$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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segunda-feira, 31 de dezembro de 2012

Demonstração: $f$ crescente se $f^{-1}$ também crescente.

Seja $f$ uma função real de variável real e inversível.

Se $f$ é crescente, teremos :

Sejam $x_2 , x_1\ \in\ Dom(f)$:

$x_2 > x_1\ \Leftrightarrow\ f(x_2) > f(x_1)$

$f^{-1}[f(x_2)] > f^{-1}[f(x_1)]\ \Leftrightarrow\ f(x_2) > f(x_1)$

Assim, se $f$ é crescente, $f^{-1}$ também o é, e, reciprocramente, se $f$ é decrescente, $f^{-1}$ também o é.

sábado, 29 de dezembro de 2012

Exercício: resolver $x=\sqrt{5-\sqrt{5-x}}$.

Observemos que se tomarmos $x\ =\ \sqrt{5-x}$, e substituindo $x$ no segundo membro da identidade, obteremos a equação a qual desejamos solucionar.

Assim :

$x^2 = 5 - x$

$x\ =\ \dfrac{-1 + \sqrt{21}}{2}\ \vee\ x\ =\ \dfrac{-1 - \sqrt{21}}{2}$

Observemos que na equação original, ambos os valores encontrados de $x$ satisfazem as condições. Logo:

$S\ =\ \{\dfrac{-1 + \sqrt{21}}{2}\ ,\ \dfrac{-1 - \sqrt{21}}{2}\}$
_____

Questão resolvida por Leandro Goulart Pereira [http://www.facebook.com/leandro.goulartpereira].

domingo, 16 de dezembro de 2012

Exercício: número de algarismos de uma potência.

(Fuvest-SP) Seja $x\ =\ 2^{1000}$. Sabendo que $\log_{10} 2$ é aproximadamente $0,30103$, qual o número de algarismos de $x$?

Resolução :

$\log_{10} 2\ = 0,30103 + m_1$, onde $-5\ \cdot\ 10^{-6}\ \le\ m_1\ <\ 5\ \cdot\ 10^{-6}$

$1000\ \cdot\ \log_{10} 2\ =\ 301,06 + m_2$, onde $-5\ \cdot\ 10^{-3}\ \le\ m_2\ <\ 5\ \cdot\ 10^{-3}$

$\log_{10} 2^{1000}\ =\ 301,06 + m_2$

$2^{1000}\ =\ 10^{301,06 + m_2}\ =\ 10^{301}\ \cdot\ 10^{m_3}$, onde $0\ <\ m_3\ <\ 1$

Como $1\ <\ 10^{m_3}\ < 10$, $x$ terá $301 + 1\ =\ 302$ algarismos.

sábado, 15 de dezembro de 2012

Exercício: mensagem de erro na calculadora.

(Fuvest-SP) Presionando a tecla LOG de uma calculadora, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava antes no visor. Digita-se inicialmente o número 88888888 (oito oitos). Quantas vezes a tecla LOG precisa ser pressionada para que apareça mensagem de erro?

Resolução :

$88888888\ =\ 8,8888888\ \cdot\ 10^7$

$\log\ (8,8888888\ \cdot\ 10^7)\ =\ 7 + m_1$, onde $0\ <\ m_1\ <\ 1$

$\log\ (7 + m_1)\ =\ 0 + m_2$, onde $0\ <\ m_2\ <\ 1$

$\log\ m_2\ <\ 0$

Ao extrair o logaritmo de um número negativo, receberemos a mensagem de erro. Logo o número que a tecla LOG deve ser pressionada é $4$.

Exercício: logaritmos #6.

(Fuvest-SP) Sabendo-se que $5^p\ =\ 2$, qual o valor de $\log_2 100$?

Resolução:

$p\ =\ \log_5 2\ \Rightarrow\ \log_2 5\ =\ \dfrac{1}{p}$

$\log_2 100\ =\ \log_2 (2^2\ \cdot\ 5^2)\ =\ 2\ \cdot\ [(\log_2 2) + (\log_2 5)]\ =$

$=\ 2\ \cdot\ (1 + \dfrac{1}{p})\ =\ \dfrac{2p + 2}{p}$

Exercício: logaritmos #5.

(MACK-SP) Qual o valor de $\log_{\sqrt{2}} (\log_3 2\ \cdot\ \log_4 3)$?

Resolução :

$\log_{\sqrt{2}} (\log_3 2\ \cdot\ \log_4 3)\ =\ \log_{2^\dfrac{1}{2}} (\log_3 2\ \cdot\ \log_{2^2} 3)\ =$

$=\ 2\ \cdot\ \log_2 (\log_3 2\ \cdot\ \dfrac{\log_2 3}{2})\ =\ 2\ \cdot\ \log_2 (\dfrac{\log_3 3}{2})\ =\$

$=\ 2\ \cdot\ \log_2 \dfrac{1}{2}\ =\ -2$

Exercício: logaritmos #4.

(Cesgranrio-RJ) Quais os valores reais de $x$ para os quais $10^{\log_a (x^2 - 3x + 2)}\ =\ 6^{\log_a 10}$, onde $a\ >\ 0 $ e $ a\ \neq\ 1$?

Resolução :

$\log_a (x² - 3x + 2)\ =\ \log\ 6^{\log_a 10}\ =\ (\log_a 10)(\log\ 6)$

$x^2 - 3x + 2\ =\ 10^{\log\ 6}\ =\ 6$

$(x\ =\ 4) \vee\ (x\ =\ -1)$

Exercício: logaritmos #3.

(Fuvest-SP) Se $x^5\ =\ 1000$ e $b^3\ =\ 100$, então qual o valor do logaritmo de $x$ na base $b$?

Resolução :

$x\ =\ 10^\dfrac{3}{5}$

$b\ =\ 10^\dfrac{2}{3}$

$\log_b x\ =\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ \dfrac{3}{2}\ \cdot\ \log\ 10\ =\ 0,9$

sexta-feira, 14 de dezembro de 2012

Exercício: equação exponencial #2.

(MACK-SP) A solução real da equação $4^x + 6^x\ =\ 2\ \cdot\ 9^x$ está no intervalo:

a) $-1\ \le\ x\ \le\ 1$.

b) $2\ \le\ x\ \le\ 3$.

c) $3\ \le\ x\ \le\ 4$.

d) $-4\ \le\ x\ \le\ -3$.

e) $20\ \le\ x\ \le 30$.

Resolução:

Façamos a transformação $p\ =\ 2^x$ e $q\ =\ 3^x$:

$p^2 + pq\ =\ 2q^2$

$p^2 + qp - 2q^2\ =\ 0$

Resolvendo a equação em $p$ :

$(p\ =\ -2q)\ \vee\ (p\ =\ q)$

Primeiro caso :

$2^x\ =\ -2\ \cdot\ 3^x$

$2^{x - 1}\ =\ 3^{-x}$

$\log_2 (3^{-x})\ =\ x - 1$

$(-x)\ \cdot\ log_2 3\ =\ x - 1$

$x [(\log_2 3) + 1]\ =\ 1$

$x\ =\ \dfrac{1}{(\log_2 3) + 1}$

Como $(\log_2 3) + 1\ >\ 1$ então $0\ <\ x\ <\ 1$
__

Segundo caso :

$2^x\ =\ 3^x$

Donde :

$x\ =\ 0$

Logo, a alternativa correta é a A.

Exercício: ponto crítico de uma função exponencial.

(Vunesp-SP) Dada a expressão $(\dfrac{1}{2})^{4x - x^2}$, então:

a) O maior valor da expressão é $4$..

b) O menor valor da expressão é $\dfrac{1}{4}$.

c) O maior valor da expressão é $\dfrac{1}{4}$.

d) O maior valor da expressão é $\dfrac{1}{16}$.

e) O menor valor da expressão é $\dfrac{1}{16}$.

Resolução:

A expressão assumirá um valor máximo ou mínimo de acordo com seu expoente.

$4x - x^2$ terá um máximo absoluto, este que será $-\dfrac{16}{-4}\ =\ 4$.

Assim, por $0\ <\ \dfrac{1}{2}\ <\ 1$, $(\dfrac{1}{2})^4\ =\ \dfrac{1}{16}$ será mínimo.

A alternativa correta é a E.

Exercício: áreas na função logaritmica.

(Vunesp-SP) A curva da figura representa o gráfico da função $y\ =\ \log_a x$ com $a\ >\ 1$. Dos pontos $B\ =\ (2\ ,\ 0)$ e $C\ =\ (4\ ,\ 0)$ saem perpendiculares ao eixo das abscissas, as quais interceptam a curva em $D$ e $E$, respectivamente. Se a área do trapézio retangular $BCED$ vale $3$, provar que a área do triângulo $ABD$, onde $A\ =\ (1\ ,\ 0)$, vale $\dfrac{1}{2}$.



Resolução:

Primeiramente calculemos as ordenadas de $D$ e $E$:

$D\ =\ (2\ ,\ \log_a 2)$

$E\ =\ (4\ ,\ \log_a 4)$

Calculemos a área $S_1$ do trapézio:

$S_1\ =\ \dfrac{(\log_a 2 + \log_a 2^2)\ \cdot\ (4 - 2)}{2}\ =\ 3\log_a 2$

Como $S_1\ =\ 3$, temos:

$\log_a 2\ =\ 1\ \Rightarrow\ a\ =\ 2$

Então $D\ =\ (2\ ,\ 1)$

Logo a área $S_2$ do triângulo será :

$S_2\ =\ \dfrac{(2 - 1)\ \cdot\ 1}{2}\ =\ \dfrac{1}{2}$.

Exercício: equação mista.

