quinta-feira, 13 de dezembro de 2012

Exercício : comprar mais pelo mesmo preço.

(Cesgranrio-RJ) Uma loja está fazendo uma promoção na venda de balas : "Compre $ x $ balas e ganhe $ x\% $ de desconto". A promoção é válida para compras de até $ 60 $ balas, caso em que é concedido o desconto máximo de $ 60\% $. Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram $ 10 $, $ 15 $, $ 30 $ e $ 45 $ balas, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática ?

Resolução :

Alfredo comprou o equivalente a $ 10(1 - \frac{10}{100})\ =\ 9 $ balas.

Beatriz comprou o equivalente a $ 15(1 - \frac{15}{100})\ =\ 12,75 $ balas.

Carlos comprou o equivalente a $ 30(1 - \frac{30}{100})\ =\ 21 $ balas.

Daniel comprou o equivalente a $ 45(1 - \frac{45}{100})\ =\ 24,75 $ balas.

A função que retorna o quanto cada um irá pagar, dado o número de balas que comprou, é :

$ f(x)\ =\ x(1 - \frac{x}{100})\ =\ -\frac{x^2}{100} + x $

Essa função terá um máximo, onde o número de balas para este máximo é tal que :

$ x_v\ =\ -\frac{1}{(-\frac{2}{100})}\ =\ 50 $ balas.

Como todos os compradores compraram menos que $ 50 $ balas, cada um, segundo a função poderia comprar uma maior quantidade tal que pagaria o mesmo preço por ela. Porém a diferença entre entre o $ x_v $ e o número de balas compradas não pode superar $ 60 - 50\ =\ 10 $. Portanto apenas Daniel poderia comprar mais balas, a saber $ 50 + (50 - 45)\ =\ 55 $ balas, de tal forma que pagaria o equivalente à $ 24,75 $ balas.

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