Exercício: equação exponencial.

Resolver em $\mathbb{R}$:

$3^{x^2\ +\ \dfrac{1}{x^2}}\ =\ \dfrac{81}{3^{x\ +\ \dfrac{1}{x}}}$

Igualando em potências de base $3$, temos:

$3^{x^2\ +\ \dfrac{1}{x^2}}\ =\ 3^{4\ -\ x\ -\ \dfrac{1}{x}}$

Donde:

$x^4\ +\ 1\ +\ x^3 + x =\ 4x^2$

Uma equação do quarto grau não biquadrada, o que requer métodos avançados de resolução.

Mas se observarmos que $x^2\ +\ \dfrac{1}{x^2}\ =\ (x\ +\ \dfrac{1}{x})^2\ -\ 2$, teremos:

$(x\ +\ \dfrac{1}{x})^2\ -\ 2 =\ 4\ -\ (x\ +\ \dfrac{1}{x})$

Tomando $y\ =\ x\ +\ \dfrac{1}{x}$:

$y^2\ -\ 2\ +\ y\ =\ 4$

$y^2\ +\ y\ -\ 6\ =\ 0$

Donde $y\ =\ -3\ \vee\ y\ =\ 2$.

Assim:

$-3\ =\ x\ +\ \dfrac{1}{x}$

$x^2\ +\ 3x\ +\ 1\ =\ 0$

Donde $x\ =\ \dfrac{-3\ +\ \sqrt{5}}{2}\ \vee\ x\ =\ \dfrac{-3\ -\ \sqrt{5}}{2}$.

E também:

$2\ =\ x\ +\ \dfrac{1}{x}$

$x^2\ -\ 2x\ +\ 1\ =\ 0$

Donde $x\ =\ 1$.

Logo $S\ =\ \{\dfrac{-3\ +\ \sqrt{5}}{2}\ ,\ \dfrac{-3\ -\ \sqrt{5}}{2} , 1\}$.