Vamos supor que $z \neq 0$ e $w \neq 0$.
$z^{-1}zw = z^{-1} \cdot 0\ \Rightarrow\ w = 0$ $\large{(I)}$
$zww^{-1} = 0 \cdot w^{-1}\ \Rightarrow\ z = 0$ $\large{(II)}$
$\large{(I)}$ e $\large{(II)}$, por hipótese, são absurdos, logo $z = 0$ ou $w = 0$.
Quod erat demonstrandum.
Organização sem fins lucrativos, voltada para a pesquisa e educação em Matemática.
Este weblog utiliza serviços de terceiros, e os mesmos podem não funcionar adequadamente, o que não depende de mim.
Se as expressões matemáticas não estiverem satisfatoriamente visíveis, você pode alterar as configurações de exibição no menu contextual.
Este weblog pode passar por melhorias. Caso não teve uma boa experiência hoje, futuramente os problemas poderão estar corrigidos.
Em caso de não ser a mim mais possível realizar manutenções, como, por exemplo, devido a falecimento ou desaparecimento, alguns links podem ficar quebrados e eu não responder mais a comentários. Peço compreensão.
quarta-feira, 18 de janeiro de 2023
Sejam $z$ e $w$ escalares. Se $zw = 0$, então $z = 0$ ou $w = 0$.
quarta-feira, 4 de janeiro de 2023
Sendo $m$ um real positivo, reduir $E = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{m^2\sqrt{m\sqrt[4]{m^3}}}}$ a um único radical.
$E = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{m^2\sqrt{\sqrt[4]{m^7}}}} = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{m^2\sqrt[8]{m^7}}} = \sqrt[5]{m^4\sqrt[3]{\sqrt[8]{m^{23}}}} =$
$= \sqrt[5]{m^4\sqrt[24]{m^{23}}} = \sqrt[5]{\sqrt[24]{m^{119}}} = \fbox{$\sqrt[120]{m^{119}}$}$
Em $U = \mathbb{R}$, resolver $3^{x + 2} + 9^x = 9 + 27^x$.
Seja $y = 3^x$.
$9y + y^2 = 9 + y^3$
$y^2 - 9 = y^3 - 9y$
$y^2 - 9 = (y^2 - 9)y$
Se $y^2 - 9 = 0$, $y = 3\ \Rightarrow\ x = 1$
Se $y^2 - 9 \neq 0$, $y = 1\ \Rightarrow\ x = 0$
$S = \{0, 1\}$
terça-feira, 3 de janeiro de 2023
domingo, 28 de agosto de 2022
Discutir a equação em $x$, $m^2 x + 1 = x + m$, de acordo com o parâmetro real $m$.
$x(m + 1)(m - 1) = m - 1$
Para $m = 1$, $S = \mathbb{R}$.
Para $m = -1$, $S = \varnothing$.
Para $m \neq 1\ \wedge\ m \neq - 1$, $S = \left\{\dfrac{1}{m + 1}\right\}$.
sexta-feira, 26 de agosto de 2022
Se $2^x + 2^{-x} = n$, encontrar, em função de $n$, $16^x + 16^{-x}$.
$2^x + 2^{-x} = n\ \Rightarrow\ 4^x + 4^{-x} = n^2 - 2\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ 16^x + 16^{-x} = (n^2 - 2)^2 - 2 = \fbox{$n^4 - 4n^2 + 2$}$
terça-feira, 5 de julho de 2022
Exercício: arrecadamento diário com desconto em preço unitário.
Um posto de combustível vende $10000$ litros de álcool por dia a R\$ $1,50$ cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos $100$ litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R\$ $1,48$, foram vendidos $10200$ litros.
Considerando $x$ o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e $V$ o valor, em R\$, arrecadado por dia com a venda do álcool, qual a expressão que relaciona $V$ e $x$?
$V = \underset{\text{Quantidade}}{\underbrace{(10000 + 100x)}} \cdot \underset{\text{Valor unitário}}{\underbrace{(1,5 - 0,01x)}} = \fbox{$-x^2 + 50x + 15000$}$
quinta-feira, 27 de janeiro de 2022
Produtos notáveis.
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$
$(a - b)^3 = a^3 - 2a^2 b + 2ab^2 - b^3$
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
terça-feira, 14 de setembro de 2021
Fórmula de Bhaskara.
Seja a equação $ax^2 + bx + c = 0$, com $a \neq 0$.
$x^2 + \dfrac{bx}{a} + \dfrac{c}{a} = 0\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ x^2 + \dfrac{bx}{a} + \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a} = 0\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a} = 0\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a} = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ x = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4a^2c}}{2a} - \dfrac{b}{2a}$
$\fbox{$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$}$
domingo, 20 de junho de 2021
Utilizando Briot-Ruffini, divida $x^2 - 6x + 5$ por $2x - 4$.
$x^2 - 6x + 5 = Q(x) \cdot (2x - 4) + R(x) = 2Q(x) \cdot (x - 2) + R(x),\ \partial R(x) < \partial (2x - 4)$.
Logo, obtido o resultado do dividendo por (x - 2), devemos dividir o quociente por $2$.
$\begin{array}{c c c c c}2 & | & 1 & -6 & 5 \\ \_ & \_ & \_ & \_ & \_ \\ \ & | & 1 & -4 & -3\end{array}$
Logo $\fbox{$x^2 - 6x + 5 = (\dfrac{x}{2} - 2)(2x - 4) - 3$}$.
sexta-feira, 26 de julho de 2019
Exercício: soma de quadrados nula.
Como temos uma soma de quadrados, ela só será nula se todos os termos também forem nulos, logo:
$z - 3 = 0\ \Rightarrow\ z = 3$ (I)
$x - y = 0\ \Rightarrow\ x = y$ (II)
$2x + y - z = 0\ \wedge\ $(I) $\wedge$ (II) $\Rightarrow\ x = y = 1$ (III)
(I) $\wedge$ (III) $\Rightarrow\ x + y + z = 5$
domingo, 22 de julho de 2012
$a^3 + b^3$: um produto não tão notável, mas útil.
$(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$
$(a+b)^3 - 3ab(a+b) = a^3 + b^3$
$(a+b)[(a+b)^2 - 3ab] = a^3 + b^3$
Logo:
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
____________________
Aplicação:
Racionalizar o denominador:
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1}$
Resolução:
Multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$, teremos:
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3} + 1)(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3})^3 + 1^3} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{4}$
____________________
Aplicação:
Calcular o determinante:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$
Usando a regra de Chió, teremos:
$D = \begin{vmatrix}b-a & c-a \\ b^3 - a^3 & c^3 - a^3 \end{vmatrix}$
$D = \begin{vmatrix} b-a & c-a \\ (b-a)(b^2 + ba + a^2) & (c-a)(c^2 + ca + a^2) \end{vmatrix}$
Extraindo os fatores $(b-a)$ da primeira coluna e $(c-a)$ da segunda coluna, teremos:
$D = (b-a)(c-a)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ (b^2 + ba + a^2) & (c^2 + ca + a^2)\end{vmatrix} =$
$= (b-a)(c-a)[(c-b)(c+b) + a(c-b)]$
Logo:
$D = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$
sábado, 23 de junho de 2012
O perigo de quadrar uma equação.
Logo, quando quadramos uma equação, devemos ter o cuidado de verificar as raízes na equação original. Pois ao quadrar adicionamos raízes.
Eis um exemplo:
$x\ =\ 2x\ -\ 3$
Para ela temos $S\ =\ \{3\}$
Quadrando teremos:
$x^2\ =\ 4x^2\ -\ 12x\ + 9$
$x^2\ -\ 4x\ +\ 3\ =\ 0$
Donde $x\ =\ 3$ ou $x\ =\ 1$. Onde este último valor não satisfaz $x\ =\ 2x\ -\ 3$.