se um prego (P) na posição indicada, o pêndulo, na máxima elongação para a esquerda, fica com a configuração indicada pela linha pontilhada, voltando, depois, à sua configuração inicial.
Qual é o período de oscilação desse sistema?

a) 4T/3
b) 3T/2
c) 3T/4
d) 2T/3
e) 2T

Resolução:

Chamemos o período do sistema de $T_{eq}$, e o período do pêndulo ao lado esquerdo do prego de $T_p$.

Logicamente teremos $T_{eq}\ =\ \dfrac{T}{2}\ +\ \dfrac{T_p}{2}$......[1]

Como o período de um pêndulo, para oscilações de pequena amplitude, é diretamente proporcional à raiz quadrada do seu comprimento, e o comprimento do pêndulo à esquerda do prego fica multiplicado por $\dfrac{1}{4}$, teremos que:

$T_p\ =\ \dfrac{T}{2}$.....[2]

Substituindo [2] em [1], teremos:

$T_{eq}\ =\ \dfrac{T}{2}\ +\ \dfrac{T}{4}\ =\ \dfrac{3T}{4}$

Logo a alternativa correta é a C.

quarta-feira, 5 de junho de 2013

Exercício: MHS: elongação em uma fração da velocidade máxima.

(FO LINS-SP) Uma partícula executa movimento harmônico simples. Quando passa pelo ponto de elongação $x\ =\ +3,2\ cm$, sua velocidade é igual a $60\%$ da sua velocidade máxima. Qual é a amplitude do movimento?

Resolução:

Em um MHS sabemos que a equação que relaciona as variáveis velocidade e espaço é a equação de Torricelli para o MHS linear:

$v^2\ =\ \omega^2(a^2 - x^2)$.

Sabemos também que a velocidade é dada pela função horária:

$v\ =\ -\omega a\ \cdot\ \sin(\omega t + \varphi_0)$

Tendo seu máximo valor quando a fase for:

$\varphi\ =\ \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\ ,\ k \in \mathbb{Z}$

Assim:

$v_{max}\ =\ \omega a$.

Substituindo na relação de Torriceli:

$(60\%)^2 \omega^2 a^2\ =\ \omega^2 (a^2 - x^2)$

Donde:

$x\ =\ \dfrac{8}{10} a$

Substituindo $x$ por $3,2$, teremos:

$a\ =\ 4\ cm$

Exercício: movimento oscilatório de um corpo flutuando em um fluido.

Uma rolha de densidade $d_r$ e altura $H$ flutua num líquido de densidade $d_{\ell}$. Afunda-se ligeiramente a rolha para baixo, deixando-se, a seguir, oscilar. Sendo $g$ a aceleração local da gravidade, determine o período de oscilação da rolha.

Resolução:

Antes de tudo, vamos determinar qual será o tipo de movimento da rolha.

Quando estática, o sistema estará em equilíbrio. Após afundar a rolha, surgirá uma resultante-empuxo trará a rolha de volta à sua posição inicial.

Chamando $A$ a área da secção reta da rolha, $E$ a força-empuxo, $h$ o comprimento submerso da rolha em equilíbrio, e $x$ o deslocamento imposto à rolha, teremos:

$E - P\ =\ d_{\ell}\ \cdot\ A\ \cdot\ (h - x)\ \cdot\ g\ -\ d_r\ \cdot\ A\ \cdot\ H\ \cdot\ g\ =$

$=\ gA[d_{\ell}(h - x) - d_r H]$

Considerando $d_r\ \approx\ 0$, $h\ \approx\ 0$, $P\ \approx\ 0$, e chamando de $R$ a resultante, teremos:

$R\ =\ E\ =\ -d_{\ell}gA\ \cdot\ x$

Logo podemos considerar $R$ aproximadamente uma força restauradora e diretamente proporcional ao deslocamento imposto $x$, caracterizando um MHS linear.

Assim podemos utilizar a fórmula geral do período:

$T\ =\ 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

Onde:

$m\ =\ d_r A H$

e

$k\ =\ d_{\ell}gA$

Logo:

$T\ =\ 2\pi\sqrt{\dfrac{d_r H}{d_{\ell} g}}$

terça-feira, 4 de junho de 2013

Exercício: período de oscilação de um pêndulo na Lua.

Na Terra, um pêndulo simples executa oscilações com período $T_T$. Se este pêndulo oscilasse na Lua, seu período seria $T_L$. Determine a razão $\dfrac{T_T}{T_L}$. Sabe-se que a aceleração da gravidade na Lua é seis vezes menor que na Terra.

Resolução:

Para pequenas oscilações, o movimento do pêndulo será aproximadamente harmônico simples linear, o que possibilitará-nos utilizar a fórmula $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$.

Como a aceleração da gravidade na Lua é seis vezes menor que na Terra, teremos: $g_L = \dfrac{g_T}{6}$.

Assim:

$T_L\ =\ 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{\dfrac{g_T}{6}}}\ \Rightarrow\ T_L\ =\ (\sqrt{6})\ \cdot\ (2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g_T}})\ =\ \sqrt{6}\ \cdot\ T_T$

Donde:

$\dfrac{T_T}{T_L}\ =\ \dfrac{T_T}{\sqrt{6}\ \cdot\ T_T}\ =\ \dfrac{1}{\sqrt{6}}$