$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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sexta-feira, 30 de novembro de 2012

Exercício: equação polinomial do 2º grau.

Sendo $\alpha$ e $\beta$ as raízes da equação $x^2\ -5x\ -\ 84\ =\ 0$, obtenha uma equação do 2º grau cujas raízes sejam $(\alpha\ +\ 1)$ e $(\beta\ +\ 1)$.

Resolução:

Pelas relações de Girard, temos que $\alpha+\beta\ =\ 5$ e $\alpha \beta\ =\ -84$.

Desenvolvendo a soma e o produto das raízes da equação procurada, teremos:

$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 2$

$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha \beta\ +\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 1$

Substituindo os valores, teremos:

$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ 5+2\ =\ 7$

$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ -84+5+1\ =\ -78$

Logo uma equação buscada, assumindo o coeficiente dominante $1$, será:

$x^2\ -\ 7x\ -\ 78\ =\ 0$

quinta-feira, 29 de novembro de 2012

Demonstração: o produto de três inteiros consecutivos é divisível por $3$.

Um número divisível por $3$ é da forma $3k$, onde $k$ é inteiro. Seu sucessor é da forma $3k+1$, o sucessor deste é da forma $3k+2$, e o sucessor deste é da forma $3k+3\ =\ 3(k+1)\ =\ 3\ell$, onde $\ell$ é inteiro, portanto também divisível por $3$.

Tomemos o produto de três inteiros consecutivos $P\ =\ xyz$:

Se $x$ é divisível por $3$, $P$ também o será.

Se $x$ for da forma $3k+1$, $z$, o sucessor do sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.

Se $x$ for da forma $3k+2$, $y$, o sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.

quarta-feira, 28 de novembro de 2012

Verificação de primalidade de um número inteiro.

Números primos são aqueles cujos únicos divisores positivos são $1$ e ele próprio.

O algoritmo mais antigo que se tem conhecimento é o chamado Crivo de Erastótenes, que consiste nos seguintes passos:

1. Marca-se o $2$, o menor primo positivo.

2. Marcam-se todos os múltiplos de $2$ até o número ao qual deseja-se conhecer sua primalidade.

3. Marca-se o próximo número primo logo após o antecessor.

4. Repete-se o processo de marcar todos os seus múltiplos.

E assim sucessivamente até chegarmos ao número dado.

Se todos os números positivos menores que o número dado forem marcados, tal número é primo.

Mas existe um procedimento menos trabalhoso. É baseado no seguinte raciocínio:

Um número é primo se não for divisível por nenhum número natural menor que o maior natural cujo quadrado não seja maior que tal número.

Consideremos como exemplo o número $97$. Observemos que $9^2\ <\ 97\ <\ 10^2$

Logo $9$ é o maior número natural cujo quadrado não supera $97$.

Se $97$ não for primo, ele será igual ao produto de dois fatores $f_1$ e $f_2$. Teremos então $97\ =\ f_1\ \cdot\ f_2$.

Se $f_1 > 9$ e $f_2 > 9$, $f_1\ \cdot\ f_2 > 97$.

Se $f_1 < 9$ e $f_2 < 9$, $f_1\ \cdot\ f_2 < 97$.

Dessa forma concluímos que o número $97$, não sendo primo, admite, obrigatoriamente um divisor menor ou igual a $9$.

Como $97$ não possui nenhum divisor positivo entre $2$ e $9$, ele é primo.

Este último procedimento diminui bastante o tempo de processo que um computador demandaria para afirmar se um número é primo ou não.