quinta-feira, 13 de dezembro de 2012

Exercício : equação exponencial.

Mostre que a equação $ e^x + e^{-x} - 3 = 0 $ tem duas raízes reais simétricas $ x\ =\ a $ e $ x\ =\ -a $. Mostre, ainda, que $ e^{3a} + e^{-3a}\ =\ 18 $.

Resolução :

Primeiramente vamos demonstrar que $ e^x + e^{-x} - 3 = 0 $ admite uma raiz $ a $.

Observemos que para $ x\ =\ 0 $ , $ e^0 + e^0 - 3\ =\ -1 $, e que quando $ x \mapsto\ +\infty $ , $ e^x + e^{-x} - 3 $ tende a infinito. Logo $ e^x + e^{-x} - 3 $ , por ser contínua, necessariamente possui uma ordenada nula.

Observemos agora que, se $ a $ é raiz, $ e^a + e^{-a} - 3 = e^{-a} + e^a - 3 $.

Assim $ e^x + e^{-x} - 3 = 0 $ possui raízes $ a $ e $ -a $.

Observemos agora que :

$ e^a + e^{-a} = 3 $

$ (e^a + e^{-a})^3 = 27 $

$ e^{3a} + 3 e^{2a} e^{-a} + 3 e^a e^{-2a} + e^{-3a}\ =\ 27 $

$ e^{3a} + e^{-3a} + 3(e^a + e^{-a})\ =\ 27 $

$ e^{3a} + e^{-3a} + 3\ \cdot\ 3\ =\ 27 $

$ e^{3a} + e^{-3a}\ =\ 27 - 9\ =\ 18 $

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