(Fuvest-SP) A equação $2^x\ =\ -3x + 2$, com $x$ real:

a) Não tem solução.

b) Tem uma única solução entre $0$ e $\dfrac{2}{3}$.

c) Tem uma única solução entre $-\dfrac{2}{3}$ e $0$.

d) Tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa.

e) Tem mais de duas soluções.

Resolução:

Como estamos lidando com funções mistas: uma exponencial e outra afim, vamos analisar cada uma individualmente.

$2^x$ será sempre positiva. Consequentemente devemos encontrar os valores de $x$ para os quais $-3x + 2$ seja positiva.

$x\ <\ \dfrac{2}{3}$

Observemos que se $x\ =\ 0$, $2^x\ =\ 1 $ e $ -3x + 2\ =\ 2$, e como a primeira é crescente e a segunda é decrescente para todo $x\ >\ 0$, elas se tocarão em um único ponto. E pela condição [1], concluímos que a equação dada terá uma única solução entre $0$ e $\dfrac{2}{3}$

A alternativa correta é a B.

Exercício: função exponencial.

(Vunesp-SP) Seja $p\ >\ 0$, $p\ \neq\ 1$, um número real. Dada a relação $\dfrac{p^{-y}}{1 + p^{-y}}\ =\ x$, determinar $y$ em função de $x$ e o domínio da função assim definida.

Resolução :

$\dfrac{1 + p^{-y}}{p^{-y}}\ =\ \dfrac{1}{x}$

$p^y + 1\ =\ \dfrac{1}{x}$

$y\ =\ \log_p \dfrac{1 - x}{x}$

Se $y$ é função real, $\dfrac{1 - x}{x}$ deve ser positivo.

$x\ >\ 0\ \wedge\ 1 - x\ >\ 0\ \Rightarrow\ 0\ <\ x\ <\ 1$

$x\ <\ 0\ \wedge\ 1 - x\ <\ 0\ \Rightarrow\ \nexists\ x$

Logo $D_y\ =\ ]0\ ,\ 1[$.

Exercício: logaritmos #2.

(EFEI-MG) Se $\log_a x\ =\ P$, $\log_b x\ =\ Q$ e $\log_{abc} x\ =\ R$, determine $\log_c x$ em função de $P$, $Q$ e $R$.

Consideremos inicialmente $x\ \neq\ 1$, então:

$\log_x a\ =\ \dfrac{1}{P}$

$\log_x b\ =\ \dfrac{1}{Q} $

$\log_x abc\ =\ \dfrac{1}{R}$

E chamando $\log_c x\ =\ S$

$\log_x c\ =\ \dfrac{1}{S}$

Teremos:

$(\log_x a) + (\log_x b) + (\log_x c)\ =\ \dfrac{1}{P} + \dfrac{1}{Q} + \dfrac{1}{S}\ =\ \log_x abc\ =\ \dfrac{1}{R}$

Donde:

$\dfrac{1}{S}\ =\ \dfrac{PQ - PR - QR}{PQR}\ \Rightarrow\ S\ =\ \dfrac{PQ - PR - QR}{PQR}$
__

E para $x\ =\ 1$:

$\log_c x\ =\ 0$

Exercício: logaritmos.

(Vunesp-SP) Sejam $a$ e $b$ números reais maiores que zero e tais que $ab\ =\ 1$. Se $a\ \neq\ 1$ e $\log_a x\ =\ \log_b y$, determine o valor de $xy$.

Resolução:

Observemos que se $a\ \neq\ 1$ também teremos $b\ \neq\ 1$, o que garante a existência de $\log_b y$.

Se $ab\ =\ 1$ então $b\ =\ \dfrac{1}{a}$, assim:

$\log_a x\ =\ \log_\dfrac{1}{a} y$

$\log_a x\ =\ \log_a \dfrac{1}{y}$

Donde :

$x\ =\ \dfrac{1}{y}\ \Rightarrow\ xy\ =\ 1$

Exercício: difusão de uma notícia.

(Fuvest-SP) Em um certo país com população $A$ (em milhões de habitantes) é noticiada pela TV com implantação de um novo plano econômico pelo governo. O número de pessoas que já sabiam da notícia após $t\ \ge\ 0$ horas é dado por $f(t)\ =\ \dfrac{A}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}t}}$.

Sabe-se também que decorrida $1$ hora da divulgação do plano $50\%$ da população já estava ciente da notícia.

a) Qual a porcentagem da população que tomou conhecimento do plano no instante em que foi noticiado?

b) Qual a população do país?

c) Após quanto tempo $80\%$ da população estava ciente do plano?

Resolução :

a)

No instante em que a notícia foi divulgada, $t\ =\ 0$. Logo :

$f(0)\ =\ \dfrac{A}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}\ \cdot\ 0}}\ =$

$=\ \dfrac{A}{1 + 4e^0}\ =\ \dfrac{A}{1 + 4}\ =\ \dfrac{A}{5}\ =\ 20\ \%\ \cdot\ A$
__

b)

$50\ \%$ da população já sabia da notícia $1$ hora após sua divulgação, logo :

$f(1)\ =\ \dfrac{A}{2}\ =\ \dfrac{A}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}}}$

$\dfrac{1}{2}\ =\ \dfrac{1}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}}}$

$1\ =\ 4e^{-\dfrac{A}{2}}$

$\dfrac{1}{4}\ =\ e^{-\dfrac{A}{2}}$

$\ln\ \dfrac{1}{4}\ =\ -\dfrac{A}{2}$

$\dfrac{A}{2}\ =\ 2\ln\ 2$

$A\ =\ 4\ln\ 2$
__

c)

$\ 80\%\ \cdot\ A\ =\ \dfrac{A}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}t}}$

$\dfrac{4}{5}\ =\ \dfrac{1}{1 + 4e^{-\dfrac{A}{2}t}}$

$4e^{-\dfrac{A}{2}t}\ =\ \dfrac{1}{4}$

$\ln\ \dfrac{1}{16}\ =\ -\dfrac{A}{2}t$

Como $A\ =\ 4\ln\ 2$:

$\ln\ \dfrac{1}{16}\ =\ -\dfrac{4\ln\ 2}{2}t$

$-4\ln\ 2\ =\ -2(\ln\ 2)\ \cdot\ t$

$t\ =\ 2$ horas.

Exercício: escala Richter.

(Fuvest-SP) A intensidade $I$ de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de $I\ =\ 0$ até $I\ =\ 8,5$ para o maior terremoto conhecido. $I$ é dado pela fórmula :

$I\ =\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0}$,

Onde $E$ é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e $E_0\ =\ 7\ \cdot\ 10^{-3}\ kWh$.

a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade $8$ na escala Richter?

b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada?

Resolução:

a)

$8\ =\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0}$

$12\ =\ \log_{10} \dfrac{E}{E_0}$

$10^{12}\ =\ \dfrac{E}{E_0}$

$E\ =\ 7\ \cdot\ 10^{-3}\ \cdot\ 10^{12}\ =\ 7\ \cdot\ 10^9\ kWh$
__

b)

$I + 1\ =\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + 1\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + \log_{10} 10\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + \dfrac{2}{3}\ \cdot\ \dfrac{3}{2}\log_{10} 10\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + \dfrac{2}{3}\ \cdot\ \log_{10} \sqrt{1000}\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}(\log_{10} \dfrac{E}{E_0} + \log_{10} \sqrt{1000})\ =$

$=\ \dfrac{2}{3}\log_{10} \dfrac{E\ \cdot\ \sqrt{1000}}{E_0}$

Ou seja, a energia liberada fica multiplicada pelo fator $10\sqrt{10}$.

Exercício: equação exponencial #3.

Mostre que a equação $e^x + e^{-x} - 3 = 0$ tem duas raízes reais simétricas $x\ =\ a$ e $x\ =\ -a$. Mostre, ainda, que $e^{3a} + e^{-3a}\ =\ 18$.

Resolução:

Primeiramente vamos demonstrar que $e^x + e^{-x} - 3 = 0$ admite uma raiz $a$.

Observemos que para $x\ =\ 0$, $e^0 + e^0 - 3\ =\ -1$, e que quando $x \mapsto\ +\infty$, $e^x + e^{-x} - 3$ tende a infinito. Logo $e^x + e^{-x} - 3$, por ser contínua, necessariamente possui uma ordenada nula.

Observemos agora que, se $a$ é raiz, $e^a + e^{-a} - 3 = e^{-a} + e^a - 3$.

Assim $e^x + e^{-x} - 3 = 0$ possui raízes $a$ e $-a$.

Observemos agora que:

$e^a + e^{-a} = 3$

$(e^a + e^{-a})^3 = 27$

$e^{3a} + 3 e^{2a} e^{-a} + 3 e^a e^{-2a} + e^{-3a}\ =\ 27$

$e^{3a} + e^{-3a} + 3(e^a + e^{-a})\ =\ 27$

$e^{3a} + e^{-3a} + 3\ \cdot\ 3\ =\ 27$

$e^{3a} + e^{-3a}\ =\ 27 - 9\ =\ 18$

quinta-feira, 13 de dezembro de 2012

Exercício: aplicação financeira.

(Fuvest-SP) Um certo tipo de aplicação duplica o capital em dois meses.

a) Qual a taxa mensal de juros?

b) Em quantos meses a aplicação renderá $700\%$ de juros?

Resolução :

Chamemos de $C$ o capital inicial.

a)

$2C\ =\ C(1 + i)^2$

$2\ =\ i^2 + 2i + 1$

Como $i$ deve ser positivo:

$i\ =\ \sqrt{2} - 1\ \approx\ 41\ \%$
__

b)

$8C\ =\ C(1 + \sqrt{2} - 1)^t$

$2^3\ =\ 2^\dfrac{t}{2}$

$t\ =\ 6$ meses.

