$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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quarta-feira, 18 de janeiro de 2023

Sejam $z$ e $w$ escalares. Se $zw = 0$, então $z = 0$ ou $w = 0$.

Vamos supor que $z \neq 0$ e $w \neq 0$.

$z^{-1}zw = z^{-1} \cdot 0\ \Rightarrow\ w = 0$ $\large{(I)}$

$zww^{-1} = 0 \cdot w^{-1}\ \Rightarrow\ z = 0$ $\large{(II)}$

$\large{(I)}$ e $\large{(II)}$, por hipótese, são absurdos, logo $z = 0$ ou $w = 0$.

Quod erat demonstrandum.

quarta-feira, 4 de janeiro de 2023

Sendo $m$ um real positivo, reduir $E = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{m^2\sqrt{m\sqrt[4]{m^3}}}}$ a um único radical.

$E = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{m^2\sqrt{\sqrt[4]{m^7}}}} = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{m^2\sqrt[8]{m^7}}} = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{\sqrt[8]{m^{23}}}} =$

 

$= \sqrt[5]{m^4\sqrt[24]{m^{23}}} = \sqrt[5]{\sqrt[24]{m^{119}}} = \fbox{$\sqrt[120]{m^{119}}$}$

Em $U = \mathbb{R}$, resolver $3^{x + 2} + 9^x = 9 + 27^x$.

Seja $y = 3^x$.


$9y + y^2 = 9 + y^3$

 

$y^2 - 9 = y^3 - 9y$

 

$y^2 - 9 = (y^2 - 9)y$


Se $y^2 - 9 = 0$, $y = 3\ \Rightarrow\ x = 1$


Se $y^2 - 9 \neq 0$, $y = 1\ \Rightarrow\ x = 0$


$S = \{0, 1\}$

domingo, 28 de agosto de 2022

Discutir a equação em $x$, $m^2 x + 1 = x + m$, de acordo com o parâmetro real $m$.

$x(m + 1)(m - 1) = m - 1$


Para $m = 1$, $S = \mathbb{R}$.


Para $m = -1$, $S = \varnothing$.


Para $m \neq 1\ \wedge\ m \neq - 1$, $S = \left\{\dfrac{1}{m + 1}\right\}$.

sexta-feira, 26 de agosto de 2022

terça-feira, 5 de julho de 2022

Exercício: arrecadamento diário com desconto em preço unitário.

Um posto de combustível vende $10000$ litros de álcool por dia a R\$ $1,50$ cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos $100$ litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R\$ $1,48$, foram vendidos $10200$ litros.

 

Considerando $x$ o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e $V$ o valor, em R\$, arrecadado por dia com a venda do álcool, qual a expressão que relaciona $V$ e $x$?


$V = \underset{\text{Quantidade}}{\underbrace{(10000 + 100x)}} \cdot \underset{\text{Valor unitário}}{\underbrace{(1,5 - 0,01x)}} = \fbox{$-x^2 + 50x + 15000$}$

quinta-feira, 27 de janeiro de 2022

Produtos notáveis.

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$

$(a - b)^3 = a^3 - 2a^2 b + 2ab^2 - b^3$

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

terça-feira, 14 de setembro de 2021

Fórmula de Bhaskara.

Seja a equação $ax^2 + bx + c = 0$, com $a \neq 0$.

$x^2 + \dfrac{bx}{a} + \dfrac{c}{a} = 0\ \Rightarrow$


$\Rightarrow\ x^2 + \dfrac{bx}{a} + \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a} = 0\ \Rightarrow$


$\Rightarrow\ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a} = 0\ \Rightarrow$


$\Rightarrow\ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a} = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\ \Rightarrow$


$\Rightarrow\ x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \Rightarrow$


$\Rightarrow\ x = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4a^2c}}{2a} - \dfrac{b}{2a}$


$\fbox{$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$}$

domingo, 20 de junho de 2021

Utilizando Briot-Ruffini, divida $x^2 - 6x + 5$ por $2x - 4$.

$x^2 - 6x + 5 = Q(x) \cdot (2x - 4) + R(x) = 2Q(x) \cdot (x - 2) + R(x),\ \partial R(x) < \partial (2x - 4)$.

Logo, obtido o resultado do dividendo por (x - 2), devemos dividir o quociente por $2$.

$\begin{array}{c c c c c}2 & | & 1 & -6 & 5 \\ \_ & \_ & \_ & \_ & \_ \\ \  & | & 1 & -4 & -3\end{array}$

Logo $\fbox{$x^2 - 6x + 5 = (\dfrac{x}{2} - 2)(2x - 4) - 3$}$.

sexta-feira, 26 de julho de 2019

Exercício: soma de quadrados nula.

Sabendo que $x$, $y$ e $z$ são números reais e $(2x + y - z)^2 + (x - y)^2 + (z - 3)^2 = 0$, calcule $x + y + z$.

Como temos uma soma de quadrados, ela só será nula se todos os termos também forem nulos, logo:

$z - 3 = 0\ \Rightarrow\ z = 3$ (I)

$x - y = 0\ \Rightarrow\ x = y$ (II)

$2x + y - z = 0\ \wedge\ $(I) $\wedge$ (II) $\Rightarrow\ x = y = 1$ (III)

(I) $\wedge$ (III) $\Rightarrow\ x + y + z = 5$

domingo, 22 de julho de 2012

$a^3 + b^3$: um produto não tão notável, mas útil.

Desenvolvendo o binômio $(a+b)^3$, temos:

$(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

$(a+b)^3 - 3ab(a+b) = a^3 + b^3$

$(a+b)[(a+b)^2 - 3ab] = a^3 + b^3$

Logo:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

____________________

Aplicação:

Racionalizar o denominador:

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1}$

Resolução:

Multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$, teremos:

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3} + 1)(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3})^3 + 1^3} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{4}$

____________________

Aplicação:

Calcular o determinante:

$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$

Usando a regra de Chió, teremos:

$D = \begin{vmatrix}b-a & c-a \\ b^3 - a^3 & c^3 - a^3 \end{vmatrix}$

$D = \begin{vmatrix} b-a & c-a \\ (b-a)(b^2 + ba + a^2) & (c-a)(c^2 + ca + a^2) \end{vmatrix}$

Extraindo os fatores $(b-a)$ da primeira coluna e $(c-a)$ da segunda coluna, teremos:

$D = (b-a)(c-a)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ (b^2 + ba + a^2) & (c^2 + ca + a^2)\end{vmatrix} =$

$= (b-a)(c-a)[(c-b)(c+b) + a(c-b)]$

Logo:

$D = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$

sábado, 23 de junho de 2012

O perigo de quadrar uma equação.

Se $a\ =\ b$ podemos concluir que $a^2\ =\ b^2$. Mas esta última condição adiciona a proposição $a\ =\ -b$ como verdadeira.

Logo, quando quadramos uma equação, devemos ter o cuidado de verificar as raízes na equação original. Pois ao quadrar adicionamos raízes.

Eis um exemplo:

$x\ =\ 2x\ -\ 3$

Para ela temos $S\ =\ \{3\}$

Quadrando teremos:

$x^2\ =\ 4x^2\ -\ 12x\ + 9$

$x^2\ -\ 4x\ +\ 3\ =\ 0$

Donde $x\ =\ 3$ ou $x\ =\ 1$. Onde este último valor não satisfaz $x\ =\ 2x\ -\ 3$.