sábado, 30 de junho de 2012

Comprimento do gráfico cartesiano de uma função qualquer.

Consideremos o gráfico de uma função qualquer em $ x $ $ f(x) $.

Tendo por objetivo calcular seu comprimento, basta calcular a integral da distância $ d $ entre dois pontos do gráfico cujas abscissas são os limites :



Por Pitágoras, temos que $ d^2\ =\ (x_2\ -\ x_1)^2 + [f(x_2)\ -\ f(x_1)]^2 $

Considerando $ x_2\ -\ x_1\ =\ \delta $ e $ f(x_2)\ -\ f(x_1)\ =\ f(x_1\ +\ \delta)\ -\ f(x_1) $, e para simplificar os cálculos considerar $ x_1\ =\ a $, temos :

$ C_{f_{a\to b}}\ =\ \{\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta\ -\ \int_a^{b\ -\ \epsilon} \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta}{\epsilon}\}\ - $

$ -\ \{\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta\ -\ \int_{b\ +\ \epsilon}^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta}{\epsilon}\} $

$ \int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta $ dá a área do gráfico $ d\ \times\ \delta $.

$ \int_a^{b\ -\ 1} \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta $ seria o subtraendo da área para obtermos $ d(b) $, mas como podemos ter $ b\ -\ a\ \leq\ 1 $ devemos subtrair de $ b $ um infinitesimal $ \epsilon $, mas em contrapartida devemos multiplicar a diferença de áreas por $ \frac{1}{\epsilon} $ afim de obter uma área restante de $ 1\ \cdot\ d(b) $ unidades.

O mesmo raciocínio para $ \int_{a\ +\ 1}^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta $ afim de encontrar $ d(a) $.

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Exemplo :

Seja $ f(x)\ =\ x $ :

Como $ a\ =\ 0\ \wedge\ f(0)\ =\ 0 $ , temos que $ d(0)\ =\ 0 $ , ou seja :

$ \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta\ -\ \int_{b\ +\ \epsilon}^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta}{\epsilon}\ =\ 0 $

$ C_{f_{0\to 1}}\ =\ \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_0^1 \sqrt{\delta^2\ +\ (0 + \delta\ -\ 0)^2}\ d\delta\ -\ \int_0^{1\ -\ \epsilon} \sqrt{\delta^2\ +\ (0 + \delta\ -\ 0)^2}\ d\delta}{\epsilon} $

$ \int_0^1 \sqrt{2\delta^2}\ d\delta\ =\ \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \int_0^{1\ -\ \epsilon} \sqrt{2\delta^2}\ d\delta =\ (1\ -\ \epsilon)^2\ \cdot\ \frac{\sqrt{2}}{2}\ =\ (1\ -\ 2\epsilon\ +\ \epsilon^2)\ \cdot\ \frac{\sqrt{2}}{2} $

Usando L'Hôpital :

$ \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\ -\ (1\ -\ 2\epsilon\ +\ \epsilon^2)\ \cdot\ \frac{\sqrt{2}}{2}}{\epsilon}\ =\ \lim_{\epsilon \to 0} - (-2\ +\ 2\epsilon)\ \cdot\ \frac{\sqrt{2}}{2}\ = \sqrt{2} $

Assim :

$ C_{f_{0\to 1}}\ =\ \sqrt{2} $

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