segunda-feira, 31 de dezembro de 2012

Demonstração : $ f $ crescente sse $ f^{-1} $ também crescente.

Seja $ f $ uma função real de variável real e inversível.

Se $ f $ é crescente, teremos :

Sejam $ x_2 , x_1\ \in\ Dom(f) $ :

$ x_2 > x_1\ \Leftrightarrow\ f(x_2) > f(x_1) $

$ f^{-1}[f(x_2)] > f^{-1}[f(x_1)]\ \Leftrightarrow\ f(x_2) > f(x_1) $

Assim, se $ f $ é crescente, $ f^{-1} $ também o é, e, reciprocramente, se $ f $ é decrescente, $ f^{-1} $ também o é.

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