A contra-positiva de uma implicação.

Consideremos uma proposição da forma "se $p $ então $q $", simbolizada por $p\ \rightarrow\ q $. Uma outra forma de dizer a mesma coisa seria "Se não $q $ então não $p $", simbolizada por $\sim q\ \rightarrow\ \sim p $. Provemos:

Construamos a tabela-verdade para cada uma das possivilidades entre as veracidades de $p $ e $q $.

$p $$q $$p\ \rightarrow\ q $$\sim q\ \rightarrow\ \sim p $
VVVV
VFFF
FVVV
FFVV


Observemos que as colunas $p\ \rightarrow\ p $ e $\sim q\ \rightarrow\ \sim p $ são idênticas, logo as duas proposições compostas são equivalentes, ou seja, para afirmar uma mesma sentença, tanto faz usar uma ou outra.

Tomemos um exemplo :

Uma função é injetora se, dados dois elementos distintos do domínio, suas imagens também serão distintas. Simbolicamente :

$x_1\ \neq\ x_2\ \Rightarrow\ f(x_1)\ \neq\ f(x_2) $

O que seria equivalente a dizer:

Uma função é injetora se, se duas imagens são iguais, seus respectivos correspondentes também são iguais. Simbolicamente :

$f(x_1)\ =\ f(x_2)\ \Rightarrow\ x_1\ =\ x_2 $

Exercício: uma função discreta.

(Cesgranrio-RJ) Sejam $A\ =\ \{1\ ,\ 2\ ,\ 3\}$ e $f:A\rightarrow A$ definida por $f(1)\ =\ 3$, $f(2)\ =\ 1$, e $f(3)\ =\ 2$ Qual o conjunto solução de $f(f(x))\ =\ 3$?

Resolução:

O elemento de $A$ cuja imagem é $3$ é $1$, e o elemento de $A$ cuja imagem é $1$ é o $2$.

$S\ =\ \{2\}$

Exercício: comprar mais pelo mesmo preço.

(Cesgranrio-RJ) Uma loja está fazendo uma promoção na venda de balas: "Compre $x$ balas e ganhe $x\%$ de desconto". A promoção é válida para compras de até $60$ balas, caso em que é concedido o desconto máximo de $60\%$. Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram $10$, $15$, $30$ e $45$ balas, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática?

Resolução :

Alfredo comprou o equivalente a $10(1 - \dfrac{10}{100})\ =\ 9$ balas.

Beatriz comprou o equivalente a $15(1 - \dfrac{15}{100})\ =\ 12,75$ balas.

Carlos comprou o equivalente a $30(1 - \dfrac{30}{100})\ =\ 21$ balas.

Daniel comprou o equivalente a $45(1 - \dfrac{45}{100})\ =\ 24,75$ balas.

A função que retorna o quanto cada um irá pagar, dado o número de balas que comprou, é:

$f(x)\ =\ x(1 - \dfrac{x}{100})\ =\ -\dfrac{x^2}{100} + x$

Essa função terá um máximo, onde o número de balas para este máximo é tal que:

$x_v\ =\ -\dfrac{1}{(-\dfrac{2}{100})}\ =\ 50$ balas.

Como todos os compradores compraram menos que $50$ balas, cada um, segundo a função poderia comprar uma maior quantidade tal que pagaria o mesmo preço por ela. Porém a diferença entre entre o $x_v$ e o número de balas compradas não pode superar $ 60 - 50\ =\ 10$. Portanto apenas Daniel poderia comprar mais balas, a saber $50 + (50 - 45)\ =\ 55$ balas, de tal forma que pagaria o equivalente à $ 24,75$ balas.

Exercício: inequação do segundo grau.

(UFF-RJ) Considere a inequação $\dfrac{2}{n^2}\ <\ \dfrac{-2}{9 - 6n}\ ,\ n\ \in\ \mathbb{N}^*$. Qual o conjunto solução desta inequação?

Resolução:

$\dfrac{2}{n^2}\ <\ \dfrac{-2}{9 - 6n}$

$\dfrac{1}{n^2}\ <\ \dfrac{-1}{9 - 6n}$

$\dfrac{1}{n^2}\ <\ \dfrac{1}{6n - 9}$

Supondo $n\ >\ 0 $ e $ n\ >\ \dfrac{9}{6}$, portanto $n\ \ge\ 2$

$n^2\ >\ 6n - 9$

$n^2 - 6n - 9\ >\ 0$

$n\ \in\ \mathbb{N}^* - \{3\}$

Supondo $n\ <\ \dfrac{9}{6}$, portanto $n\ =\ 1$

$\dfrac{2}{1^2}\ <\ \dfrac{-2}{9 - 6\ \cdot\ 1}\ \Rightarrow\ 2\ <\ \dfrac{3}{2}$

O que é falso.

Logo $S\ =\ \{n\ \in\ \mathbb{N}^*\ |\ n\ >\ 1\ \wedge\ n\ \neq\ 3\}$.

Exercício: estimar gráfico.



Consideremos a função genérica definida pelos parâmetros $p$, $q$, e $r$:

$f(x)\ =\ px^2 + qx + r$

Tomemos duas possibilidades:

1) $a\ >\ 0$:

$r\ >\ 0\ \Rightarrow\ p\ =\ \dfrac{1}{4a}\ >\ 0$

$\Delta\ =\ 1 - 4\ \cdot\ \dfrac{1}{4a}\ \cdot\ a\ =\ 0$

$x_v\ =\ -\dfrac{q}{2p}\ =\ -\dfrac{1}{\dfrac{1}{2a}}\ =\ -2a\ <\ 0$

Logo a função cortará o eixo dos $y$ em uma ordenada positiva, terá concavidade para cima, cortará o eixo dos $x$ em uma única abscissa, e o vértice terá abscissa negativa.

Não existe gráfico com estas características.
__

2) $a\ <\ 0$:

$r\ <\ 0\ \Rightarrow\ p\ =\ \dfrac{1}{4a}\ <\ 0$

$\Delta\ =\ 1 - 4\ \cdot\ \dfrac{1}{4a}\ \cdot\ a\ =\ 0$

$x_v\ =\ -\dfrac{q}{2p}\ =\ -\dfrac{1}{\dfrac{1}{2a}}\ =\ -2a\ >\ 0$

Logo a função cortará o eixo dos $y$ em uma ordenada negativa, terá concavidade para baixo, cortará o eixo dos $x$ em uma única abscissa, e o vértice terá abscissa positiva.

Assim, o gráfico da alternativa C é o mais plausível.

quarta-feira, 12 de dezembro de 2012

Exercício: imagem da função.

Qual o conjunto imagem da função $f(x)\ =\ x + \sqrt{-(x^2 - 4)^2}$?

Resolução:

Observemos que $-(x^2 - 4)^2$ deve ser não-negativo, mas como $(x^2 - 4)^2$ é não-negativo, $x^2 - 4$ deve ser obrigatoriamente nulo. Logo:

$x\ =\ \pm 2$

$f(2) = 2$ e $f(-2)\ =\ -2$ são os dois únicos pares ordenados pertencentes à função real $f$.

$Im_f\ =\ \{2\ ;\ -2\}$

Exercício: distância entre pontos médios.

Numa reta $r$, tomemos os segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ e um ponto $P$ de modo que $\overline{AB}$ seja o quíntuplo de $\overline{PC}$, $\overline{BC}$ seja o quádruplo de $\overline{PC}$ e $AP\ =\ 80\ cm$. Sendo $M$ e $N$ os pontos médios de $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$, respectivamente, determine $MN$.

Resolução:

Primeiramente, vamos cogitar possíveis posições para o ponto $P$.
__

Primeiro caso:

$P$ estar entre $A$ e $B$.

$B$ estará entre $P$ e $C$.

$\overline{PC}\ >\ \overline{BC}$

O que é um absurdo, visto que, por hipótese, $\overline{BC}$ é o quádruplo de $\overline{PC}$.
__

Segundo caso:

$A$ estar entre $P$ e $B$.

$B$ estará entre $P$ e $C$ e recairemos no primeiro caso.
__

Terceiro caso:

$P$ estar entre $B$ e $C$.

$\overline{BC}\ >\ \overline{PC}$, o que é verdadeiro, logo esta é uma possível posição para $P$.
__

Quarto caso:

$C$ estar entre $B$ e $P$.

$\overline{PC} + \overline{BC}\ =\ \overline{PB}$, um caso passível de análise.
__

Estudando o terceiro caso:

$\overline{BC} = 4(\overline{PC})$

$\overline{AB} = 5(\overline{PC})$

$\overline{AP} = (5 + 4 - 1)(\overline{PC})$

$80\ =\ 8\ \cdot\ m(\overline{PC})\ \Rightarrow\ m(\overline{PC})\ =\ 10\ cm\ \Rightarrow\ AB\ =\ 50\ cm\ \wedge$

$\wedge\ BC\ =\ 40\ cm$

$m(\overline{MN})\ =\ \dfrac{m(\overline{AB} + \overline{BC})}{2}\ =\ 45\ cm$
__

Estudando o quarto caso:

$\overline{BC} = 4(\overline{PC})$

$\overline{AB} = 5(\overline{PC})$

$\overline{AP}\ =\ (5 + 4 + 1)(\overline{PC})\ =\ 10(\overline{PC})\ \Rightarrow\ m(\overline{PC})\ =\ 8\ cm$

$m(\overline{AB})\ =\ 40\ cm$

$m(\overline{BC})\ =\ 32\ cm$

$m(\overline{MN})\ =\ \dfrac{\overline{AB} + \overline{BC}}{2}\ =\ 36\ cm$

Demonstração: unicidade do ponto médio.

