domingo, 8 de julho de 2012

A terceira lei de Kepler.



Enunciado :

Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos raios de suas órbitas.

De fato :

Considerando as órbitas trajetórias circulares, a força resultante sobre o astro será centrípeta. E usando a gravitação de Newton, teremos :

$ \frac{mv^2}{R}\ =\ G\frac{mM}{R^2} $

Onde $ m $ é a massa do planeta, $ M $ é a massa do Sol, $ R $ é a distância que separa os astros, $ v $ é a velocidade do planeta, e $ G $ é a constante gravitacional universal.

Dela concluímos :

$ \frac{v^2}{R}\ =\ G\frac{M}{R^2} $

$ v\ =\ \sqrt{\frac{GM}{R}} $

Como o comprimento da trajetória é $ 2\pi R $, e chamando de $ T $ o período de translação, teremos :

$ T\ =\ \frac{2\pi R}{v}\ =\ \frac{2\pi R}{\sqrt{\frac{GM}{R}}}\ =\ \sqrt{\frac{4 \pi^2 R^3}{GM}} $

Donde $ T^2\ =\ \frac{4 \pi^2 R^3}{GM} $

Notemos que $ \frac{4 \pi^2}{GM} $ é constante. Logo :

$ T^2\ \propto\ R^3 $

Vale destacar mais um fato :

Segundo as observações de Tycho Brahe, tomando $ T $ em anos e $ R $ em unidades astronômicas, a constante de proporcionalidade é $ 1 $ . Logo :

$ \frac{4 \pi^2}{GM}\ =\ 1 \Rightarrow\ GM\ =\ 4 \pi^2 $

Ou seja, se Newton, ao enunciar a lei da gravitação universal, se conhecesse a massa do Sol, poderia determinar a constante $ G $ 100 anos antes de Cavendish.

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