$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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segunda-feira, 18 de fevereiro de 2013

Exercício: atraso na dilatação térmica de um relógio de pêndulo.

(Unisa-SP) Um relógio é controlado por um pêndulo que marca corretamente os segundos a $20 ^\circ C$. O pêndulo é feito de um material cujo coeficiente de dilatação linear é $16\ \cdot\ 10^{-6}\ ^\circ C^{-1}$. Quando a temperatura é mantida a $30\ ^\circ C$, qual o atraso do relógio em uma semana?

Resolução :

O período de um pêndulo que oscila em ângulos pequenos é dado aproximadamente por $T\ =\ 2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}$, onde $L$ é seu comprimento e $g$ é a aceleração da gravidade local.

Sabemos também que, do teorema da dilatação térmica, $L\ =\ L_0 (1 + \alpha \Delta \theta)$.

Para os dados do enunciado, teremos $L\ =\ L (1 + 16\ \cdot\ 10^{-6}\ \cdot\ 10)\ =\ L\ \cdot\ 1,00016$.

Assim, se o comprimento será multiplicado por $1,00016$, o período do pêndulo será multiplicado por $\sqrt{1,00016}\ \approx\ 1,000080$.

Como em uma semana temos $7\ \cdot\ 24\ \cdot\ 3600\ =\ 604800$ segundos, o relógio com o pêndulo dilatado marcará $\dfrac{604800}{1,000080}\ \approx\ 604752$ segundos, dando uma diferença, considerando as aproximações, de $48$ segundos.

quinta-feira, 14 de fevereiro de 2013

Exercício: número de vasos capilares.

Em um ser humano adulto, a artéria aorta tem raio interno aproximadamente igual a $1,0\ cm$, e o sangue passa por ela com velocidade média igual a $30\ \dfrac{cm}{s}$. Em um vaso capilar o raio interno é aproximadamente igual a $4,0\ \cdot\ 10^{-4}\ cm$, e a velocidade do sangue é aproximadamente igual a $5,0\ \cdot\ 10^{-2}\ \dfrac{cm}{s}$. Calcule a ordem de grandeza do número de vasos capilares.

Resolução :

A vazão na aorta será :

$\Phi_a\ =\ A_a\ \cdot\ v_a\ =\ (1,0)^2\ \cdot\ \pi\ \cdot\ 30\ =\ 30 \pi\ \dfrac{cm^3}{s}$

A vazão em um capilar será :

$\Phi_c\ =\ A_c\ \cdot\ v_c\ =\ (4,0\ \cdot\ 10^{-4})^2\ \cdot\ \pi\ \cdot\ 5,0\ \cdot\ 10^{-2}\ =$

$=\ 8 \pi\ \cdot\ 10^{-9}\ \dfrac{cm^3}{s}$

Chamemos de $n$ o número de capilares. Como a vazão da aorta se distribui para todos os capilares, teremos :

$\Phi_a\ =\ n\ \cdot\ \Phi_c$

$30 \pi\ =\ n\ \cdot\ 8 \pi \cdot\ 10^{-9}$

$n\ =\ 3,75\ \cdot\ 10^9$

Logo a ordem é de bilhões de vasos capilares em um humano adulto.