O ponto médio $M$ de um segmento de reta $\overline{AB}$ é tal que $\overline{AM}\ \equiv\ \overline{MB}$:



Vamos demonstrar que ele é único, ou seja, que não existem outros pontos médios de um mesmo segmento.

Vamos supor que existam dois pontos distintos $X$ e $Y$ que sejam pontos médios de $\overline{AB}$.



$X$ está entre $A$ e $Y$ $\Rightarrow\ \overline{AY}\ >\ \overline{AX}$.

$Y$ está entre $X$ e $B$ $\Rightarrow\ \overline{XB}\ >\ \overline{YB}$.

$\overline{AY}\ >\ \overline{AX}\ \equiv\ \overline{XB}\ >\ \overline{YB}$

O que é um absurdo, pois $Y$, por hipótese, é ponto médio de $\overline{AB}$.

Logo, $X\ \equiv\ Y$.

terça-feira, 11 de dezembro de 2012

Por que usar redução ao absurdo?

Todos os teoremas matemáticos são conclusões de hipóteses. Ou seja, são afirmações ou proposições da forma Se $p$ então $q$, simbolicamente representado por $(p\ \rightarrow\ q)$.

$(p\ \rightarrow\ q)$ também é uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa, de acordo com combinações entre a premissa e a conclusão:

Se $p$ é verdadeira e $q$ é verdadeira, $(p\ \rightarrow\ q)$ é verdadeira.

Se $p$ é verdadeira e $q$ é falsa, $(p\ \rightarrow\ q)$ é falsa.

Se $p$ é falsa e $q$ é verdadeira, $(p\ \rightarrow\ q)$ é verdadeira......[1]

Se $p$ é falsa e $q$ é falsa, $(p\ \rightarrow\ q)$ é verdadeira......[2]

Assim, se desejamos conhecer o valor-verdade ou autenticidade de uma proposição $p$, o caminho ideal não é concluir de $p$ uma proposição verdadeira $q$, visto que, de acordo com [1], $q$ pode ser verdadeira e $p$ pode ser falsa.

Logo, a melhor maneira de conhecer se uma afirmação é autêntica, basta tomar sua negação, e dela concluir uma outra proposição que seja falsa, assim, de acordo com [2], a premissa será falsa, e sua negação será verdadeira.

Demonstração: $\dfrac{p+1}{p}>\dfrac{p+2}{p+1}\ ,\ p\in\mathbb{N}^*$.

Vamos supor o contrário:

$\dfrac{p + 1}{p}\ \le\ \dfrac{p + 2}{p + 1}$

$\dfrac{(p + 1)^2}{p(p + 1)}\ \le\ \dfrac{p(p + 2)}{p(p + 1)}$

Como $p(p + 1)$ é positivo:

$p^2 + 2p + 1\ \le\ p^2 + 2p$

O que é um absurdo. Logo

$\dfrac{p + 1}{p}\ >\ \dfrac{p + 2}{p + 1}$

Como exemplos podemos citar:

$\dfrac{3}{2}\ >\ \dfrac{4}{3}\ >\ \dfrac{5}{4}$

Exercício: dado $y=|\sqrt{x^2-8x+16}-\sqrt{x^2-2x+1}|$, construir o gráfico da função.

Observemos que:

$\sqrt{x^2 - 8x + 16}\ =\ \sqrt{(x - 4)^2}\ =\ |x - 4|$

$\sqrt{x^2 - 2x + 1}\ =\ \sqrt{(x - 1)^2}\ =\ |x - 1|$

Analisemos então o comportamento de $y$ de acordo com o comportamento de suas parcelas modulares.

Para $x\ <\ 1$:

$|x - 1|\ =\ 1 - x$

$|x - 4|\ =\ 4 - x$

Assim:

$y_1\ =\ |(4 - x) - (1 - x)|\ =\ |3|\ =\ 3$
__

Para $1\ \le\ x\ <\ 4$:

$|x - 1|\ =\ x - 1$

$|x - 4|\ =\ 4 - x$

Assim:

$y_2\ =\ |(4 - x) - (x - 1)|\ =\ |-2x + 5|$

Se $x\ <\ \dfrac{5}{2}$:

$|-2x + 5|\ =\ -2x + 5$

$y_{2,1}\ =\ -2x + 5$

Se $x\ \ge\ \dfrac{5}{2}$

$|-2x + 5|\ =\ 2x - 5$

$y_{2,2}\ =\ 2x - 5$
__

Para $x\ \ge\ 4$:

$|x - 1|\ =\ x - 1$

$|x - 4|\ =\ x - 4$

Assim:

$y_3\ =\ |(x - 4) - (x - 1)|\ =\ |-3|\ =\ 3$
__

Construindo agora os gráficos das três funções componentes, uma para cada intervalo de $x$:

segunda-feira, 10 de dezembro de 2012

Exercício: produção de um pomar.

(Unicamp-SP) Em um pomar em que existiam $30$ laranjeiras produzindo, cada uma, $600$ laranjas, foram plantadas $n$ novas laranjeiras. Depois de um certo tempo, constatou-se que, devido à competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (tanto nova como velha) estava produzindo $10$ laranjas a menos, por ano, por cada nova laranjeira plantada no pomar.

Se $f(n)$ é a produção anual do pomar:

a) Determine a expressão algébrica de $f(n)$.

b) Determine os valores de $n$ para os quais $f(n)\ =\ 0$.

c) Quantas novas laranjeiras deveriam ter sido plantadas para que o pomar tivesse produção máxima?

d) Qual o valor dessa produção?

Resolução:

a) A produção será dada pela multiplicação entre o número de laranjeiras e o número de laranjas produzidas por cada uma.

$f(n)\ =\ (600 - 10n)(30 + n)\ =\ -10n^2\ +\ 300n\ +\ 18000$

b) $f(n)\ =\ 0\ \Leftrightarrow\ (600 - 10n)\ =\ 0\ \vee\ (30 + n)\ =\ 0\ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\ n\ \in\ \{60\ ,\ -30\}$

c) Tomando a função quadrática $f(n) $, $ n_v\ =\ -\dfrac{300}{(-20)}\ =\ 15$.

d) $f(15)\ =\ 20250$.

Exercício: maximizando a receita de um hotel.

(FGV-SP) Um hotel tem $30$ quartos para casais. O gerente verificou que, cobrando $R\$\ 120,00$ por dia de permanência de cada casal, o hotel permanecia lotado, e cada aumento de $R\$\ 5,00$ na diária fazia com que um quarto ficasse vazio.

a) Chamando de $x$ o preço da diária e $y$ o número de quartos ocupados, qual a relação entre $x$ e $y$?

b) Qual o preço que deve ser cobrado por dia para maximizar a receita do hotel?

Resolução:

a) Chamemos de $n$ o número de quartos abandonados pelo incremento na cobrança das diárias. Teremos:

$y\ =\ 30 - n$.....[1]

$x\ =\ 120 + 5n$.....[2]

Multiplicando [1] por $5$ e somando com [2]:

$5y + x\ =\ 270$

b) Chamando de $R$ a receita, teremos:

$R\ =\ yx\ =\ x(54 - \dfrac{x}{5})$

$R\ =\ -\dfrac{x^2}{5} + 54x$

Donde:

$x_v\ =\ -\dfrac{54}{(-\dfrac{2}{5})}\ =\ R\$\ 135,00$

domingo, 9 de dezembro de 2012

Exercício: determinando imagens #2.

Considere a função $f$ de $\mathbb{R}_+^*$ em $\mathbb{R}$ tal que $f(2)\ =\ 1$ e $f(a\ \cdot\ b)\ =\ f(a) + f(b)$, para quaisquer $a,b\ \in\ \mathbb{R}_+^*$. Calcule $f(1)$, $f(4)$ e $f(8)$.

Resolução:

$f(1)\ =\ f(1\ \cdot\ 1)\ =\ 2f(1)\ \Rightarrow\ f(1)\ =\ 0$

$f(4)\ =\ f(2\ \cdot\ 2)\ =\ 2f(2)\ =\ 2$

$f(8)\ =\ f(2\ \cdot\ 4)\ =\ f(2) + f(4)\ =\ 1 + 2\ =\ 3$

Exercício: determinando imagens.

Considere a função $f$ de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ tal que $f(1)\ =\ 3$ e $f(a + b)\ =\ f(a)\ \cdot\ f(b)$ para quaisquer $a,b\ \in\ \mathbb{R}$. Calcule $f(0)$, $f(2)$, $f(3)$ e $f(4)$.

Resolução:

$f(1)\ =\ f(0 + 1)\ =\ f(0)\ \cdot\ f(1)\ =\ 3\ \Rightarrow\ f(0)\ =\ 1$

$f(2)\ =\ f(1 + 1)\ =\ {f(1)}^2\ =\ 9$

$f(3)\ =\ f(1 + 2)\ =\ f(1)\ \cdot\ f(2)\ =\ 3\ \cdot\ 9\ =\ 27$

$f(4)\ =\ f(2 + 2)\ =\ {f(2)}^2\ =\ 81$

Exercício: determinar lei de formação da função.

Considere a função $f$ de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ definida pela lei $f(2x-1)\ =\ 5x + 3$. Calcule $f(x)$.

Resolução:

Chamemos $t\ =\ 2x - 1$.

$x\ =\ \dfrac{t + 1}{2}$

Assim:

$f(t)\ =\ 5\ \cdot\ \dfrac{t + 1}{2}\ +\ 3$

$f(t)\ =\ \dfrac{5t}{2} + \dfrac{11}{2}$

Como $t$ e $x$ são elementos de um mesmo conjunto domínio:

$f(x)\ =\ \dfrac{5x}{2} + \dfrac{11}{2}$

sábado, 8 de dezembro de 2012

Demonstração: $x>1>y\Rightarrow x+y>xy$.

