$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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quinta-feira, 16 de dezembro de 2010

Considerações sobre a matriz de Vandermonde.

Uma matriz de Vandermonde, também chamada de matriz de potências, é toda matriz da forma:



Os elementos são chamados os elementos característicos da matriz de Vandermonde. E seu determinante é sintetizado pela expressão .


O determinante de tal pode ser obtido pela regra de Chió e será o produto de todas as possíveis diferenças entre os elementos característicos tal que o minuendo terá que ser de ordem maior que o subtraendo. A demonstração irei omitir nesta postagem. Em termos gerais:


_____

Consideração:

Quantos fatores haverá no cálculo de ?

Notemos que para o minuendo de índice n teremos n-1 subtraendos; para o minuendo de índice n-1 teremos n-2 subtraendos; ... ; para o minuendo de índice 2 teremos 1 subtraendo. Logo teremos como quantidade de diferenças a soma dos n-1 primeiros inteiros positivos.

Lembremos da soma dos m primeiros inteiros positivos, cuja fórmula pode ser obtida pelo estudo de progressões aritméticas:





tomando m = n-1, e considerando a c como a função cujo domínio é o conjunto dos produtórios de expressões algébricas e contra-domínio a quantidade de fatores, teremos:

quarta-feira, 15 de dezembro de 2010

Determinante de matrizes de elementos consecutivos.

Consideremos as matrizes :



Elas possuem elementos ordenados consecutivos.

Em termos gerais temos:








O problema que iremos resolver é calcular seu determinante.

Pela propriedade da soma de determinantes, o de tal matriz será:







Onde a primeira parcela, por ter linhas iguais, será nulo.

Observemos que na segunda parcela, a matriz tem a última linha como uma combinação linear das linhas 1, multiplicada por $1$, e a 2, multiplicada por $n - 1$, logo seu determinante também é nulo. Conclusão: