segunda-feira, 18 de fevereiro de 2013

Exercício : atraso na dilatação térmica de um relógio de pêndulo.

(Unisa-SP) Um relógio é controlado por um pêndulo que marca corretamente os segundos a $ 20 ^\circ C $ . O pêndulo é feito de um material cujo coeficiente de dilatação linear é $ 16\ \cdot\ 10^{-6}\ ^\circ C^{-1} $ . Quando a temperatura é mantida a $ 30\ ^\circ C $ , qual o atraso do relógio em uma semana ?

Resolução :

O período de um pêndulo que oscila em ângulos pequenos é dado aproximadamente por $ T\ =\ 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $ , onde $ L $ é seu comprimento e $ g $ é a aceleração da gravidade local.

Sabemos também que, do teorema da dilatação térmica, $ L\ =\ L_0 (1 + \alpha \Delta \theta) $ .

Para os dados do enunciado, teremos $ L\ =\ L (1 + 16\ \cdot\ 10^{-6}\ \cdot\ 10)\ =\ L\ \cdot\ 1,00016 $

Assim, se o comprimento será multiplicado por $ 1,00016 $ , o período do pêndulo será multiplicado por $ \sqrt{1,00016}\ \approx\ 1,000080 $.

Como em uma semana temos $ 7\ \cdot\ 24\ \cdot\ 3600\ =\ 604800 $ segundos, o relógio com o pêndulo dilatado marcará $ \frac{604800}{1,000080}\ \approx\ 604752 $ segundos, dando uma diferença, considerando as aproximações, de $ 48 $ segundos.

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