Sejam $x$ e $y$ números reais tais que $x\ >\ 1\ >\ y$. A soma deles é maior que o produto.

De fato:

$x - 1\ >\ 0$

$y - 1\ <\ 0\ \Rightarrow\ 1 - y\ >\ 0$

$(x - 1)(1 - y)\ >\ 0$

$x + y - 1 - xy\ >\ 0$

$x + y\ >\ xy + 1$

Donde:

$x + y\ >\ xy$

cqd.

Demonstração: $(x,y)\in\mathbb{Q}\times\mathbb{Q};\Rightarrow x+2y \in\mathbb{Q}$.

Dados $x$ um número racional, e $y$ um número irracional, provemos que $x + 2y$ é irracional.

Vamos tomar a hipótese contrária.

Seja $x\ =\ \dfrac{p}{q}$ com $p\ \in\ \mathbb{Z}$ e $q\ \in\ \mathbb{Z}^*$. Teremos:

$\dfrac{p}{q}\ + 2y\ =\ \dfrac{p'}{q'}$ com p'\ \in\ \mathbb{Z}$ e $q'\ \in\ \mathbb{Z}^*$.

Assim:

$y\ =\ \dfrac{p'q - pq'}{2qq'}$

Como $p'q - pq'$ é inteiro e $2qq'$ é inteiro não-nulo, concluímos que $y$ é racional, o que é um absurdo.

Logo, para $x$ racional e $y$ irracional, $x + 2y$ é irracional.

Exercício: censo populacional.

(Cesgranrio-RJ) Tendo sido feito o levantamento estatístico dos resultados do Censo populacional 96 em uma cidade, descobriu-se sobre a população, que:

I - $44\%$ tem idade superior a 30 anos;
II - $68\%$ são homens;
III - $37\%$ são homens com mais de 30 anos;
IV - $25\%$ são homens solteiros;
V - $4\%$ são homens solteiros com mais de 30 anos;
VI - $45\%$ são indivíduos solteiros;
VII - $6\%$ são indivíduos solteiros com mais de 30 anos.

Com base nos dados acima, qual a porcentagem da população dessa cidade que representa as mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos?

Resolução:

De (I): $1 - 44\%\ =\ 56\%$ tem idade inferior a 30 anos. [a]
De (II): $32\%$ são mulheres. [b]
De (I) e (III): $44\% - 37\%\ =\ 7\%$ são mulheres com mais de 30 anos. [c]
De (II) e (III): $68\% - 37\%\ =\ 31\%$ são homens com menos de 30 anos. [d]
De (II) e (IV): $68\% - 25\%\ =\ 43\%$ são homens casados. [e]
De (III) e (V): $37\% - 4\%\ =\ 33\%$ são homens casados com mais de 30 anos. [f]
De (VI): $1 - 45\%\ =\ 55\%$ são indivíduos casados. [g]
De (V) e (VII): $6\% - 4\%\ =\ 2\%$ são mulheres solteiras com mais de 30 anos. [h]
De (VI) e (VII): $45\% - 6\%\ =\ 39\%$ são indivíduos solteiros com menos de 30 anos. [i]

De [b] e [c]: $32\% - 7\%\ =\ 25\%$ são mulheres com menos de 30 anos. [j]
De [c] e [h]: 7\% - 2\%\ =\ 5\%$ são mulheres casadas com mais de 30 anos. [k]

De [g], [e], e [k]:

$55\%\ =\ 43\% + 5\% + p$

Onde $p$ é o percentual de mulheres casadas com menos de 30 anos.

Logo $p\ =\ 7\%$.

Exercício: diferentes conversões de moeda e diferença entre preços.

(Cesgranrio-RJ) Em 6 de setembro de 1994, os jornais noticiavam que uma grande empresa havia convertido seus preços para reais usando $R\$\ 1,00\ =\ Cr\$\ 2.400,00$ e não $R\$\ 1,00\ =\ Cr\$\ 2.750,00$. Ao fazer isso, nessa empresa, ou preços subiram ou baixaram, em que percentual?

Resolução:

Consideremos uma mercadoria que custava $Cr\$ 1,00$. Esta mercadoria convertida pela tabela-padrão passou a custar $R\$\ \dfrac{1}{2750}$, enquanto em tal empresa, passou a custar $R\$\ \dfrac{1}{2400}$. Como $\dfrac{1}{2400}\ >\ \dfrac{1}{2750}$ os preços em tal empresa subiram.

Calculando o percentual $p$ de aumento:

$\dfrac{1}{2400}\ =\ (1 + p)\ \cdot\ \dfrac{1}{2750}$

$p\ =\ \dfrac{275}{240} - 1\ \approx\ 14,6\ \%$

Exercício: margem de erro em aproximação numérica.

(Fuvest-SP) A diferença entre $\dfrac{1}{3}$ e seu valor aproximado $0,333$ é igual a $x\ \%$ do valor exato. Qual o valor de $x$?

Resolução:

$\dfrac{1}{3}\ =\ 0,\overline{3}$

$0,\overline{3} - 0,333\ =\ 0,000\overline{3}\ =\ \dfrac{3}{9000}\ =\ \dfrac{1}{3000}$

$\dfrac{x}{100}\ =\ \dfrac{\dfrac{1}{3000}}{\dfrac{1}{3}}\ =\ \dfrac{1}{1000}$

$x\ =\ 0,1$

Exercício: frações de terrenos.

(Cesgranrio-RJ) Um terreno será dividido em três lotes de tamanhos diferentes. A área do lote 3 é $10\%$ maior que a do lote 2, enquanto que esta é $20\%$ maior do que a do lote 1. A que percentual da área desse terreno corresponde, aproximadamente, o lote 1?

Resolução:

Chamemos de $A_1$ a área do lote 1, de $A_2$ a do lote 2, e de $A_3$ a do lote 3.

$A_2\ =\ (1 + 20\%)\ \cdot\ A_1$

$A_3\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ A_2$

Assim:

$A_3\ =\ 1,1\ \cdot\ 1,2\ \cdot\ A_1\ =\ 1,32\ \cdot\ A_1$

A fração de $A_1$ com relação à área total será:

$\dfrac{A_1}{\sum_{i=1}^3\ A_i}\ =\ \dfrac{A_1}{(1 + 1,2 + 1,32)\ \cdot\ A_1}\ =\ \dfrac{1}{3,52}\ \approx\ 28,4\ \%$

Exercício: leve 3 e pague 2.

(Vunesp-SP) As promoções do tipo "leve 3 pague 2", comuns no comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida em que percentual?

Resolução:

Chamemos de $P$ o preço unitário de uma mercadoria e $d$ o desconto equivalente.

$2P\ =\ (1 - d)\ \cdot\ 3P$

$d\ =\ 1 - \dfrac{2}{3}$

$d\ =\ \dfrac{1}{3}\ =\ \dfrac{100}{3}\ \%$

Exercício: desconto ilusório.

(FGV-SP) Uma loja anuncia um desconto sobre o valor total, $X$, das compras de cada cliente, de acordo com o seguinte esquema:

1) Desconto de $10\%$ para $10000\ \le\ X\ <\ 20000$.
2) Desconto de $15\%$ para $X\ \ge\ 20000$.

Um cliente compra um par de sapatos por $Cr\$\ 18.000,00$ e um par de meias por $Cr\$\ 2.000,00$. O vendedor muito gentilmente se oferece para reduzir o preço das meias para $Cr\$\ 1.500,00$ e o cliente aceita a oferta. No caixa são aplicadas as regras do desconto promocional. Nessas condições, qual foi o lucro ou o prejuízo do cliente?

Resolução:

Mantendo-se o preço do par de meias em $Cr\$\ 2.000,00$, o valor total da compra seria de $2000 + 18000\ =\ 20000$, tendo direito sobre um desconto total de $15\%$, pagando no total:

$20000\ \cdot\ (1 - 15\%)\ =\ 20000 - 3000\ =\ Cr\$ 17.000,00$

Mas, com primeiro desconto oferecido pelo vendedor, o valor integral da compra será de $1500 + 18000\ =\ 19500$, tendo direito a um desconto de $10\%$, pagando no total:

$19500\ \cdot\ (1 - 10\%)\ =\ 19500 - 1950\ =\ Cr\$\ 17.550,00$

Logo o cliente na verdade terá um prejuízo de $17550 - 17000\ =\ Cr\$\ 550,00$.

Exercício: percentual de carros roubados.

(ENEM) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, $150$ carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de $60\%$ dos carros roubados. Qual o número esperado de carros roubados da marca Y?

Resolução:

Chamemos de $c_x$ o número de carros roubados da marca X, e de $c_y$ o da marca Y.

$c_x + c_y\ =\ 60\%\ \cdot\ 150$

$2c_y + c_y\ =\ 90$

$c_y\ =\ 30$

Exercício: criação de coelhos.

(UFMG) Uma criação de coelhos foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de coelhos duplicou a cada $4$ meses. Hoje, parte dessa criação deverá ser vendida para se ficar com a quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, qual a porcentagem da população atual dessa criação de coelhos deve ser vendida?

Resolução:

Chamemos de $c$ a quantidade inicial de coelhos.

Como em um ano temos $3$ períodos de $4$ meses, o número de coelhos será multiplicada por $2^3\ =\ 8$.

Assim, chamando de $p$ o percentual a ser vendido, teremos:

$c\ =\ (1 - p)\ \cdot\ 8c$

$p\ =\ 1 - \dfrac{1}{8}\ =\ 87,5\ \%$

Exercício: porcentagem de acertos em uma prova.

(Fuvest-SP) Em uma prova de $25$ questões, cada resposta certa vale $+0,4$ e cada resposta errada vale $-0,1$. Um aluno resolveu todas as questões e teve nota $0,5$. Qual a porcentagem de acertos desse aluno?

Resolução:

Chamemos de $a$ o número de acertos, e de $e$ o número de erros.

$0,4\ \cdot\ a\ -\ 0,1\ \cdot\ e\ =\ 0,5$

$4a - e\ =\ 5$.....[1]

Da primeira sentença temos:

$a + e\ =\ 25$.....[2]

Somando [1] e [2]:

$5a\ =\ 30\ \Rightarrow\ a\ =\ 6$

A porcentagem de acertos será $\dfrac{6}{25}\ =\ 24\ \%$.

Exercício: determinando preço de custo e preço de venda.

(MACK-SP) Numa loja, para um determinado produto, a diferença entre o preço de venda solicitado e o preço de custo é $3.000$. Se esse produto for vendido com $20\%$ de desconto, ainda assim dará um lucro de $30\%$ à loja. Qual a soma entre os preços de venda e de custo?

Resolução:

Chamemos de $P_c$ o preço de custo, e de $P_v$ o preço de venda.

$P_v\ \cdot\ (1 - 20\%)\ =\ P_c\ \cdot\ (1 + 30\%)$

$P_v\ =\ P_c\ \cdot\ \dfrac{1,3}{0,8}$.....[1]

Da primeira sentença temos:

$P_v - P_c\ =\ 3000$.....[2]

Substituindo [1] em [2]:

$P_c - P_c\ \cdot\ \dfrac{13}{8}\ =\ 3000$

$P_c\ \cdot\ \dfrac{5}{8}\ =\ 3000$

$P_c\ =\ 4800$

Logo:

$P_v\ =\ 4800 + 3000\ =\ 7800$

Donde:

$P_v + P_c\ =\ 12600$

Exercício: massa apos desidratação.

(Fuvest-SP) $95\%$ da massa de uma melancia de $10\ kg$ é constituída por água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas água) até que a participação de água na massa da melancia se reduza a $90\%$. Qual será a massa da melancia após esse processo de desidratação?

Resolução:

Teremos $95\%\ \cdot\ 10\ =\ 9,5\ kg$ de pura água, logo teremos inicialmente na melancia $10 - 9,5\ =\ 0,5\ kg$ de melancia pura.

Após a desidratação essa massa corresponderá a $1 - 90\%\ =\ 10\%$ do total da melancia. Assim $0,5\ =\ 10\%\ \cdot\ M$, onde $M$ é a massa da melancia. Logo $M\ =\ 5\ kg$.

sexta-feira, 7 de dezembro de 2012

Exercício: número de questões de um teste.

(UFF-RJ) Ao responder a um teste, um aluno acertou $20$ das $30$ primeiras questões e errou $64\%$ do número restante de questões. Feita a correção, verificou-se que o total de acertos correspondia a $47,5\%$ do número de questões propostas. Qual o total de questões do teste?

Resolução:

Chamemos de $r$ o número de questões restantes.

$47,5\%\ \cdot\ (30 + r)\ =\ 20\ +\ (1 - 64\%)\ \cdot\ r$

$14,25\ +\ 47,5\%\ \cdot\ r\ =\ 20\ +\ 36\%\ \cdot\ r$

$11,5\%\ \cdot\ r\ =\ 5,75$

$r\ =\ 50$

Logo o número total de questões será $30 + 50\ =\ 80$.

Exercício: prevendo margem para desconto na negociação.

(Fuvest-SP) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo $44\%$ superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando $80\%$ ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?

Resolução:

Chamemos de $P_c$ o preço de custo de um produto e $d$ o desconto oferecido no momento da venda.

$(1 - d) (1 + 80\%)\ \cdot\ P_c\ \ge\ (1 + 44\%)\ \cdot\ P_c$

$(1 - d) (1 + 80\%)\ \ge\ (1 + 44\%)$

$d\ \le\ \frac{1,8 - 1,44}{1,8}$

$d\ \le\ \frac{1}{5}$

Logo o desconto máximo oferecido no momento da venda, de modo ao lojista não ter prejuízo, é de $20\%$.

Exercício: cálculo de parcela de débito.

(Cesgranrio-RJ) Carlos contraiu uma dívida que foi paga com uma taxa de juros ao mês e constante. Porém, o recibo do mês de fevereiro extraviou-se e Carlos necessita deste valor para o cálculo do Imposto de Renda. Os valores conhecidos são:

Janeiro->$R\$\ 1.000,00$
Março->$R\$\ 1.210,00$
Abril->$R\$\ 1.331,00$


Com base nos dados acima, qual foi a quantia que Carlos pagou em fevereiro?

Resolução:

Chamemos de $P_f$ a parcela de fevereiro, e $i$ a taxa de juros. Teremos:

$1210\ =\ (1 + i)^2\ \cdot\ 1000$

$(1 + i)\ =\ \sqrt{\dfrac{1210}{1000}}$

$i\ =\ 1,1 - 1 = 10\ \%$

Assim:

$P_f\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ 1000\ =\ R\$\ 1.100,00$

Observemos que:

$1000\ \cdot\ (1,1)^3\ =\ R\$\ 1.331,00$

Exatamente a parcela de abril.

Exercício: repasse de preço com lucro de comerciantes.

(PUC-SP) Uma cooperativa compra a produção de pequenos horticultores, revendendo-a para atacadistas com um lucro de $50\%$, em média. Estes repassam o produto para os feirantes, com um lucro de $50\%$, em média. Os feirantes vendem o produto para o consumidor e lucram, também, $50\%$ em média. Qual o acréscimo médio do preço pago pelo consumidor em relação ao preço dos horticultores?

Resolução:

Chamemos de $P_o$ o preço de venda original das hortaliças, sem lucro; $P_h$ o preço médio de venda dos horticultores; $P_a$ o preço médio de venda dos atacadistas; e $P_f$ o preço médio de venda dos feirantes.

$P_h\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_o$

$P_a\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_h $

$ P_f\ =\ (1 + 50\%)\ \cdot\ P_a$


Donde:

$P_f\ =\ (1 + 50\%)^3\ \cdot\ P_o\ =\ 3,375\ \cdot\ P_o$

$3,375 - 1\ =\ 237,5\%$

quarta-feira, 5 de dezembro de 2012

Exercício: enumeração com certa quantidade de algarismos.

(Fuvest-SP) Um estudante terminou um trabalho que tinha $n$ páginas. Para numerar todas essas páginas, iniciando com a página $1$, ele escreveu $270$ algarismos. Qual o valor de $n$?

Resolução:

Consideremos primeiramente os números que possuem apenas $1$ algarismo. Tais são os inteiros que variam de $1$ a $9$, são portando $9$ números.

Consideremos agora os números com $2$ algarismos. Tais são os inteiros que variam de $10$ a $99$, são portando $99 - 10 + 1\ =\ 90$ números. Como estes possuem $2$ algarismos, eles terão ao total $90\ \cdot\ 2\ =\ 180$ algarismos.

Sobraram $270 - (180 + 9)\ =\ 81$ algarismos para serem contados.

Como os próximos números possuem $3$ algarismos cada, teremos $\frac{81}{3}\ =\ 27$ números.

Como o último número a ser computado foi o $99$, $n\ =\ 99 + 27\ =\ 126$.

Demonstração: dados $(p,q)\in{\mathbb{R}^*_+}^2$, $MG_{p,q} \ge MH_{p,q}$.

Dados dois reais positivos $p$ e $q$, chamemos de $MG_{p,q}$ a média geométrica entre os mesmos, e $MH_{p,q}$ a média harmônica. Consideremos ainda um real $x$ tal que:

$x\ =\ MG_{p,q}\ -\ MH_{p,q}$

Desenvolvendo, teremos:

$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}}$

$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2}{\dfrac{p+q}{pq}}$

$x\ =\ \sqrt{pq}\ -\ \dfrac{2pq}{p+q}$

$x\ =\ \sqrt{pq}(1 -\ \dfrac{2\sqrt{pq}}{p+q})$

$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{p+q})$

$x\ =\ \sqrt{pq}(\dfrac{(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2}{p+q})$

Consideremos agora duas possibilidades:

a) Se $p\ =\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é nulo. Logo $x\ =\ 0$

b) Se $p\ \neq\ q$, $\sqrt{pq}$ é positivo, $p + q$ é positivo, e $(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2$ é positivo. Logo $x\ >\ 0$

Assim $MG_{p,q}\ \ge\ MH_{p,q}$.

Velocidade como média harmônica e aritmética no MRU.

Consideremos um móvel que se desloca em um trajetória em dois regimes de velocidade constante, chamado em Cinemática de movimento uniforme. No primeiro regime ele possui velocidade $v_1$, desloca-se $S_1$ unidades de comprimento em $t_1$ unidades de tempo. No segundo regime ele possui velocidade $v_2$, desloca-se $S_2$ unidades de comprimento em $t_2$ unidades de tempo. Chamemos de $v_m$ a velocidade média do móvel em todo trajeto.

a) Se $S_1\ =\ S_2\ =\ S$, ou seja, se ele percorre metade do percurso com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:

$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{2S}{\dfrac{S}{v_1} + \dfrac{S}{v_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}}$

Ou seja, a velocidade média será a média harmônica das duas velocidades.
__

b) Se $t_1\ =\ t_2\ =\ t$, ou seja, se ele percorre metade do tempo com velocidade $v_1$ e a outra metade com velocidade $v_2$, teremos:

$v_m\ =\ \dfrac{S_1 + S_2}{t_1 + t_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot\ t\ +\ v_2\ \cdot\ t}{2t}\ =\ \dfrac{v_1 + v_2}{2}$

Ou seja, a velocidade média será a média aritmética das duas velocidades.

Médias harmônica, aritmética, e aritmética ponderada em uma solução.

Consideremos uma solução composta de duas substâncias de densidades $d_1$ e $d_2$, massas $m_1$ e $m_2$, e volumes $v_1$ e $v_2$. Podemos calcular a densidade $d$ da solução empregando o conceito de médias, facilitando a computação da mesma.

1º caso: $v_1\ =\ v_2\ =\ v$:

$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{2v}\ =\ \dfrac{d_1\ \cdot\ v + d_2\ \cdot\ v}{2v}\ =\ \dfrac{d_1 + d_2}{2}$

Logo, se as duas substâncias possuem o mesmo volume, a densidade da solução será a média aritmética das densidades das substâncias componentes.
__

2º caso: $m_1\ =\ m_2\ =\ m$:

$d\ =\ \dfrac{2m}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{2m}{\dfrac{m}{d_1} + \dfrac{m}{d_2}}\ =\ \dfrac{2}{\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2}}$

Logo, se as duas substâncias possuem a mesma massa, a densidade da solução será a média harmônica das densidades das substâncias componentes.
__

3ºcaso: $m_1$, $m_2$, $v_1$, e $v_2$ quaisquer:

$d\ =\ \dfrac{m_1 + m_2}{v_1 + v_2}\ =\ \dfrac{v_1\ \cdot d_1\ +\ v_2\ \cdot\ d_2}{v_1 + v_2}$

Logo, a densidade de uma solução de duas substâncias é igual a média aritmética ponderada das densidades das substâncias componentes cujos pesos são seus respectivos volumes.

Exercício: porcentagem de gêneros conhecidos seus desempenhos.

(Fuvest-SP) Numa classe de um colégio existem estudantes de ambos os sexos. Numa prova, as médias aritméticas das notas dos meninos e das meninas foram respectivamente iguais a $6,2$ e $7,0$. A média aritmética das notas de toda a classe foi igual a $6,5$.

a) A maior parte dos estudantes dessa classe é composta de meninos ou meninas? Justifique sua resposta.

b) Que porcentagem do total de alunos da classe é do sexo masculino?

Resolução:

a) Como a média geral está mais próxima de $6,2$ do que de $7,0$, a maioria da classe é composta de meninos: $| 6,5 - 6,2 | < | 6,5 - 7,0 |$.

b) Chamando de $h$ o percentual de meninos, teremos:

$6,5\ =\ \dfrac{h\ \cdot\ 6,2\ +\ (1 - h)\ \cdot\ 7,0}{h\ +\ (1 - h)}\ =\ \dfrac{7,0 - 0,8h}{1}$

Logo:

$h\ =\ \dfrac{-0,5}{-0,8}\ =\ 62,5\ \%$

terça-feira, 4 de dezembro de 2012

Exercício: determinar número dos gêneros conhecidas suas idades.

(Unicamp-SP) A média aritmética de um grupo de $120$ pessoas é de $40$ anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é de $35$ anos e a dos homens é de $50$ anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo?

Resolução:

A média de 40 anos pode ser tomada como a média aritmética ponderada das idades dos homens e mulheres cujos pesos serão respectivamente a quantidade de cada um deles.

Chamando de $h$ o número de homens, teremos:

$40\ =\ \dfrac{50h + 35(120 - h)}{120}$

$4800\ =\ 15h + 4200$

$h\ =\ 40$

Logo teremos $40$ homens e $120 - 40\ =\ 80$ mulheres.

Demonstração: dados $(p,q)\in(\mathbb{R}_+)^2$, a média aritmética é maior ou igual à média geométrica.

Consideremos o real $x$ tal que:

$x\ =\ \dfrac{p + q}{2}\ -\ \sqrt{pq}$

$x\ =\ \dfrac{p + q - 2\sqrt{pq}}{2}\ =\ \dfrac{(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2}{2}$

Como $(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2$ é não-negativo, concluímos que $x$ é positivo ou nulo, logo $\dfrac{p + q}{2}\ \ge \sqrt{pq}$.

Como queríamos demonstrar.

Exercício: demonstrar racionalidade de $\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{8-2\sqrt{7}}$.

Chamemos $x\ =\ \sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$.

Como $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} > \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$, então $x\ >\ 0$.

$x^2\ =\ (\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}})^2\ =$

$=\ 8 + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{(8 + 2\sqrt{7})(8 - 2\sqrt{7})} + 8 - 2\sqrt{7}\ =$

$=\ 16 - 2\sqrt{64 - 28}\ =\ 16 - 12$

Logo:

$x^2\ =\ 4$

Como $x\ >\ 0 $, $ x\ =\ 2$, logo $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$ é racional.

Exercício: inflação e perda do poder de compra.

Numa inflação em que os preços sobem $25\%$ ao mês e seu salário permanece inalterado, de quanto diminui o seu poder de compra:

a) Mensalmente?

b) Bimestralmente?

Resolução 1:

a)

Vamos supor que em um mês todo o seu salário custeasse uma compra de valor $P$.

Depois de um mês de inflação, ele teria que desembolsar:

$P'\ =\ (1 + 25\%) P\ =\ 1,25P$

A fração do seu salário original, com poder de compra $P$, com relação ao novo valor que seria suficiente para pagar pelas mesmas mercadorias é:

$\dfrac{P}{1,25P}\ =\ \dfrac{1}{\dfrac{5}{4}}\ =\ \dfrac{4}{5}\ =\ 80\%$

Logo, em um mês, seu poder de compra fica reduzido em $20\%$.

b)

De modo análogo, a fração do poder de compra original com relação ao novo valor decorridos dois meses é de:

$\dfrac{P}{(1 + 25\%)(1 + 25\%)P}\ =\ \dfrac{1}{(\dfrac{5}{4})^2}\ =\ \dfrac{16}{25}$

$\dfrac{16}{25}\ =\ 64\%$

Logo, em dois meses, seu poder de compra fica reduzido em $36\%$.

_____

Resolução 2:

a)

Chamemos de $S$ o salário de um trabalhador, $n$ o número de mercadorias que ele poderá comprar ao preço de $p$. Temos:

$S\ =\ np$.....[1]

Decorrido um mês, o novo preço da mercadoria $p'$, será tal que:

$p'\ =\ (1 + 25\%) p\ =\ \dfrac{5p}{4}$.

Assim, com o mesmo salário, depois de um mês, ele será capaz de comprar $n'$ mercadorias de modo que:

$S\ =\ n'\ \cdot\ p'\ =\ n'\ \cdot\ \dfrac{5p}{4}$.....[2]

Substituindo [1] em [2], teremos:

$np\ =\ n'\ \cdot\ \dfrac{5p}{4}\ \Rightarrow\ \dfrac{n'}{n}\ =\ \dfrac{4}{5}\ =\ 80\%$

Logo, em um mês, seu poder de compra fica reduzido em $20\%$.

b)

De modo análogo:

$np\ =\ n'\ \cdot\ (\dfrac{5}{4})^2\ \cdot\ p\ \Rightarrow\ \dfrac{n'}{n}\ =\ (\dfrac{4}{5})^2\ =\ 64\%$

Logo, em dois meses, seu poder de compra fica reduzido em $36\%$.

Exercício: densidade de tráfego.

(UFRJ) A figura abaixo mostra um trecho de uma malha rodoviária de mão única. Dos veículos que passam por A, $45\%$ viram à esquerda. Dos veículos que passam por B, $35\%$ viram à esquerda. Daqueles que trafegam por C, $30\%$ dobram à esquerda.




Determine o percentual dos veículos que, passando por A, entram em E.

Resolução:

Pelo caminho BE passarão $45\%\ \cdot\ (1 - 35\%)\ =\ 29,25\%$

Pelo caminho CE passarão $(1 - 45\%)\ \cdot\ 30\%\ =\ 16,5\%$

Logo, do total de veículos que entram por A, $29,25\%\ +\ 16,5\%\ =\ 45,75\%$ passarão por E.

Exercício: juros ocultos.

(UFRJ) Uma loja oferece duas formas de pagamento para seus clientes: à vista ou em duas parcelas iguais. A loja anuncia, na sua vitrine, um vestido por um preço total de $R\$\ 200,00$ para pagamento em duas vezes, sendo $R\$\ 100,00$ no ato da compra e $R\$\ 100,00$ trinta dias após essa data. Para pagamento à vista, a loja oferece um desconto de $10\%$ sobre o preço total de $R\$\ 200,00$, anunciado na vitrine. Considerando o preço à vista como o preço real do vestido, determine a taxa de juros cobrada pela loja no pagamento em duas vezes.

Resolução:

Pagos à vida $R\$\ 100,00$, sobram $R\$\ 100,00$ para pagamento trinta dias após a compra, mas como o preço real é de $(1 - 10\%)\ \cdot\ 200\ =\ R\$\ 180,00$, sobram na verdade $R\$\ 80,00$ de débito para serem quitados. Ou seja, o comprador pagará de juros $R\$\ 20,00$.

Pagará $ \dfrac{20}{80}\ =\ \dfrac{1}{4}\ =\ 25\ \% $ de juros.

segunda-feira, 3 de dezembro de 2012

Exercício: evaporação de uma solução e aumento da salinidade.

(Unicamp-SP) Uma quantidade de $6240$ litros de água apresentava um índice de salinidade de $12\%$. Devido à evaporação esse índice subiu para $18\%$. Calcule, em litros, a quantidade de água que evaporou.

Resolução:

Chamemos de $a$ a quantidade em volume de água da solução, $s$ a quantidade em volume de sal, e $e$ a quantidade em volume de água que evaporou. Temos:

$\dfrac{s}{a}\ =\ 12\%$.....[1]

$\dfrac{s}{a - e}\ =\ 18\%$

Delas podemos concluir:

$\dfrac{a}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}$.....[2]

$\dfrac{a - e}{s}\ =\ \dfrac{a}{s}\ -\ \dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{18}$.....[3]

Substituindo [2] em [3]:

$\dfrac{e}{s}\ =\ \dfrac{100}{12}\ -\ \dfrac{100}{18}\ =\ \dfrac{100}{36}$

$e\ =\ s\ \cdot\ \dfrac{100}{36}$.....[4]

Substituindo [1] em [4]:

$e\ =\ a\ \cdot\ \dfrac{12}{100}\ \cdot\ \dfrac{100}{36}\ =\ \dfrac{a}{3}$

Logo:

$e\ =\ \dfrac{6240}{3}\ =\ 2080\ \ell$

Exercício: aumento da área com aumento dos lados de um retângulo.

Se a base de um retângulo aumentar $10\%$ e a altura, $20\%$, sua área aumentará em quanto?

Resolução:

Chamemos $A$ a área do retângulo, $b$ a base, e $h$ a altura.

$b'\ =\ (1 + 10\%)\ \cdot\ b$ será a nova base.

$h'\ =\ (1 + 20\%)\ \cdot\ h$ será a nova altura.

$A'\ =\ b'\ \cdot\ h'$ será a nova área.

$b'\ \cdot\ h'\ =\ (1 + \dfrac{10}{100})(1 + \dfrac{20}{100})\ \cdot\ bh$

$b'\ \cdot\ h'\ =\ \dfrac{11}{10}\ \cdot\ \dfrac{6}{5}\ \cdot\ bh$

$A'\ =\ \dfrac{66}{50}\ \cdot\ A$

O aumento percentual será dado por:

$(\dfrac{66}{50}\ -\ 1)\ =\ 32\%$

domingo, 2 de dezembro de 2012

Exercício: câmara escura com orifício.

Um objeto linear encontra-se a $15\ cm$ de uma câmara escura de orifício e sua imagem projetada tem altura $i_1$. Aumentando-se a distância do objeto à câmara para $20\ cm$, a altura da imagem passa a ser $i_2$. Determine a relação $\dfrac{i_1}{i_2}$.

Resolução:

Chamando $i$ o tamanho da imagem projetada, $o$ o tamanho do objeto, $d'$ a distância do orifício à imagem, e $d$ a distância do objeto ao orifício, conhecemos a relação:

$\dfrac{i}{o}\ =\ \dfrac{d'}{d}$

No problema citado $i$ e $d$ serão variáveis, e $o$ e $d'$ constantes.

Modificando a relação fundamental, teremos:

$i\ \cdot\ d\ =\ o\ \cdot\ d'$

Ou seja, $i$ e $d$ são inversamente proporcionais.

Se $d$ alterou seu valor de $15$ para $20$, foi multiplicada pelo fator $\dfrac{4}{3}$, logo $i$ terá seu novo valor dividido pelo mesmo valor, ou seja:

$i_2 = \dfrac{i_1}{\dfrac{4}{3}}$

Logo:

$\dfrac{i_1}{i_2}\ =\ \dfrac{4}{3}$

Exercício: duas torneiras enchendo um tanque.

Uma torneira enche um tanque em $4$ horas. outra torneira enche o mesmo tanque em $6$ horas. Em quanto tempo as duas torneiras encherão o tanque se forem abertas simultaneamente?
_____

Resolução 1:

Chamemos de $v_1$ a vazão da primeira torneira, $v_2$ a vazão da segunda torneira, e $C$ a capacidade do tanque.

$v_1\ =\ \dfrac{C}{4}$

$v_2\ =\ \dfrac{C}{6}$

Somando as duas vazões, teremos:

$v_1 + v_2\ =\ \dfrac{C}{4} + \dfrac{C}{6}\ =\ \dfrac{5C}{12}$

Como desejamos conhecer o tempo para preenchimento da capacidade $C$, teremos:

$v_1 + v_2\ =\ \dfrac{5C}{12}\ \cdot\ \dfrac{5}{5}\ =\ \dfrac{C}{\dfrac{12}{5}}$

Logo o tempo será $\dfrac{12}{5}\ =\ 2,4$ horas, ou 2 horas e 24 minutos.
_____

Resolução 2:

Em 1 hora a primeira torneira encherá $\dfrac{1}{4}$ do tanque.

Em 1 hora a segunda torneira encherá $\dfrac{1}{6}$ do tanque.

Em 1 hora as duas torneiras juntas encherão $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{12}$ do tanque.

Em $\dfrac{1}{5}$ de hora as duas torneiras encherão $\dfrac{1}{12}$ do tanque.

Em $\dfrac{12}{5}$ de hora as duas torneiras encherão $\dfrac{12}{12} = 1$ do tanque.

$\dfrac{12}{5}\ =\ 2,4$

Exercício: calcular: $\sum_{i=1}^4 (5i-1)$.

Pela força-bruta teremos:

$S\ =\ \sum_{i=1}^4 (5i-1)\ =\ (5\ \cdot\ 1\ -\ 1)\ +\ (5\ \cdot\ 2\ -\ 1)\ +$
$+\ (5\ \cdot\ 3\ -\ 1)\ +\ (5\ \cdot\ 4\ -\ 1)$

$S = 4 + 9 + 14 + 19 = 46$

Mas usando as propriedades do somatório podemos refinar os cálculos:

$\sum_{i=1}^4 (5i-1)\ =\ (\sum_{i=1}^4 5i) - 4\ =\ 5(\sum_{i=1}^4 i) - 4$

$(\sum_{i=1}^4 i)$ é a soma dos 4 primeiros inteiros positivos. A fórmula genérica para tal cálculo é:

$\sum_{i=1}^n i\ =\ \dfrac{n(n+1)}{2}$

Logo:

$S = 5 \dfrac{4\ \cdot\ 5}{2} - 4\ =\ 46$

Exercício: resolver: $x^2 - 4x + \sqrt{x^2 - 4x + 11} = 9$.

Resolver no universo $\mathbb{R}$:

$x^2 - 4x + \sqrt{x^2 - 4x + 11} = 9$

Resolução:

Chamemos $x^2 - 4x$ de $y$. Teremos então:

$y + \sqrt{y + 11} = 9$

$y - 9 = - \sqrt{y + 11}$

$(y - 9)^2 = (- \sqrt{y + 11})^2$

$y^2 - 18y + 81 = y + 11$

$y^2 - 19y + 70 = 0$

Donde $y = 14$ ou $y = 5$.

Como a identidade foi exponenciada a um operador par, devemos verificar se foram acrescentadas à nova identidade raízes falsas.

Tomando $y = 14$, teremos:

$14 + \sqrt{14 + 11} = 9\ \Rightarrow\ 14 + 5 = 9$

O que é uma falsidade.

Tomando agora $y = 5$, teremos:

$5 + \sqrt{5 + 11} = 9\ \Rightarrow\ 5 + 4 = 9$

Logo $y = 5$ é a única raiz da equação em $y$.

Tomando agora $5 = x^2 - 4x$, teremos $x^2 - 4x - 5 = 0$, donde:

$S\ =\ \{5\ ,\ -1\}$

sábado, 1 de dezembro de 2012

Exercício: desistência do churrasco.

Um grupo de amigos se reuniu para organizar um churrasco que custou $R\$\ 180,00$, em cima da hora, três amigos desistiram, fazendo com que a despesa de cada um dos outros aumentasse em $R\$\ 2,00$. Quantos eram os amigos no grupo inicial?

Resolução:

Chamemos de $n$ o número de amigos, e de $p$ o preço cobrado de cada um deles.

Inicialmente tínhamos:

$n\ \cdot\ p\ =\ 180$ [1]

Após a desistência e do acréscimo do preço para custear o projeto inicial, teremos:

$(p+2)(n-3)\ =\ 180$ [2]

Substituindo [1] em [2], teremos:

$(\dfrac{180}{n} + 2)(n-3)\ =\ 180$

$n^2 - 3n - 270 = 0$

Admitindo apenas o valor positivo para $n$, teremos $S\ =\ \{18\}$.

Exercício: equação do 2º grau: operações entre raízes.

Sendo $r_1$ e $r_2$ as raízes da equação $x^2 - 9x + 6 = 0$, determine os valores de:

a) $r_1 + r_2$.c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2}$.e) ${r_1}^3 + {r_2}^3$.
b) $r_1 \cdot r_2$.d) ${r_1}^2 + {r_2}^2$.f) $r_1 - r_2$.


Resolução:

De imediato:

a) $r_1 + r_2 = 9$.

b) $r_1 \cdot r_2 = 6$.

Daqui em diante temos que encontrar relações similares às que são dadas, envolvendo soma e produto das raízes:

c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} = \dfrac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} = \dfrac{3}{2}$.

d) ${r_1}^2 + {r_2}^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2 r_1 r_2 = 81 - 12 = 69$.

e) ${r_1}^3 + {r_2}^3 = (r_1 + r_2)({r_1}^2 - r_1 r_2 + {r_2}^2) = 9(69 - 6) = 567$.

f) $r_1 - r_2 = \pm \sqrt{{r_1}^2 + {r_2}^2 - 2 r_1 r_2} = \pm \sqrt{69 - 12} = \pm \sqrt{57}$.