sábado, 15 de dezembro de 2012

Exercício : número de algarismos de uma potência.

(Fuvest-SP) Seja $ x\ =\ 2^{1000} $. Sabendo que $ \log_{10} 2 $ é aproximadamente $ 0,30103 $ , qual o número de algarismos de $ x $ ?

Resolução :

$ \log_{10} 2\ = 0,30103 + m_1 $ , onde $ -5\ \cdot\ 10^{-6}\ \le\ m_1\ <\ 5\ \cdot\ 10^{-6} $

$ 1000\ \cdot\ \log_{10} 2\ =\ 301,06 + m_2 $ , onde $ -5\ \cdot\ 10^{-3}\ \le\ m_2\ <\ 5\ \cdot\ 10^{-3} $

$ \log_{10} 2^{1000}\ =\ 301,06 + m_2 $

$ 2^{1000}\ =\ 10^{301,06 + m_2}\ =\ 10^{301}\ \cdot\ 10^{m_3} $ , onde $ 0\ <\ m_3\ <\ 1 $

Como $ 1\ <\ 10^{m_3}\ < 10 $ , $ x $ terá $ 301 + 1\ =\ 302 $ algarismos.

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